So finden Sie die Umkehrung einer Funktion - Gunook

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Ein grundlegender Teil des Erlernens der Algebra besteht darin, zu lernen, wie man die Umkehrung einer Funktion oder f(x) findet. Die Umkehrung einer Funktion wird durch f^-1(x) dargestellt, und die Umkehrung wird normalerweise visuell als die Anfangsfunktion dargestellt, die durch die Linie y=x widergespiegelt wird. In diesem Artikel erfahren Sie, wie Sie die Umkehrung einer Funktion finden.

Schritt

Finden Sie die Inverse einer Funktion Schritt 1
Finden Sie die Inverse einer Funktion Schritt 1

Schritt 1. Stellen Sie sicher, dass Ihre Funktion eine Eins-zu-Eins-Funktion (injektiv) ist

Nur Eins-zu-Eins-Funktionen haben eine Inverse.

  • Eine Funktion ist eine Eins-zu-Eins-Funktion, wenn sie den vertikalen Linientest und den horizontalen Linientest besteht. Zeichnen Sie eine vertikale Linie durch den gesamten Graphen der Funktion und zählen Sie, wie oft sie auf die Funktion trifft. Ziehen Sie dann eine horizontale Linie durch den gesamten Graphen der Funktion und zählen Sie die Anzahl der Vorkommen dieser Linie in der Funktion. Wenn jede Zeile nur einmal auf die Funktion trifft, ist die Funktion eine Eins-zu-Eins-Funktion.

    Wenn ein Graph den vertikalen Linientest nicht besteht, ist er keine Funktion

  • Um algebraisch zu bestimmen, ob eine Funktion eine Eins-zu-Eins-Funktion ist, setzen Sie f(a) und f(b) in Ihre Funktion ein, um zu sehen, ob a = b ist. Nehmen wir zum Beispiel f(x) = 3x+5.

    • f(a) = 3a + 5; f(b) = 3b + 5
    • 3a + 5 = 3b + 5
    • 3a = 3b
    • a = b
  • Somit ist f(x) eine Eins-zu-Eins-Funktion.
Finden Sie die Inverse einer Funktion Schritt 2
Finden Sie die Inverse einer Funktion Schritt 2

Schritt 2. Da dies eine Funktion ist, ändern Sie x und y

Denken Sie daran, dass f(x) ein Ersatz für "y" ist.

  • In einer Funktion steht "f(x)" oder "y" für die Ausgabe und "x" für die Eingabe. Um die Umkehrung einer Funktion zu finden, vertauschen Sie Eingang und Ausgang.
  • Beispiel: Verwenden wir f(x) = (4x+3)/(2x+5) – was eine Eins-zu-Eins-Funktion ist. Durch Vertauschen von x und y erhalten wir x = (4y + 3)/(2y + 5).
Finden Sie die Inverse einer Funktion Schritt 3
Finden Sie die Inverse einer Funktion Schritt 3

Schritt 3. Suchen Sie das neue "y"

Sie müssen den Ausdruck ändern, um y zu finden, oder um neue Operationen zu finden, die an der Eingabe ausgeführt werden sollen, um die Umkehrung als Ausgabe zu erhalten.

  • Dies kann je nach Ausdrucksweise schwierig sein. Möglicherweise müssen Sie algebraische Tricks wie Kreuzmultiplikation oder Faktorisierung anwenden, um Ausdrücke auszuwerten und zu vereinfachen.

  • In unserem Beispiel führen wir die folgenden Schritte aus, um y zu isolieren:

    • Wir beginnen mit x = (4y + 3)/(2y + 5)
    • x(2y + 5) = 4y + 3 – Multiplizieren Sie beide Seiten mit (2y + 5)
    • 2xy + 5x = 4y + 3 – Verteile x
    • 2xy - 4y = 3 - 5x – Verschiebe alle y-Terme auf eine Seite
    • y(2x - 4) = 3 - 5x – Verteile in umgekehrter Reihenfolge, um die Terme y. zu kombinieren
    • y = (3 - 5x)/(2x - 4) – Dividiere, um deine Antwort zu erhalten
Finden Sie die Inverse einer Funktion Schritt 4
Finden Sie die Inverse einer Funktion Schritt 4

Schritt 4. Ersetzen Sie das neue "y" durch f^-1(x)

Dies ist die Gleichung für die Umkehrung Ihrer ursprünglichen Funktion.

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