Ableitungen können verwendet werden, um nützliche Eigenschaften aus einem Diagramm abzuleiten, wie zum Beispiel Maximal-, Minimal-, Spitzen-, Tiefst- und Steigungswerte. Sie können damit sogar komplexe Gleichungen ohne Grafikrechner grafisch darstellen! Leider ist die Arbeit an Derivaten oft mühsam, aber dieser Artikel hilft Ihnen mit einigen Tipps und Tricks.
Schritt
Schritt 1. Verstehen Sie die abgeleitete Notation
Die folgenden beiden Notationen werden am häufigsten verwendet, obwohl viele andere hier auf Wikipedia zu finden sind.
- Leibniz-Notation Diese Notation ist die am häufigsten verwendete Notation, wenn die Gleichung y und x beinhaltet. dy/dx bedeutet wörtlich die Ableitung von y nach x. Es könnte nützlich sein, es sich als y/Δx für sehr unterschiedliche Werte von x und y vorzustellen. Diese Erklärung führt zur Definition des Ableitungslimits: limh->0 (f(x+h)-f(x))/h. Wenn Sie diese Notation für die zweite Ableitung verwenden, sollten Sie schreiben: d2j/dx2.
- Lagrange-Notation Die Ableitung der Funktion f wird auch als f'(x) geschrieben. Diese Notation lautet f mit Akzent x. Diese Notation ist kürzer als die Leibniz-Notation und ist hilfreich, wenn man Ableitungen als Funktionen betrachtet. Um einen größeren Ableitungsgrad zu bilden, addiere einfach ' zu f, so dass die zweite Ableitung f''(x) ist.
Schritt 2. Verstehen Sie die Bedeutung der Ableitung und die Gründe für den Abstieg
Um die Steigung eines linearen Graphen zu ermitteln, werden zunächst zwei Punkte auf der Geraden genommen und ihre Koordinaten in die Gleichung (y2 - ja1)/(x2 - x1). Es kann jedoch nur für lineare Graphen verwendet werden. Bei quadratischen Gleichungen und höher ist die Linie eine Kurve, daher ist es nicht sehr genau, die Differenz zwischen zwei Punkten zu finden. Um die Steigung der Tangente in einem Kurvendiagramm zu ermitteln, werden zwei Punkte genommen und in die allgemeine Gleichung eingesetzt, um die Steigung des Kurvendiagramms zu ermitteln: [f(x + dx) - f(x)]/dx. Dx bezeichnet Delta x, das ist die Differenz zwischen zwei x-Koordinaten an zwei Punkten des Graphen. Beachten Sie, dass diese Gleichung dieselbe ist wie (y2 - ja1)/(x2 - x1), nur in anderer Form. Da bekannt war, dass die Ergebnisse ungenau sein würden, wurde ein indirekter Ansatz gewählt. Um die Steigung der Tangente an (x, f(x)) zu finden, muss dx nahe 0 sein, damit die beiden gezeichneten Punkte zu einem Punkt verschmelzen. Sie können jedoch 0 nicht dividieren. Wenn Sie also die Zwei-Punkte-Werte eingegeben haben, müssen Sie faktorisieren und andere Methoden verwenden, um dx vom unteren Ende der Gleichung zu entfernen. Sobald Sie das getan haben, machen Sie dx 0 und Sie sind fertig. Dies ist die Steigung der Tangente an (x, f(x)). Die Ableitung einer Gleichung ist die allgemeine Gleichung zum Ermitteln der Steigung einer beliebigen Tangente in einem Graphen. Dies mag sehr kompliziert erscheinen, aber im Folgenden finden Sie einige Beispiele, die erklären, wie Sie die Ableitung erhalten.
Methode 1 von 4: Explizite Derivate
Schritt 1. Verwenden Sie eine explizite Ableitung, wenn Ihre Gleichung bereits y auf einer Seite hat
Schritt 2. Setze die Gleichung in die Gleichung [f(x + dx) - f(x)]/dx ein
Wenn die Gleichung beispielsweise y = x. lautet2, die Ableitung ist [(x + dx)2 - x2]/dx.
Schritt 3. Erweitern und entfernen Sie dx, um die Gleichung [dx(2x + dx)]/dx zu bilden
Jetzt können Sie oben und unten zwei dx werfen. Das Ergebnis ist 2x + dx, und wenn dx gegen Null geht, ist die Ableitung 2x. Dies bedeutet, dass die Steigung einer beliebigen Tangente des Graphen y = x2 ist 2x. Geben Sie einfach den x-Wert für den Punkt ein, für den Sie die Steigung ermitteln möchten.
Schritt 4. Lernen Sie Muster zum Ableiten ähnlicher Gleichungen
Hier sind einige Beispiele.
