Zwei Brüche sind äquivalent, wenn sie den gleichen Wert haben. Zu wissen, wie man Brüche in ihre entsprechenden Formen umwandelt, ist eine äußerst wichtige mathematische Fähigkeit, die für alle Formen der Mathematik von der einfachen Algebra bis zur fortgeschrittenen Analysis erforderlich ist. Dieser Artikel bietet verschiedene Möglichkeiten, äquivalente Brüche zu berechnen, von der einfachen Multiplikation und Division bis hin zu komplexeren Methoden zum Lösen äquivalenter Bruchgleichungen.
Schritt
Methode 1 von 5: Anordnen äquivalenter Fraktionen
Schritt 1. Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit derselben Zahl
Zwei verschiedene, aber äquivalente Brüche haben per Definition einen Zähler und einen Nenner, die ein Vielfaches voneinander sind. Mit anderen Worten, die Multiplikation von Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl führt zu äquivalenten Brüchen. Obwohl die Zahlen im neuen Bruch unterschiedlich sind, haben die Brüche denselben Wert.
- Wenn wir zum Beispiel den Bruch 4/8 nehmen und Zähler und Nenner mit 2 multiplizieren, erhalten wir (4×2)/(8×2) = 8/16. Diese beiden Brüche sind äquivalent.
- (4×2)/(8×2) ist eigentlich dasselbe wie 4/8×2/2. Denken Sie daran, dass wir bei der Multiplikation zweier Brüche gerade multiplizieren, also den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner.
- Beachten Sie, dass 2/2 gleich 1 ist, wenn Sie die Division durchführen. Daher ist es einfacher zu verstehen, warum 4/8 und 8/16 äquivalent sind, da die Multiplikation von 4/8 × (2/2) = 4/8 bleibt. Auf die gleiche Weise sagt man 4/8 = 8/16.
- Jeder gegebene Bruch hat unendlich viele äquivalente Brüche. Sie können sowohl den Zähler als auch den Nenner mit jeder ganzen Zahl multiplizieren, unabhängig von der Größe oder klein, um einen äquivalenten Bruch zu erhalten.
Schritt 2. Teilen Sie Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl
Wie bei der Multiplikation kann auch die Division verwendet werden, um einen neuen Bruch zu finden, der Ihrem ursprünglichen Bruch entspricht. Dividiere einfach Zähler und Nenner eines Bruchs durch dieselbe Zahl, um den entsprechenden Bruch zu erhalten. Dieser Prozess hat einen Nachteil – der letzte Bruch muss sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen haben, um wahr zu sein.
Schauen wir uns zum Beispiel 4/8 zurück. Wenn wir, anstatt zu multiplizieren, sowohl den Zähler als auch den Nenner durch 2 teilen, erhalten wir (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 und 4 sind ganze Zahlen, also sind diese äquivalenten Brüche wahr
Methode 2 von 5: Verwenden der einfachen Multiplikation zur Bestimmung der Gleichheit
Schritt 1. Finden Sie die Zahl, die mit dem kleineren Nenner multipliziert werden muss, um den größeren Nenner zu erhalten
Viele Probleme mit Brüchen beinhalten die Bestimmung, ob zwei Brüche äquivalent sind. Indem Sie diese Zahl berechnen, können Sie damit beginnen, die Bruchterme gleichzusetzen, um die Gleichheit zu bestimmen.
- Verwenden Sie beispielsweise die Brüche 4/8 und 8/16 wieder. Der kleinere Nenner ist 8 und wir müssen die Zahl mit 2 multiplizieren, um den größeren Nenner zu erhalten, der 16 ist. In diesem Fall ist die Zahl also 2.
- Bei schwierigeren Zahlen kannst du den größeren Nenner durch den kleineren Nenner dividieren. In diesem Fall wird 16 durch 8 geteilt, was immer noch 2 ergibt.
- Die Zahl ist nicht immer eine ganze Zahl. Wenn die Nenner beispielsweise 2 und 7 sind, ist die Zahl 3, 5.
Schritt 2. Multiplizieren Sie Zähler und Nenner des Bruchs mit dem kleineren Term mit der Zahl aus dem ersten Schritt
Zwei verschiedene, aber äquivalente Brüche haben per Definition Zähler und Nenner, die Vielfache voneinander sind. Mit anderen Worten, die Multiplikation von Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl ergibt einen äquivalenten Bruch. Obwohl die Zahlen in diesem neuen Bruch unterschiedlich sind, haben diese Brüche denselben Wert.
