Wie man ein quadratisches Diagramm zeichnet: 10 Schritte (mit Bildern)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-02-01 14:12

Bei grafischer Darstellung hat die quadratische Gleichung die Form Axt² + bx + c oder a(x - h)² + k bilden den Buchstaben U oder eine umgekehrte U-Kurve, die Parabel genannt wird. Bei der grafischen Darstellung einer quadratischen Gleichung wird nach dem Scheitelpunkt, der Richtung und oft nach dem Schnittpunkt von x und y gesucht. Bei recht einfachen quadratischen Gleichungen kann es ausreichend sein, einen Satz von x-Werten einzugeben und die Kurve basierend auf den resultierenden Punkten zu zeichnen. Siehe Schritt 1 unten, um zu beginnen.

Schritt

Schritt 1. Bestimmen Sie die Form der quadratischen Gleichung, die Sie haben

Quadratische Gleichungen können in drei verschiedenen Formen geschrieben werden: allgemeine Form, Scheitelform und quadratische Form. Sie können jede beliebige Form verwenden, um eine quadratische Gleichung darzustellen; der Prozess der Darstellung jedes Diagramms ist etwas anders. Wenn Sie Hausaufgaben machen, erhalten Sie in der Regel Fragen in einer dieser beiden Formen – das heißt, Sie können nicht wählen, also verstehen Sie am besten beide. Die zwei Formen der quadratischen Gleichung sind:

• Generelle Form.

  In dieser Form wird die quadratische Gleichung geschrieben als: f(x) = ax² + bx + c wobei a, b und c reelle Zahlen sind und a nicht Null ist.

  Zum Beispiel sind zwei quadratische Gleichungen allgemeiner Form f(x) = x² + 2x + 1 und f(x) = 9x² + 10x -8.

• Spitzenform.

  In dieser Form wird die quadratische Gleichung geschrieben als: f(x) = a(x - h)² + k wobei a, h und k reelle Zahlen sind und a nicht Null ist. Es wird als Scheitelpunktform bezeichnet, weil h und k sofort den Scheitelpunkt (Mittelpunkt) Ihrer Parabel am Punkt (h, k) ergeben.

  Die beiden Scheitelpunktformgleichungen lauten f(x) = 9(x - 4)² + 18 und -3 (x - 5)² + 1

• Um irgendeine Art von Gleichung darzustellen, müssen wir zuerst den Scheitelpunkt der Parabel finden, der der Mittelpunkt (h, k) am Ende der Kurve ist. Die Koordinaten der Peaks in der allgemeinen Form werden wie folgt berechnet: h = -b/2a und k = f(h), während in der Peakform h und k in der Gleichung enthalten sind.

Schritt 2. Definieren Sie Ihre Variablen

Um ein quadratisches Problem zu lösen, müssen in der Regel die Variablen a, b und c (bzw. a, h und k) definiert werden. Ein gewöhnliches Algebraproblem liefert eine quadratische Gleichung mit den verfügbaren Variablen, normalerweise in allgemeiner Form, manchmal jedoch in Spitzenform.

• Für eine Gleichung der allgemeinen Form f(x) = 2x² +16x + 39, wir haben a = 2, b = 16 und c = 39.
• Für die Peakformgleichung f(x) = 4(x - 5)² + 12, wir haben a = 4, h = 5 und k = 12.

Schritt 3. Berechnen Sie h

In der Scheitelpunktformgleichung ist Ihr h-Wert bereits angegeben, aber in der allgemeinen Formgleichung muss der h-Wert berechnet werden. Denken Sie daran, dass für Gleichungen allgemeiner Form h = -b/2a ist.

• In unserem allgemeinen Formbeispiel (f(x) = 2x² +16x + 39), h = –b/2a = –16/2(2). Nach dem Lösen finden wir, dass h = - 4.
• In unserem Beispiel für die Scheitelpunktform (f(x) = 4(x - 5)² + 12), wissen wir, dass h = 5 ist, ohne etwas zu rechnen.