- Jeder Exponent ist die Potenz mal den Wert, potenziert kleiner als 1. Zum Beispiel die Ableitung von x5 ist 5x4, und die Ableitung von x3, 5 iis3, 5x2, 5. Wenn vor x bereits eine Zahl steht, multiplizieren Sie diese einfach mit der Potenz. Zum Beispiel die Ableitung von 3x4 ist 12x3.
- Die Ableitung einer beliebigen Konstanten ist null. Die Ableitung von 8 ist also 0.
- Die Ableitung der Summe ist die Summe der jeweiligen Ableitungen. Zum Beispiel die Ableitung von x3 + 3x2 ist 3x2 + 6x.
- Die Ableitung des Produkts ist der erste Faktor mal die Ableitung des zweiten Faktors plus der zweite Faktor mal die Ableitung des ersten Faktors. Zum Beispiel die Ableitung von x3(2x + 1) ist x3(2) + (2x + 1)3x2, was gleich 8x. ist3 + 3x2.
- Die Ableitung des Quotienten (sagen wir f/g) ist [g(Ableitung von f) - f(Ableitung von g)]/g2. Zum Beispiel die Ableitung von (x2 + 2x - 21)/(x - 3) ist (x2 - 6x + 15)/(x - 3)2.
Methode 2 von 4: Implizite Derivate
Schritt 1. Verwenden Sie implizite Ableitungen, wenn Ihre Gleichung nicht bereits mit y auf einer Seite geschrieben werden kann
Tatsächlich wäre die Berechnung von dy/dx mühsam, wenn Sie y auf eine Seite schreiben würden. Hier ist ein Beispiel, wie Sie diese Art von Gleichung lösen können.
Schritt 2. In diesem Beispiel ist x2j + 2y3 = 3x + 2y, ersetzen Sie y durch f(x), damit Sie sich daran erinnern, dass y eigentlich eine Funktion ist.
Die Gleichung wird dann x2f(x) + 2[f(x)]3 = 3x + 2f(x).
Schritt 3. Um die Ableitung dieser Gleichung zu finden, leiten Sie beide Seiten der Gleichung in Bezug auf x ab
Die Gleichung wird dann x2f'(x) + 2xf(x) + 6[f(x)]2f'(x) = 3 + 2f'(x).
Schritt 4. Ersetzen Sie f(x) wieder durch y
Achten Sie darauf, nicht f'(x) zu ersetzen, das sich von f(x) unterscheidet.
Schritt 5. Finden Sie f'(x)
Die Antwort für dieses Beispiel lautet (3 - 2xy)/(x2 + 6 Jahre2 - 2).
Methode 3 von 4: Derivate höherer Ordnung
Schritt 1. Das Ableiten einer Funktion höherer Ordnung bedeutet, dass Sie die Ableitung ableiten (zur 2. Ordnung)
Zum Beispiel, wenn das Problem Sie auffordert, dritte Ordnung abzuleiten, dann nehmen Sie einfach die Ableitung der Ableitung der Ableitung. Bei einigen Gleichungen ist die Ableitung höherer Ordnung 0.
Methode 4 von 4: Kettenregel
Schritt 1. Wenn y eine Differentialfunktion von z und z eine Differentialfunktion von x ist, ist y eine zusammengesetzte Funktion von x und die Ableitung von y nach x (dy/dx) ist (dy/du)* (du/dx)
Die Kettenregel kann auch eine Kombination von Potenzgleichungen sein, wie folgt: (2x4 - x)3. Um die Ableitung zu finden, stellen Sie sich diese einfach wie die Multiplikationsregel vor. Multipliziere die Gleichung mit der Potenz und verkleinere sie um 1 hoch. Dann multiplizieren Sie die Gleichung mit der Ableitung der Gleichung in Klammern, die die Potenz erhöht (in diesem Fall 2x^4 - x). Die Antwort auf diese Frage ist 3(2x4 - x)2(8x3 - 1).
Tipps
- Machen Sie sich keine Sorgen, wenn Sie ein schwierig zu lösendes Problem sehen. Versuchen Sie einfach, es in so viele kleinere Teile wie möglich zu zerlegen, indem Sie die Regeln der Multiplikation, des Quotienten usw. anwenden. Senken Sie dann jedes Teil ab.
- Üben Sie mit der Multiplikationsregel, der Quotientenregel, der Kettenregel und insbesondere mit impliziten Ableitungen, da diese Regeln in der Infinitesimalrechnung viel schwieriger sind.
- Verstehen Sie Ihren Taschenrechner gut; Probieren Sie die verschiedenen Funktionen Ihres Taschenrechners aus, um zu erfahren, wie Sie sie verwenden. Es ist sehr nützlich zu wissen, wie Sie Tangenten und Ableitungsfunktionen in Ihrem Taschenrechner verwenden, wenn sie verfügbar sind.
- Erinnern Sie sich an die grundlegenden trigonometrischen Ableitungen und wie man sie verwendet.