Wenn wir beispielsweise den Bruch 4/8 aus Schritt eins verwenden und Zähler und Nenner mit der zuvor definierten Zahl 2 multiplizieren, erhalten wir (4×2)/(8×2) = 8/16. Dieses Ergebnis beweist, dass diese beiden Brüche äquivalent sind.
Methode 3 von 5: Verwenden der einfachen Division zur Bestimmung der Gleichheit
Schritt 1. Zählen Sie jeden Bruch als Dezimalzahl
Bei einfachen Brüchen ohne Variablen können Sie jeden Bruch als Dezimalzahl darstellen, um die Gleichheit festzustellen. Da jeder Bruch eigentlich ein Divisionsproblem ist, ist dies der einfachste Weg, um Gleichheit zu bestimmen.
- Verwenden Sie beispielsweise den Bruch, den wir zuvor verwendet haben, 4/8. Der Bruch 4/8 ist äquivalent zu sagen 4 geteilt durch 8. Das ist 4/8 = 0,5. Sie können auch das andere Beispiel lösen, das 8/16 = 0,5 ist. Unabhängig von den Termen in einem Bruch ist der Bruch äquivalent wenn beide Zahlen bei Dezimaldarstellung gleich sind.
- Beachten Sie, dass Dezimalausdrücke mehrere Ziffern haben können, bevor die Gleichheit offensichtlich ist. Als grundlegendes Beispiel wiederholt sich 1/3 = 0,333 während 3/10 = 0,3. Wenn wir mehr als eine Ziffer verwenden, sehen wir, dass diese beiden Brüche nicht äquivalent sind.
Schritt 2. Dividiere Zähler und Nenner eines Bruchs durch dieselbe Zahl, um einen äquivalenten Bruch zu erhalten
Für komplexere Brüche erfordert das Divisionsverfahren zusätzliche Schritte. Bei der Multiplikation können Sie Zähler und Nenner eines Bruchs durch dieselbe Zahl dividieren, um einen äquivalenten Bruch zu erhalten. Dieser Prozess hat einen Nachteil. Der letzte Bruch muss sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen enthalten, um wahr zu sein.
Schauen wir uns zum Beispiel 4/8 zurück. Wenn wir, anstatt zu multiplizieren, Zähler und Nenner durch 2 teilen, erhalten wir (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 und 4 sind ganze Zahlen, also sind diese äquivalenten Brüche wahr.
Schritt 3. Vereinfachen Sie die Brüche zu ihren einfachsten Termen
Die meisten Brüche werden normalerweise in ihren einfachsten Begriffen geschrieben, und Sie können Brüche in ihre einfachste Form umwandeln, indem Sie durch den größten gemeinsamen Faktor (GCF) dividieren. Dieser Schritt erfolgt in derselben Logik wie das Schreiben äquivalenter Brüche, wobei sie in denselben Nenner umgewandelt werden, aber diese Methode versucht, jeden Bruch auf seine kleinstmöglichen Terme zu vereinfachen.
- Wenn ein Bruch in seiner einfachsten Form vorliegt, haben Zähler und Nenner die kleinstmöglichen Werte. Beide können nicht durch eine ganze Zahl geteilt werden, um den kleineren Wert zu erhalten. Um einen Bruch, der nicht in seiner einfachsten Form vorliegt, in seine einfachste äquivalente Form umzuwandeln, teilen wir Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Faktor.
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Der größte gemeinsame Faktor (GCF) von Zähler und Nenner ist die größte Zahl, die sie zu einem ganzzahligen Ergebnis teilt. In unserem 4/8-Beispiel, weil
Schritt 4. die größte Zahl ist, die durch 4 und 8 teilbar ist, teilen wir Zähler und Nenner unseres Bruchs durch 4, um die einfachsten Terme zu erhalten. (4 4)/(8 4) = 1/2. In unserem anderen Beispiel 8/16 ist der GCF 8, was auch den Wert 1/2 als einfachsten Ausdruck eines Bruchs zurückgibt.
Methode 4 von 5: Verwenden von Kreuzprodukten, um Variablen zu finden
Schritt 1. Ordne die beiden Brüche so an, dass sie einander gleich sind
Wir verwenden Kreuzmultiplikation für mathematische Probleme, bei denen wir wissen, dass die Brüche äquivalent sind, aber eine der Zahlen durch eine Variable (normalerweise x) ersetzt wurde, die wir lösen müssen. In solchen Fällen wissen wir, dass diese Brüche äquivalent sind, weil sie die einzigen Terme auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens sind, aber oft ist der Weg, die Variable zu finden, nicht offensichtlich. Glücklicherweise ist es mit der Kreuzmultiplikation einfach, diese Art von Problemen zu lösen.