Schritt 4. Berechnen Sie k

k ist wie h bereits in der Gleichung der Peakform bekannt. Denken Sie bei Gleichungen allgemeiner Form daran, dass k = f(h) ist. Mit anderen Worten, Sie können k finden, indem Sie alle x-Werte in Ihrer Gleichung durch die gerade gefundenen h-Werte ersetzen.

• Wir haben bereits in unserem allgemeinen Formbeispiel festgestellt, dass h = -4. Um k zu finden, lösen wir unsere Gleichung, indem wir unseren Wert von h anstelle von x einsetzen:

  • k = 2(-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2(16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Schritt 7.

• Auch in unserem Spitzenform-Beispiel kennen wir den Wert von k (der 12 ist), ohne dass wir rechnen müssen.

Schritt 5. Zeichnen Sie Ihren Höhepunkt

Der Scheitelpunkt Ihrer Parabel ist der Punkt (h, k) – h steht für die x-Koordinate, während k die y-Koordinate darstellt. Der Scheitelpunkt ist der Mittelpunkt Ihrer Parabel – entweder am unteren Ende des U oder am oberen Ende des umgekehrten U. Die Vertices zu kennen ist ein wichtiger Teil beim Zeichnen einer präzisen Parabel – oft ist in der Schule die Bestimmung des Vertex der Teil, nach dem in einer Frage gesucht werden muss.

• In unserem allgemeinen Formbeispiel ist unser Peak (-4, 7). Somit gipfelt unsere Parabel 4 Schritte nach links von 0 und 7 Schritte darüber (0, 0). Wir müssen diesen Punkt in unserem Diagramm darstellen und darauf achten, die Koordinaten zu markieren.
• In unserem Beispiel für eine Scheitelpunktform ist unser Scheitelpunkt (5, 12). Wir müssen einen Punkt 5 Schritte nach rechts und 12 Schritte darüber (0, 0) zeichnen.

Schritt 6. Zeichnen Sie die Achse der Parabel (optional)

Die Symmetrieachse einer Parabel ist eine Linie, die durch ihren Mittelpunkt geht und sie genau in der Mitte teilt. Auf dieser Achse spiegelt die linke Seite der Parabel die rechte Seite. Für quadratische Gleichungen der Form ax² + bx + c oder a(x - h)² + k, die Symmetrieachse ist die Linie, die parallel zur y-Achse (also genau vertikal) verläuft und durch den Scheitelpunkt geht.

In unserem allgemeinen Formbeispiel ist die Achse die Linie parallel zur y-Achse und geht durch den Punkt (-4, 7). Auch wenn sie nicht Teil der Parabel ist, hilft Ihnen eine dünne Markierung dieser Linie in Ihrem Diagramm schließlich dabei, die symmetrische Form der Kurve der Parabel zu erkennen

Schritt 7. Finden Sie die Richtung der Öffnung der Parabel

Nachdem wir den Gipfel und die Achse der Parabel kennen, müssen wir als nächstes wissen, ob sich die Parabel nach oben oder unten öffnet. Glücklicherweise ist dies einfach. Bei einem positiven Wert von a öffnet sich die Parabel nach oben, bei einem negativen Wert von a öffnet sich die Parabel nach unten (d. h. die Parabel wird invertiert).

• Für unser allgemeines Formbeispiel (f(x) = 2x² +16x + 39), wissen wir, dass wir eine Parabel haben, die sich öffnet, weil in unserer Gleichung a = 2 (positiv) ist.
• Für unser Vertex-Form-Beispiel (f(x) = 4(x - 5)² + 12), wissen wir, dass wir auch eine Parabel haben, die sich wegen a = 4 (positiv) öffnet.

