3 Möglichkeiten, Quadratwurzeln zu vereinfachen

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-12-16 11:03

Die Quadratwurzel zu vereinfachen ist nicht so schwierig, wie es scheint. Um die Quadratwurzel zu vereinfachen, müssen Sie nur die Zahl faktorisieren und die Quadratwurzel von jedem perfekten Quadrat ziehen, das unter der Quadratwurzel liegt. Wenn Sie sich an häufig verwendete perfekte Quadrate erinnern und wissen, wie man Zahlen faktorisiert, können Sie Quadratwurzeln ziemlich gut vereinfachen.

Schritt

Methode 1 von 3: Quadratwurzeln durch Faktorisieren vereinfachen

Schritt 1. Verstehen Sie die Faktoren

Das Ziel der Vereinfachung von Quadratwurzeln besteht darin, sie in einer Form zu schreiben, die leicht zu verstehen und in mathematischen Problemen zu verwenden ist. Durch die Faktorisierung wird eine große Zahl in zwei oder mehr kleinere "Faktor"-Zahlen zerlegt, zum Beispiel 9 in 3 x 3. Wenn wir diesen Faktor gefunden haben, können wir die Quadratwurzel in eine einfachere Form umschreiben und manchmal sogar ändern eine reguläre ganze Zahl. Zum Beispiel 9 = (3x3) = 3. Befolgen Sie diese Schritte, um mehr über diesen Prozess in komplexeren Quadratwurzeln zu erfahren.

Schritt 2. Dividiere die Zahl durch die kleinstmögliche Primzahl

Wenn die Zahl unter der Quadratwurzel eine gerade Zahl ist, dividiere durch 2. Wenn deine Zahl ungerade ist, versuche, durch 5 zu dividieren Zahl. Prime, um als Ergebnis eine ganze Zahl zu erhalten. Sie müssen nur auf Primzahlen testen, da alle anderen Zahlen Primzahlen als Faktoren haben. Zum Beispiel müssen Sie nicht mit der Zahl 4 testen, da alle Zahlen, die durch 4 teilbar sind, auch durch 2 teilbar sind, was Sie zuvor versucht haben.

• 2
• 3
• 5
• 7
• 11
• 13
• 17

Schritt 3. Schreiben Sie die Quadratwurzel als Multiplikationsproblem um

Schreiben Sie diese Multiplikation weiterhin unter die Quadratwurzel und vergessen Sie nicht, beide Faktoren einzubeziehen. Wenn Sie beispielsweise 98 vereinfachen möchten, führen Sie die obigen Schritte aus, um herauszufinden, dass 98 2 = 49, also 98 = 2 x 49. Schreiben Sie die Zahl "98" mit dieser Information in ihre ursprüngliche Quadratwurzel um: 98 = (2 x 49).

Schritt 4. Wiederholen Sie dies bei einer der verbleibenden Nummern

Bevor wir die Quadratwurzel vereinfachen können, müssen wir sie weiter faktorisieren, bis sie zu zwei exakt gleichen Zahlen wird. Dies macht Sinn, wenn Sie sich daran erinnern, was die Quadratwurzel bedeutet: Die Zahl (2 x 2) bedeutet "eine Zahl, die Sie mit sich selbst multiplizieren können, entspricht 2 x 2." Die Antwort ist natürlich 2! In diesem Sinne wiederholen wir die obigen Schritte, um unser Beispielproblem (2 x 49) zu lösen:

• 2 wurde so klein wie möglich angesetzt. (Mit anderen Worten, diese Zahl ist eine der oben aufgeführten Primzahlen). Wir ignorieren diese Zahl vorerst und versuchen, zuerst durch 49 zu dividieren.
• 49 kann nicht vollständig durch 2 oder durch 3 oder durch 5 geteilt werden. Sie können dies selbst mit einem Taschenrechner oder einer langen Division testen. Da diese Division keine ganze Zahl ergibt, ignorieren wir sie und versuchen es mit der nächsten Zahl.
• 49 ist vollständig durch 7 teilbar. 49 7 = 7, also 49 = 7 x 7.
• Schreiben Sie das obige Problem um: (2 x 49) = (2 x 7 x 7).

Schritt 5. Lösen Sie, indem Sie eine ganze Zahl "extrahieren"

Sobald Sie das Problem in zwei exakt gleiche Faktoren aufgelöst haben, können Sie es in eine reguläre ganze Zahl außerhalb der Quadratwurzel umwandeln. Die restlichen Faktoren bleiben in der Quadratwurzel. Zum Beispiel (2 x 7 x 7) = (2)√(7 x 7) = (2) x 7 = 7√(2).

