Alle rechtwinkligen Dreiecke haben einen rechten Winkel (90 Grad), und die Hypotenuse ist die diesem Winkel gegenüberliegende Seite. Die Hypotenuse ist die längste Seite des Dreiecks, und es ist auch sehr einfach, sie auf verschiedene Weise zu finden. In diesem Artikel erfahren Sie, wie Sie mit dem Satz des Pythagoras die Länge der Hypotenuse bestimmen, wenn Sie die Längen der anderen beiden Seiten des Dreiecks kennen. Als Nächstes erfahren Sie in diesem Artikel, wie Sie die Hypotenuse einiger spezieller rechtwinkliger Dreiecke identifizieren, die häufig in Prüfungen vorkommen. Schließlich erfahren Sie in diesem Artikel, wie Sie die Länge der Hypotenuse mithilfe des Sinusgesetzes bestimmen, wenn Sie nur die Länge einer Seite und die Messung eines anderen Winkels als des rechten Winkels kennen.
Schritt
Methode 1 von 3: Verwenden des Satzes des Pythagoras
Schritt 1. Lernen Sie den Satz des Pythagoras
Der Satz des Pythagoras beschreibt die Beziehung zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Dieser Satz besagt, dass für jedes rechtwinklige Dreieck mit Seiten entlang a und b und einer Hypotenuse entlang c ein2 + b2 = c2.
Schritt 2. Stellen Sie sicher, dass Ihr Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck ist
Der Satz des Pythagoras gilt nur für rechtwinklige Dreiecke, und per Definition haben nur rechtwinklige Dreiecke eine Hypotenuse. Wenn Ihr Dreieck einen Winkel von genau 90 Grad hat, ist es ein rechtwinkliges Dreieck und Sie können weitermachen.
Rechte Winkel werden in Lehrbüchern und Prüfungen oft durch ein kleines Quadrat in der Ecke der Ecke gekennzeichnet. Dieses besondere Zeichen bedeutet "90 Grad"
Schritt 3. Weisen Sie den Seiten Ihres Dreiecks die Variablen a, b und c zu
Die Variable "c" wird immer der Hypotenuse oder längsten Seite zugewiesen. Wählen Sie eine der anderen Seiten als "a" und nennen Sie die andere Seite "b" (egal welche Seite a oder b ist; die Berechnung bleibt gleich). Setzen Sie dann die Längen von a und b gemäß dem folgenden Beispiel in die Formel ein:
Wenn Ihr Dreieck Seiten der Längen 3 und 4 hat und Sie die Buchstaben den Seiten so zugewiesen haben, dass a = 3 und b = 4, würden Sie Ihre Gleichung schreiben wie: 32 + 42 = c2.
Schritt 4. Finden Sie das Quadrat von a und b
Um das Quadrat einer Zahl zu finden, multipliziert man die Zahl einfach mit sich selbst, so dass ein2 = a x a. Finde die Quadrate von a und b und setze sie in deine Formel ein.
- Wenn a = 3, a2 = 3 x 3 oder 9. Wenn b = 4, b2 = 4 x 4 oder 16.
- Wenn Sie diese Werte in Ihre Gleichung einsetzen, sollte Ihre Gleichung jetzt so aussehen: 9 + 16 = c2.
Schritt 5. Addiere die Werte von a2 und B2.
Setze die Summe in deine Gleichung ein, und du erhältst den Wert von c2. Es bleibt nur noch ein Schritt und Sie werden die Hypotenuse lösen!
In unserem Beispiel, 9 + 16 = 25, also würdest du schreiben 25 = c2.
Schritt 6. Finden Sie die Quadratwurzel von c2.
Verwenden Sie die Quadratwurzelfunktion Ihres Taschenrechners (oder Speichers oder Ihrer Multiplikationstabelle), um die Quadratwurzel von c. zu finden2. Die Antwort ist die Länge Ihrer Hypotenuse!
In unserem Beispiel, C2 = 25. Die Quadratwurzel von 25 ist 5 (5 x 5 = 25, so Wurzel(25) = 5). Es bedeutet, c = 5, die Länge unserer Hypotenuse!
Methode 2 von 3: Finden der Hypotenuse eines speziellen rechtwinkligen Dreiecks
Schritt 1. Lernen Sie Dreiecke mit dem Pythagoräischen Tripel zu erkennen
Die Seitenlängen des pythagoräischen Tripels sind nach dem Satz des Pythagoras ganze Zahlen. Diese speziellen Dreiecke erscheinen oft in Geometrielehrbüchern und standardisierten Prüfungen wie der UN. Wenn Sie sich vor allem an die ersten 2 pythagoräischen Tripel erinnern, können Sie bei diesen Tests viel Zeit sparen, denn Sie werden die Hypotenuse eines dieser Dreiecke nur anhand der Seitenlängen schnell herausfinden!