Schritt 8. Suchen und zeichnen Sie bei Bedarf den x-Achsenabschnitt

In Schulaufgaben werden Sie oft gebeten, den x-Achsenabschnitt in der Parabel zu finden (das sind ein oder zwei Punkte, an denen die Parabel auf die x-Achse trifft). Auch wenn Sie keinen finden, sind diese beiden Punkte sehr wichtig, um eine präzise Parabel zu zeichnen. Allerdings haben nicht alle Parabeln einen x-Achsenabschnitt. Wenn Ihre Parabel einen Scheitel hat, der sich öffnet und der Scheitel über der x-Achse liegt, oder wenn sie sich nach unten öffnet und der Scheitel unter der x-Achse liegt, die Parabel wird keinen x-Achsenabschnitt haben. Andernfalls lösen Sie Ihren x-Achsenabschnitt auf eine der folgenden Arten:

• Machen Sie einfach f(x) = 0 und lösen Sie die Gleichung. Dieses Verfahren kann für einfache quadratische Gleichungen verwendet werden, insbesondere in Peakform, wird jedoch für komplexe Gleichungen sehr schwierig sein. Siehe unten für ein Beispiel

  • f(x) = 4(x - 12)² - 4
  • 0 = 4(x - 12)² - 4
  • 4 = 4(x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • Wurzel (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 und 13 ist der x-Achsenabschnitt in der Parabel.

• Faktorisieren Sie Ihre Gleichung. Einige Gleichungen in der Form ax² + bx + c lässt sich leicht in die Form (dx + e)(fx +g) umrechnen, wobei dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx und e × g = c. In diesem Fall sind Ihre x-Achsenabschnitte x-Werte, die jeden Term in Klammern = 0 machen. Zum Beispiel:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • In diesem Fall ist Ihr einziger x-Achsenabschnitt -1, da x gleich -1 jeden Faktorterm in Klammern gleich 0 macht.

• Verwenden Sie die quadratische Formel. Wenn Sie Ihren x-Achsenabschnitt nicht einfach lösen oder Ihre Gleichung faktorisieren können, verwenden Sie eine spezielle Gleichung namens quadratische Formel, die zu diesem Zweck erstellt wurde. Wenn es noch nicht gelöst ist, wandeln Sie Ihre Gleichung in die Form ax. um² + bx + c, dann gib a, b und c in die Formel ein x = (-b +/- sqrt(b)² - 4ac))/2a. Beachten Sie, dass Sie bei dieser Methode oft zwei Antworten für den Wert von x erhalten, was in Ordnung ist – es bedeutet nur, dass Ihre Parabel zwei x-Achsenabschnitte hat. Siehe unten für ein Beispiel:

  • -5x² + 1x + 10 wird wie folgt in die quadratische Formel eingesetzt:
  • x = (-1 +/- Wurzel (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- Wurzel(1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- Wurzel(201))/-10
  • x = (-1 +/- 14, 18)/-10
  • x = (13, 18/-10) und (-15, 18/-10). Der x-Achsenabschnitt in der Parabel ist x = - 1, 318 und 1, 518
  • Unser vorheriges Beispiel der allgemeinen Form, 2x² +16x+39 wird wie folgt in die quadratische Formel eingesetzt:
  • x = (-16 +/- Wurzel(16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- Wurzel(256 - 312))/4
  • x = (-16 +/- Wurzel(-56)/-10
  • Da es unmöglich ist, die Quadratwurzel einer negativen Zahl zu finden, wissen wir, dass diese Parabel hat keinen x-Achsenabschnitt.

Schritt 9. Falls erforderlich, suchen und zeichnen Sie den y-Achsenabschnitt

Während es oft nicht notwendig ist, in Gleichungen nach dem y-Achsenabschnitt zu suchen (der Punkt, an dem die Parabel durch die y-Achse verläuft), müssen Sie ihn möglicherweise irgendwann finden, insbesondere wenn Sie in der Schule sind. Der Prozess ist ziemlich einfach – machen Sie einfach x = 0 und lösen Sie dann Ihre Gleichung nach f(x) oder y, was den Wert von y ergibt, wo Ihre Parabel durch die y-Achse verläuft. Im Gegensatz zum x-Achsenabschnitt kann eine reguläre Parabel nur einen y-Achsenabschnitt haben. Hinweis – für Gleichungen allgemeiner Form liegt der y-Achsenabschnitt bei y = c.