Schritt 2. Nehmen Sie zwei äquivalente Brüche und multiplizieren Sie sie mit einer "X"-Form
Mit anderen Worten, Sie multiplizieren den Zähler eines Bruchs mit dem Nenner eines anderen Bruchs und umgekehrt, dann ordnen Sie die beiden Antworten aneinander an und lösen Sie.
Nehmen Sie unsere beiden Beispiele, 4/8 und 8/16. Keine hat eine Variable, aber wir können das Konzept beweisen, weil wir bereits wissen, dass sie äquivalent sind. Durch Kreuzmultiplikation erhalten wir 4/16 = 8 x 8 oder 64 = 64, was wahr ist. Wenn diese beiden Zahlen nicht gleich sind, sind die Brüche nicht äquivalent
Schritt 3. Fügen Sie Variablen hinzu
Da die Kreuzmultiplikation der einfachste Weg ist, um äquivalente Brüche zu bestimmen, wenn Sie Variablen finden müssen, fügen wir Variablen hinzu.
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Verwenden wir zum Beispiel die Gleichung 2/x = 10/13. Zum Kreuzmultiplizieren multiplizieren wir 2 mit 13 und 10 mit x und setzen dann unsere Antworten gleich:
- 2 × 13 = 26
- 10 × x = 10x
- 10x = 26. Von hier aus ist das Finden der Antwort auf unsere Variable ein einfaches algebraisches Problem. x = 26/10 = 2, 6, wodurch der anfängliche äquivalente Bruch 2/2, 6 = 10/13 ist.
Schritt 4. Verwenden Sie die Kreuzmultiplikation für Brüche mit mehreren Variablen oder Variablenausdrücke
Eines der besten Dinge an der Kreuzmultiplikation ist, dass sie tatsächlich auf die gleiche Weise funktioniert, egal ob Sie mit zwei einfachen Brüchen (wie oben) oder komplexeren Brüchen arbeiten. Wenn beispielsweise beide Brüche Variablen haben, müssen Sie diese Variablen nur beim Lösungsprozess eliminieren. Wenn der Zähler oder Nenner Ihres Bruchs einen variablen Ausdruck (wie x + 1) hat, "multiplizieren" Sie ihn einfach mit der Verteilungseigenschaft und lösen Sie wie gewohnt.
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Verwenden wir zum Beispiel die Gleichung ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4). In diesem Fall lösen wir es wie oben durch Kreuzprodukt:
- (x + 3) × 4 = 4x + 12
- (x + 1) × 2 = 2x + 2
- 2x + 2 = 4x + 12, dann können wir den Bruch vereinfachen, indem wir 2x von beiden Seiten subtrahieren
- 2 = 2x + 12, dann isolieren wir die Variable, indem wir von beiden Seiten 12 abziehen
- -10 = 2x und dividiere durch 2, um x. zu finden
- - 5 = x
Methode 5 von 5: Verwenden quadratischer Formeln zum Finden von Variablen
Schritt 1. Kreuzen Sie die beiden Fraktionen an
Bei Gleichheitsproblemen, die eine quadratische Formel erfordern, beginnen wir immer noch mit dem Kreuzprodukt. Jedes Kreuzprodukt, bei dem die Terme einer Variablen mit den Termen einer anderen Variablen multipliziert werden, führt jedoch wahrscheinlich zu einem Ausdruck, der nicht einfach mit Algebra gelöst werden kann. In solchen Fällen müssen Sie möglicherweise Techniken wie Faktorisieren und/oder quadratische Formeln verwenden.
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Betrachten wir zum Beispiel die Gleichung ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)). Lassen Sie uns zuerst kreuzmultiplizieren:
- (x + 1) × (2x - 2) = 2x2 + 2x -2x - 2 = 2x2 - 2
- 4 × 3 = 12
- 2x2 - 2 = 12.
Schritt 2. Schreiben Sie die Gleichung als quadratische Gleichung
In diesem Abschnitt wollen wir diese Gleichung in quadratischer Form schreiben (ax2 + bx + c = 0), was wir tun, indem wir die Gleichung gleich Null setzen. In diesem Fall ziehen wir 12 von beiden Seiten ab, um 2x. zu erhalten2 - 14 = 0.
