Wie man implizite Funktionen ableitet: 7 Schritte (mit Bildern)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-01-19 22:12

Wenn Sie in der Infinitesimalrechnung eine Gleichung für y in der Form x geschrieben haben (zB y = x² -3x), ist es einfach, grundlegende Ableitungstechniken (von Mathematikern als implizite Funktionsableitungstechniken bezeichnet) zu verwenden, um die Ableitung zu finden. Für schwer zu konstruierende Gleichungen mit nur dem y-Term auf einer Seite des Gleichheitszeichens (z. B. x² + ja² - 5x + 8y + 2xy² = 19), ist ein anderer Ansatz erforderlich. Mit einer Technik namens implizite Funktionsableitungen ist es einfach, Ableitungen von Gleichungen mit mehreren Variablen zu finden, solange Sie die Grundlagen der expliziten Funktionsableitungen kennen!

Schritt

Methode 1 von 2: Einfache Gleichungen schnell ableiten

Schritt 1. Leiten Sie die x-Terme wie gewohnt her

Beim Versuch, eine Gleichung mit mehreren Variablen wie x. abzuleiten² + ja² - 5x + 8y + 2xy² = 19, kann es schwierig sein zu wissen, wo man anfangen soll. Glücklicherweise ist der erste Schritt der Ableitung einer impliziten Funktion der einfachste. Leiten Sie zunächst die x-Terme und die Konstanten auf beiden Seiten der Gleichung nach den Regeln der gewöhnlichen (expliziten) Ableitungen ab. Ignorieren Sie die y-Terme vorerst.

• Versuchen wir, ein Beispiel der obigen einfachen Gleichung abzuleiten. x² + ja² - 5x + 8y + 2xy² = 19 hat zwei Terme x: x² und -5x. Wenn wir eine Gleichung ableiten wollen, müssen wir dies zuerst so tun:

  x² + ja² - 5x + 8y + 2xy² = 19

  (Bringen Sie auf die Potenz von 2 in x² als Koeffizient, entferne x in -5x und ändere 19 in 0)

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

Schritt 2. Leiten Sie die y-Terme ab und fügen Sie (dy/dx) neben jedem Term hinzu

Für Ihren nächsten Schritt leiten Sie einfach die y-Terme auf die gleiche Weise ab, wie Sie die x-Terme abgeleitet haben. Fügen Sie diesmal jedoch (dy/dx) neben jedem Term hinzu, als würden Sie Koeffizienten hinzufügen. Wenn Sie beispielsweise y lower senken², dann wird die Ableitung 2y(dy/dx). Ignorieren Sie die Terme mit x und y vorerst.

• In unserem Beispiel sieht unsere Gleichung nun so aus: 2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0. Wir führen den nächsten Schritt zur Ableitung von y wie folgt durch:

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

  (Bringen Sie auf die Potenz von 2 in y² als Koeffizienten entfernen Sie y in 8y und setzen Sie dy/dx neben jeden Term).

  2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy²= 0

Schritt 3. Verwenden Sie die Produktregel oder die Quotientenregel für Terme mit x und y

Die Arbeit mit Termen mit x und y ist etwas schwierig, aber wenn Sie die Regeln für das Produkt und den Quotienten für Ableitungen kennen, wird es Ihnen leicht fallen. Wenn die Terme x und y multipliziert werden, verwenden Sie die Produktregel ((f × g)' = f' × g + g × f'), wobei f durch den x-Term und für g durch den y-Term ersetzt wird. Wenn sich die Terme x und y jedoch gegenseitig ausschließen, verwenden Sie die Quotientenregel ((f/g)' = (g × f' - g' × f)/g²), wobei f durch den Zähler und g durch den Nenner ersetzt wird.

• In unserem Beispiel 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy² = 0, wir haben nur einen Term mit x und y - 2xy². Da x und y miteinander multipliziert werden, leiten wir mit der Produktregel wie folgt her:

  2xy² = (2x)(y²)- setze 2x = f und y² = g in (f × g)' = f' × g + g × f'

  (f × g)' = (2x)' × (y²) + (2x) × (y²)'

  (f × g)' = (2) × (y²) + (2x) × (2y(dy/dx))

  (f × g)' = 2 Jahre² + 4xy(dy/dx)

• Wenn wir dies zu unserer Hauptgleichung hinzufügen, erhalten wir 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y² + 4xy(dy/dx) = 0

Schritt 4. Allein (dy/dx)

Du bist fast fertig! Jetzt müssen Sie nur noch die Gleichung (dy/dx) lösen. Dies scheint schwierig zu sein, ist es aber normalerweise nicht - denken Sie daran, dass zwei beliebige Terme a und b multipliziert mit (dy/dx) aufgrund der Verteilungseigenschaft der Multiplikation als (a + b)(dy/dx) geschrieben werden können. Diese Taktik kann das Isolieren von (dy/dx) erleichtern - verschieben Sie einfach alle anderen Terme auf die andere Seite der Klammern und dividieren Sie dann durch die Terme in den Klammern neben (dy/dx).