• Zum Beispiel wissen wir, dass unsere quadratische Gleichung 2x. ist² + 16x + 39 hat einen y-Achsenabschnitt bei y = 39, kann aber auch auf folgende Weise gefunden werden:

  • f(x) = 2x² +16x+39
  • f(x) = 2(0)² + 16(0) + 39

  • f(x) = 39. Der y-Achsenabschnitt der Parabel ist bei j = 39.

    Wie oben erwähnt, liegt der y-Achsenabschnitt bei y = c.

• Die Form unserer Scheitelpunktgleichung ist 4(x - 5)² + 12 hat einen y-Achsenabschnitt, der wie folgt ermittelt werden kann:

  • f(x) = 4(x - 5)² + 12
  • f(x) = 4(0 - 5)² + 12
  • f(x) = 4(-5)² + 12
  • f(x) = 4(25) + 12

  • f(x) = 112. Der y-Achsenabschnitt der Parabel ist bei y = 112.

Schritt 10. Zeichnen Sie bei Bedarf zusätzliche Punkte und zeichnen Sie dann ein Diagramm

Jetzt haben Sie den Scheitelpunkt, die Richtung, den x-Achsenabschnitt und möglicherweise den y-Achsenabschnitt in Ihrer Gleichung. In diesem Stadium können Sie versuchen, Ihre Parabel anhand der Punkte zu zeichnen, die Sie als Richtlinie haben, oder nach anderen Punkten suchen, um Ihre Parabel auszufüllen, damit die von Ihnen gezeichnete Kurve präziser wird. Der einfachste Weg, dies zu tun, besteht darin, einfach einige x-Werte in eine beliebige Seite Ihres Scheitelpunkts einzugeben und diese Punkte dann mit den erhaltenen y-Werten zu zeichnen. Oftmals bitten dich die Lehrer, nach mehreren Punkten zu suchen, bevor du deine Parabel zeichnest.

• Betrachten wir die Gleichung x² + 2x + 1. Wir wissen bereits, dass der x-Achsenabschnitt nur bei x = -1 liegt. Da die Kurve den x-Achsenabschnitt nur an einem Punkt berührt, können wir schlussfolgern, dass der Scheitelpunkt sein x-Achsenabschnitt ist, was bedeutet, dass der Scheitelpunkt (-1, 0) ist. Wir haben effektiv nur einen Punkt für diese Parabel – nicht genug, um eine gute Parabel zu zeichnen. Lassen Sie uns nach einigen anderen Punkten suchen, um sicherzustellen, dass wir einen gründlichen Graphen zeichnen.

  • Lassen Sie uns die y-Werte für die folgenden x-Werte ermitteln: 0, 1, -2 und -3.
  • Für 0: f(x) = (0)² + 2(0) + 1 = 1. Unser Punkt ist (0, 1).

  • Für 1: f(x) = (1)² + 2(1) + 1 = 4. Unser Punkt ist (1, 4).

  • Für -2: f(x) = (-2)² + 2(-2) + 1 = 1. Unser Punkt ist (-2, 1).

  • Für -3: f(x) = (-3)² + 2(-3) + 1 = 4. Unser Punkt ist (-3, 4).

  • Zeichnen Sie diese Punkte in das Diagramm und zeichnen Sie Ihre U-förmige Kurve. Beachten Sie, dass die Parabel perfekt symmetrisch ist – wenn Ihre Punkte auf einer Seite der Parabel ganze Zahlen sind, können Sie normalerweise die Arbeit reduzieren, einen bestimmten Punkt einfach auf der Symmetrieachse der Parabel zu reflektieren, um denselben Punkt auf der anderen Seite der Parabel zu finden.

Tipps

• Runden Sie Zahlen oder verwenden Sie Brüche entsprechend den Wünschen Ihres Algebralehrers. Dies wird Ihnen helfen, die quadratische Gleichung besser darzustellen.
• Beachten Sie, dass in f(x) = ax² + bx + c, wenn b oder c gleich Null ist, verschwinden diese Zahlen. Zum Beispiel 12x² + 0x + 6 wird 12x² + 6, weil 0x 0 ist.