Einige Werte können gleich 0 sein. Obwohl 2x2 - 14 = 0 ist die einfachste Form unserer Gleichung, die reelle quadratische Gleichung ist 2x2 + 0x + (-14) = 0. Es kann zu Beginn hilfreich sein, die Form der quadratischen Gleichung aufzuschreiben, auch wenn einige Werte gleich 0 sind.
Schritt 3. Lösen Sie, indem Sie die Zahlen aus Ihrer quadratischen Gleichung in die quadratische Formel einsetzen
Quadratische Formel (x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a) hilft uns, unseren x-Wert in diesem Abschnitt zu finden. Haben Sie keine Angst vor der Länge der Formel. Sie nehmen einfach die Werte aus Ihrer quadratischen Gleichung in Schritt zwei und setzen sie an den richtigen Stellen, bevor Sie sie lösen.
- x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a. In unserer Gleichung 2x2 - 14 = 0, a = 2, b = 0 und c = -14.
- x = (-0 +/- (02 - 4(2)(-14)))/2(2)
- x = (+/- (0 - -112))/2(2)
- x = (+/- (112))/2(2)
- x = (+/- 10,58/4)
- x = +/- 2, 64
Schritt 4. Überprüfen Sie Ihre Antwort, indem Sie den Wert von x erneut in Ihre quadratische Gleichung eingeben
Indem Sie den berechneten x-Wert aus Schritt zwei wieder in Ihre quadratische Gleichung einsetzen, können Sie leicht feststellen, ob Sie die richtige Antwort erhalten haben. In diesem Beispiel setzen Sie 2, 64 und -2, 64 in die ursprüngliche quadratische Gleichung ein.
Tipps
- Das Umwandeln eines Bruchs in sein Äquivalent ist eigentlich eine Form des Multiplizierens eines Bruchs mit 1. Beim Umwandeln von 1/2 in 2/4 ist das Multiplizieren von Zähler und Nenner mit 2 dasselbe wie das Multiplizieren von 1/2 mit 2/2, was 1. entspricht.
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Wenn Sie möchten, konvertieren Sie die gemischte Zahl in einen gemeinsamen Bruch, um die Umrechnung zu erleichtern. Natürlich sind nicht alle Brüche, auf die Sie stoßen, so einfach wie das Umwandeln unseres 4/8-Beispiels oben. Zum Beispiel können gemischte Zahlen (wie 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3 usw.) den Konvertierungsprozess etwas komplizierter machen. Wenn Sie eine gemischte Zahl in einen gewöhnlichen Bruch umwandeln müssen, können Sie dies auf zwei Arten tun: indem Sie die gemischte Zahl in einen gewöhnlichen Bruch umwandeln und dann wie gewohnt umwandeln, oder indem Sie die Form der gemischten Zahlen beibehalten und Antworten in Form der gemischten Zahlen erhalten.
- Um in einen gemeinsamen Bruch umzuwandeln, multiplizieren Sie die ganzzahlige Komponente der gemischten Zahl mit dem Nenner der Bruchkomponente und addieren Sie dann zum Zähler. Beispiel: 1 2/3 = ((1 × 3) + 2)/3 = 5/3. Anschließend können Sie es bei Bedarf ändern. Zum Beispiel 5/3 × 2/2 = 10/6, der gleich 1 2/3 bleibt.
- Wir müssen es jedoch nicht wie oben in einen gemeinsamen Bruch umwandeln. Andernfalls lassen wir die Ganzzahlkomponente allein, ändern nur die Nachkommakomponente und fügen die Ganzzahlkomponente unverändert hinzu. Zum Beispiel sehen wir für 3 4/16 nur 4/16. 4/16 4/4 = 1/4. Durch Hinzufügen unserer ganzzahligen Komponenten erhalten wir also eine neue gemischte Zahl, 3 1/4.
Warnung
- Multiplikation und Division können verwendet werden, um äquivalente Brüche zu erhalten, da Multiplikation und Division mit der Bruchform der Zahl 1 (2/2, 3/3 usw.) per Definition eine Antwort liefern, die dem ursprünglichen Bruch entspricht. Addition und Subtraktion können nicht verwendet werden.
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Obwohl Sie beim Multiplizieren von Brüchen die Zähler und Nenner multiplizieren, addieren oder subtrahieren Sie die Nenner nicht, wenn Sie Brüche addieren oder subtrahieren.
Zum Beispiel wissen wir oben, dass 4/8 4/4 = 1/2. Wenn wir mit 4/4 addieren, erhalten wir eine ganz andere Antwort. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 oder 3/2, sie sind nicht gleich 4/8.