- Das erste pythagoräische Tripel war 3-4-5 (32 + 42 = 52, 9 + 16 = 25). Wenn Sie ein rechtwinkliges Dreieck mit Beinen der Länge 3 und 4 sehen, werden Sie sofort glauben, dass seine Hypotenuse 5 ist, ohne dass Sie irgendwelche Berechnungen durchführen müssen.
-
Das pythagoräische Dreifachverhältnis gilt auch dann, wenn die Seiten mit einer anderen Zahl multipliziert werden. Zum Beispiel ein rechtwinkliges Dreieck mit Beinlänge
Schritt 6. da
Schritt 8. wird eine Hypotenuse haben
Schritt 10. (62 + 82 = 102, 36 + 64 = 100). Das gleiche gilt für 9-12-15, und selbst 1, 5-2-2, 5. Probieren Sie die Berechnungen aus und überzeugen Sie sich selbst!
- Das zweite pythagoräische Tripel, das häufig in Prüfungen auftaucht, ist 5-12-13 (52 + 122 = 132, 25 + 144 = 169). Achte auch auf die Vielfachen wie 10-24-26 und 2, 5-6-6, 5.
Schritt 2. Merken Sie sich das Seitenverhältnis eines rechtwinkligen Dreiecks 45-45-90
Ein rechtwinkliges Dreieck 45-45-90 hat Winkel von 45, 45 und 90 Grad und wird auch als gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck bezeichnet. Dieses Dreieck kommt häufig in standardisierten Prüfungen vor und ist sehr einfach zu lösen. Das Seitenverhältnis dieses Dreiecks ist 1:1:Wurzel(2), was bedeutet, dass die Länge der Beine gleich ist und die Länge der Hypotenuse einfach die Länge der Beine mal der Quadratwurzel von zwei ist.
- Um die Hypotenuse dieses Dreiecks basierend auf der Länge eines seiner Beine zu berechnen, multiplizieren Sie einfach die Länge des Beins mit Sqrt(2).
- Diese Vergleiche zu kennen ist hilfreich, insbesondere wenn Ihre Prüfungs- oder Hausaufgaben die Seitenlängen als Variablen anstelle von ganzen Zahlen angeben.
Schritt 3. Studieren Sie die Seitenverhältnisse eines rechtwinkligen Dreiecks von 30-60-90
Diese Dreiecke haben Winkelmaße von 30, 60 und 90 Grad und treten auf, wenn Sie ein gleichseitiges Dreieck halbieren. Die Seiten eines 30-60-90 rechtwinkligen Dreiecks haben immer das Verhältnis 1: Wurzel (3): 2, oder x:Wurzel(3)x:2x. Wenn Sie die Länge eines Schenkels eines rechtwinkligen Dreiecks 30-60-90 erhalten und aufgefordert werden, die Hypotenuse zu finden, wäre dieses Problem sehr einfach zu lösen:
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Wenn Sie die Länge des kürzesten Beins erhalten (entgegengesetzt in einem 30-Grad-Winkel), multiplizieren Sie einfach die Länge des Beins mit 2, um die Länge der Hypotenuse zu ermitteln. Wenn beispielsweise die Länge des kürzesten Beins
Schritt 4., wissen Sie, dass die Länge der Hypotenuse sein muss
Schritt 8..
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Wenn Sie die Länge des längeren Beins erhalten (entgegen einem Winkel von 60 Grad), multiplizieren Sie diese Länge mit 2/Wurzel(3) um die Länge der Hypotenuse zu bestimmen. Zum Beispiel, wenn die Länge des längeren Beins
Schritt 4., wissen Sie, dass die Länge der bestimmten Hypotenuse 4, 62.
Methode 3 von 3: Finden der Hypotenuse mit dem Sinusgesetz
Schritt 1. Verstehen Sie die Bedeutung von "Sinus"
Die Begriffe "Sinus", "Cosinus" und "Tangens" beziehen sich auf die verschiedenen Verhältnisse zwischen den Winkeln und/oder Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Sinus ein Winkel ist definiert als die Länge der dem Winkel gegenüberliegenden Seite geteilt durch Dreieck Hypotenuse. Die Abkürzung für Sinus in Gleichungen und Taschenrechnern ist Sünde.