Selbst wenn Sie weiter faktorisieren können, müssen Sie dies nicht noch einmal tun, sobald Sie zwei Faktoren gefunden haben, die genau übereinstimmen. Zum Beispiel (16) = (4 x 4) = 4. Wenn wir weiter faktorisieren, erhalten wir die gleiche Antwort, aber länger: (16) = (4 x 4) = (2 x 2 x 2 x 2) = (2 x 2)√(2 x 2) = 2 x 2 = 4

Schritt 6. Multiplizieren Sie alle ganzen Zahlen, wenn es mehr als eine gibt

Bei einigen großen Quadratwurzelzahlen können Sie mehr als einmal vereinfachen. Wenn dies der Fall ist, multiplizieren Sie die ganze Zahl, die Sie erhalten, um die endgültige Antwort zu erhalten. Hier ist ein Beispiel:

• 180 = (2 x 90)
• 180 = (2 x 2 x 45)
• 180 = 2√45, aber dieser Wert kann weiter vereinfacht werden.
• 180 = 2√(3 x 15)
• 180 = 2√(3 x 3 x 5)
• √180 = (2)(3√5)
• √180 = 6√5

Schritt 7. Schreiben Sie "kann nicht vereinfacht werden", wenn keine zwei Faktoren gleich sind

Einige Quadratwurzelzahlen liegen bereits in ihrer einfachsten Form vor. Wenn Sie so lange faktorisieren, bis alle Primzahlen sind (wie im obigen Schritt aufgeführt) und keines der Paare gleich ist, können Sie nichts tun. Sie könnten eine Fallenfrage bekommen! Versuchen Sie beispielsweise, 70 zu vereinfachen:

• 70 = 35 x 2, also 70 = (35 x 2)
• 35 = 7 x 5, also (35 x 2) = (7 x 5 x 2)
• Alle drei Zahlen hier sind Primzahlen, können also nicht weiter faktorisiert werden. Die drei Zahlen sind unterschiedlich, daher ist es unmöglich, eine ganze Zahl zu erzeugen. 70 kann nicht vereinfacht werden.

Methode 2 von 3: Erkennen perfekter Quadrate

Schritt 1. Erinnere dich an einige perfekte Quadrate

Das Quadrieren einer Zahl oder das Multiplizieren mit der Zahl selbst erzeugt ein perfektes Quadrat. 25 ist zum Beispiel ein perfektes Quadrat, denn 5 x 5 oder 5², gleich 25. Merken Sie sich mindestens die ersten zehn perfekten Quadrate, um perfekte Quadratwurzeln zu identifizieren und zu vereinfachen. Hier sind die ersten zehn perfekten Quadratzahlen:

• 1² = 1
• 2² = 4
• 3² = 9
• 4² = 16
• 5² = 25
• 6² = 36
• 7² = 49
• 8² = 64
• 9² = 81
• 10² = 100

Schritt 2. Finden Sie die Quadratwurzel des perfekten Quadrats

Wenn Sie unter der Quadratwurzel ein perfektes Quadrat erkennen, können Sie es sofort in eine Quadratwurzel umwandeln und aus dem Vorzeichen (√) entfernen. Wenn Sie beispielsweise die Zahl 25 unter der Quadratwurzel sehen, wissen Sie bereits, dass die Antwort 5 ist, da 25 ein perfektes Quadrat ist. Die Liste ist die gleiche wie oben, beginnend von der Quadratwurzel bis zur Antwort:

• √1 = 1
• √4 = 2
• √9 = 3
• √16 = 4
• √25 = 5
• √36 = 6
• √49 = 7
• √64 = 8
• √81 = 9
• √100 = 10

Schritt 3. Faktorisieren Sie die Zahl in ein perfektes Quadrat

Nutzen Sie perfekte Quadrate, wenn Sie mit der Faktormethode zur Vereinfachung der Quadratwurzeln fortfahren. Wenn Sie sich der Faktoren eines perfekten Quadrats bewusst sind, können Sie Probleme schneller und einfacher lösen. Hier sind einige Tipps, die Sie verwenden können:

• 50 = (25 x 2) = 5√2. Wenn die letzten beiden Ziffern einer Zahl auf 25, 50 oder 75 enden, können Sie immer 25 dieser Zahl faktorisieren.
• 1700 = (100 x 17) = 10√17. Wenn die letzten beiden Zahlen auf 00 enden, können Sie immer 100 dieser Zahl faktorisieren.
• 72 = (9 x 8) = 3√8. Lernen Sie die Multiplikation von Neun kennen, um es Ihnen leichter zu machen. Hier ist ein Tipp, um sie zu erkennen: Wenn "alle" Zahlen einer Zahl neun ergeben, dann ist neun ein Faktor.
• 12 = (4 x 3) = 2√3. Hier gibt es keine speziellen Tipps, aber es ist normalerweise einfach zu überprüfen, ob eine kleine Zahl durch 4 teilbar ist. Beachten Sie dies, wenn Sie nach anderen Faktoren suchen.

Schritt 4. Faktorisieren Sie eine Zahl mit mehr als einem perfekten Quadrat

Wenn die Faktoren einer Zahl mehr als ein perfektes Quadrat haben, nimm sie alle aus der Quadratwurzel. Wenn Sie beim Vereinfachen der Quadratwurzel mehrere perfekte Quadrate erhalten, verschieben Sie alle Quadratwurzeln außerhalb des Vorzeichens und multiplizieren Sie sie alle miteinander. Versuchen Sie beispielsweise, 72 zu vereinfachen:

• 72 = (9 x 8)
• 72 = (9 x 4 x 2)
• 72 = (9) x (4) x (2)
• 72 = 3 x 2 x 2
• √72 = 6√2

Methode 3 von 3: Die Bedingungen verstehen

Schritt 1. Wisse, dass das Quadratwurzelzeichen (√) das Quadratwurzelzeichen ist

In Aufgabe 25 ist beispielsweise "√" das Wurzelzeichen.

Schritt 2. Wissen Sie, dass der Radikand die Zahl im Wurzelzeichen ist

Aus dieser Zahl musst du die Quadratwurzel berechnen. In der Aufgabe von 25 ist beispielsweise "25" die Quadratwurzel.

Schritt 3. Wisse, dass der Koeffizient eine Zahl außerhalb der Quadratwurzel ist

Diese Zahl ist die Quadratwurzel des Multiplikators; diese Zahl steht links vom Wurzelzeichen. In Aufgabe 7√2 ist beispielsweise "7" der Wert des Koeffizienten.

Schritt 4. Wisse, dass ein Faktor eine Zahl ist, die vollständig durch eine Zahl teilbar ist

Zum Beispiel ist 2 ein Faktor von 8, weil 8 4 = 2, aber 3 ist kein Faktor von 8, weil 8÷3 keine ganze Zahl ergibt. Wie in den anderen Beispielen ist 5 ein Faktor von 25, da 5 x 5 = 25 ist.

Schritt 5. Verstehen Sie die Bedeutung der Vereinfachung der Quadratwurzel

Die Quadratwurzel zu vereinfachen bedeutet einfach, das perfekte Quadrat der Quadratwurzel zu faktorisieren, es links vom Wurzelzeichen zu entfernen und die restlichen Faktoren unter dem Wurzelzeichen zu belassen. Wenn eine Zahl ein perfektes Quadrat ist, verschwindet die Quadratwurzel, wenn Sie die Wurzel aufschreiben. Zum Beispiel kann 98 auf 7√2 vereinfacht werden.

Tipps

Eine Möglichkeit, ein perfektes Quadrat zu finden, das in eine Zahl zerlegt werden kann, besteht darin, sich eine Liste perfekter Quadrate anzusehen, beginnend mit der kleineren Zahl als der Quadratwurzel oder mit der Zahl unterhalb der Quadratwurzel. Wenn Sie beispielsweise nach einem perfekten Quadrat suchen, das nicht größer als 27 ist, beginnen Sie mit 25 und arbeiten Sie sich bis zu 16 vor und "stoppen Sie bei 9", wenn Sie ein perfektes Quadrat finden, das 27 teilt

Warnung

• Vereinfachung ist nicht gleich Berechnung des Wertes. Keiner der Schritte in diesem Prozess erfordert, dass Sie eine Zahl mit einer Dezimalstelle erhalten.
• Taschenrechner können bei großen Zahlen hilfreich sein, aber je mehr Sie alleine üben, desto einfacher wird es, Quadratwurzeln zu vereinfachen.