• In unserem Beispiel vereinfachen wir 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y² + 4xy(dy/dx) = 0 wie folgt:

  2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y² + 4xy(dy/dx) = 0

  (2y + 8 + 4xy)(dy/dx) + 2x - 5 + 2y² = 0

  (2y + 8 + 4xy)(dy/dx) = -2y² - 2x + 5

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4)

Methode 2 von 2: Verwenden fortgeschrittener Techniken

Schritt 1. Geben Sie den Wert (x, y) ein, um (dy/dx) für einen beliebigen Punkt zu finden

Sicher! Sie haben Ihre Gleichung bereits implizit abgeleitet - keine leichte Aufgabe auf Anhieb! Verwenden Sie diese Gleichung, um den Gradienten (dy/dx) für einen beliebigen Punkt (x, y) zu ermitteln, indem Sie die x- und y-Werte für Ihren Punkt auf die rechte Seite der Gleichung setzen und dann (dy/dx) finden..

• Angenommen, wir möchten den Gradienten am Punkt (3, -4) für unsere obige Beispielgleichung ermitteln. Dazu ersetzen wir x durch 3 und durch y durch -4 und lösen dies wie folgt:

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4)

  (dy/dx) = (-2(-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

  (dy/dx) = (-2(16) - 6 + 5)/(2(2(3)(-4))

  (dy/dx) = (-32) - 6 + 5)/(2(2(-12))

  (dy/dx) = (-33)/(2(2(-12))

  (dy/dx) = (-33)/(-48) = 3/48, oder 0, 6875.

Schritt 2. Verwenden Sie die Kettenregel für Funktionen innerhalb von Funktionen

Die Kettenregel ist ein wichtiges Wissen, das man bei der Bearbeitung von Kalkülproblemen (einschließlich Ableitungsproblemen mit impliziten Funktionen) haben sollte. Die Kettenregel besagt, dass für eine Funktion F(x), die geschrieben werden kann als (f Ö g)(x), die Ableitung von F(x) ist gleich f'(g(x))g'(x). Für schwierige Ableitungsprobleme mit impliziten Funktionen bedeutet dies, dass es möglich ist, die verschiedenen Einzelteile der Gleichung abzuleiten und die Ergebnisse anschließend zu kombinieren.

• Nehmen wir als einfaches Beispiel an, dass wir die Ableitung von sin(3x² + x) als Teil des größeren impliziten Funktionsableitungsproblems für die Gleichung sin(3x² +x) + y³ = 0. Wenn wir uns sin(3x² + x) als f(x) und 3x² + x als g(x), können wir die Ableitung wie folgt ermitteln:

  f'(g(x))g'(x)

  (Sünde(3x² + x))' × (3x² +x)'

  cos(3x² +x) × (6x + 1)

  (6x + 1)cos(3x² +x)

Schritt 3. Finden Sie für Gleichungen mit den Variablen x, y und z (dz/dx) und (dz/dy)

Obwohl es in der Grundrechnung ungewöhnlich ist, können einige fortgeschrittene Anwendungen die Ableitung impliziter Funktionen von mehr als zwei Variablen erfordern. Für jede zusätzliche Variable müssen Sie ihre zusätzliche Ableitung nach x ermitteln. Wenn Sie beispielsweise x, y und z haben, sollten Sie sowohl nach (dz/dy) als auch (dz/dx) suchen. Wir können dies tun, indem wir die Gleichung in Bezug auf x zweimal herleiten - erstens geben wir (dz/dx) jedes Mal ein, wenn wir einen Term ableiten, der z enthält, und zweitens fügen wir (dz/dy) jedes Mal ein, wenn wir herleiten z. Danach müssen Sie nur noch (dz/dx) und (dz/dy) auflösen.

• Nehmen wir zum Beispiel an, wir versuchen, x. abzuleiten³z² - 5xy⁵z = x² + ja³.

• Zuerst leiten wir gegen x ab und geben (dz/dx) ein. Vergessen Sie nicht, bei Bedarf die Produktregel anzuwenden!

  x³z² - 5xy⁵z = x² + ja³

  3x²z² + 2x³z(dz/dx) - 5y⁵z - 5xy⁵(dz/dx) = 2x

  3x²z² + (2x³z - 5xy⁵)(dz/dx) - 5y⁵z = 2x

  (2x³z - 5xy⁵)(dz/dx) = 2x - 3x²z² + 5 Jahre⁵z

  (dz/dx) = (2x - 3x²z² + 5 Jahre⁵z)/(2x³z - 5xy⁵)

• Machen Sie jetzt dasselbe für (dz/dy)

  x³z² - 5xy⁵z = x² + ja³

  2x³z(dz/dy) - 25xy⁴z - 5xy⁵(dz/dy) = 3y²

  (2x³z - 5xy⁵)(dz/dy) = 3y² + 25xy⁴z

  (dz/dy) = (3y² + 25xy⁴z)/(2x³z - 5xy⁵)