Schritt 2. Lernen Sie, wie man Sinus berechnet
Sogar grundlegende wissenschaftliche Taschenrechner haben eine Sinusfunktion. Suchen Sie nach der Schaltfläche mit der Aufschrift Sünde. Um den Sinus eines Winkels zu ermitteln, drücken Sie normalerweise die Taste Sünde und geben Sie dann die Winkelmessung in Grad ein. Bei einigen Taschenrechnern müssen Sie jedoch zuerst die Winkelmessung eingeben und dann die Taste drücken Sünde. Sie müssen mit Ihrem Taschenrechner experimentieren oder das Handbuch lesen, um herauszufinden, welche Methode Sie verwenden müssen.
- Um den Sinus eines 80-Grad-Winkels zu ermitteln, müssen Sie eingeben Sünde 80 gefolgt von einem Gleichheitszeichen oder Enter, oder 80 Sünde. (Die Antwort ist -0, 9939.)
- Sie können auch "Sinus-Rechner" in eine Websuche eingeben und nach einigen einfach zu bedienenden Taschenrechnern suchen, die jegliches Rätselraten aus dem Weg räumen.
Schritt 3. Lernen Sie das Sinusgesetz
Das Sinusgesetz ist ein nützliches Werkzeug zum Lösen von Dreiecken. Insbesondere kann dieses Gesetz Ihnen helfen, die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks zu finden, wenn Sie die Länge einer Seite und die Messung eines anderen Winkels als dieses rechten Winkels kennen. Für jedes Dreieck mit Seiten ein, B, und C, und Winkel EIN, B, und C, das Sinusgesetz besagt, dass a / Sünde A = b / Sünde B = c / sin C.
Das Sinusgesetz kann tatsächlich verwendet werden, um jedes Dreieck zu lösen, aber nur rechtwinklige Dreiecke haben eine Hypotenuse
Schritt 4. Weisen Sie den Seiten Ihres Dreiecks die Variablen a, b und c zu
Die Hypotenuse (längste Seite) muss "c" sein. Der Einfachheit halber beschriften Sie "a" für die Seite bekannter Länge und beschriften Sie "b" für die andere Seite. Der rechte Winkel gegenüber der Hypotenuse ist "C". Der Winkel gegenüber der Seite "a" ist der Winkel "A", und der Winkel gegenüber der Seite "b" ist "B".
Schritt 5. Berechnen Sie die Messung des dritten Winkels
Da es sich um einen rechten Winkel handelt, wissen wir bereits, dass C = 90 Grad, und du kennst auch die Maße EIN oder B. Da das Maß des inneren Grades eines Dreiecks immer 180 Grad beträgt, können Sie das Maß der Winkel aller drei ganz einfach mit der Formel berechnen: 180 – (90 + A) = B. Sie können die Gleichung auch umkehren zu 180 – (90 + B) = A.
Zum Beispiel, wenn du das weißt A = 40 Grad, B = 180 – (90 + 40). Vereinfachen Sie dies zu B = 180 – 130, und das können Sie schnell feststellen B = 50 Grad.
Schritt 6. Überprüfen Sie Ihr Dreieck
In diesem Schritt kennen Sie bereits die Maße der drei Winkel und die Länge der Seite a. Jetzt ist es an der Zeit, diese Informationen in die Sinusgleichungen einzufügen, um die Längen der anderen beiden Seiten zu bestimmen.
Um unser Beispiel fortzusetzen, sagen wir die Länge der Seite a = 10. Winkel C = 90 Grad, Winkel A = 40 Grad und Winkel B = 50 Grad
Schritt 7. Wenden Sie das Sinusgesetz auf Ihr Dreieck an
Wir müssen nur unsere Zahlen einsetzen und die folgende Gleichung lösen, um die Länge der Hypotenuse c zu finden: Seitenlänge a / sin A = Seitenlänge c / sin C. Diese Gleichung sieht vielleicht etwas beängstigend aus, aber der Sinus von 90 Grad ist immer gleich und entspricht immer 1! Somit kann unsere Gleichung vereinfacht werden zu: a / sin A = c / 1, oder nur a / sin A = c.
Schritt 8. Teilen Sie die Länge der Seite a mit dem Sinus des Winkels A um die Länge der Hypotenuse zu bestimmen!
Sie können es in zwei separaten Schritten finden, indem Sie zuerst sin A berechnen und das Ergebnis aufschreiben und dann durch a dividieren. Oder Sie geben alles gleichzeitig in den Rechner ein. Wenn Sie einen Taschenrechner verwenden, denken Sie daran, die Klammern nach dem Divisionszeichen zu setzen. Geben Sie beispielsweise ein 10 / (Sünde 40) oder 10 / (40 Sünde), abhängig von Ihrem Rechner.
