Algebraische Brüche können für den uneingeweihten Schüler schwierig und einschüchternd erscheinen. Algebraische Brüche bestehen aus einer Mischung von Variablen, Zahlen und sogar Exponenten, sodass sie verwirrend sein können. Glücklicherweise gelten die Regeln zur Vereinfachung gewöhnlicher Brüche wie 15/25 jedoch auch für algebraische Brüche.
Schritt
Methode 1 von 3: Brüche vereinfachen
Schritt 1. Kennen Sie die verschiedenen Terme in algebraischen Brüchen
Die folgenden Begriffe werden häufig in algebraischen Bruchproblemen verwendet:
-
Zähler:
die Spitze des Bruchs (Beispiel: '''(x+5)'''/(2x+3)).
-
Nenner:
das untere Ende des Bruchs (Beispiel: (x+5)/'''(2x+3)''').
-
Gemeinsamer Nenner:
eine Zahl, die den oberen und unteren Teil eines Bruchs teilen kann. Beispiel: Der gemeinsame Nenner des Bruches 3/9 ist 3, weil 3 und 9 durch 3 teilbar sind.
-
Faktor:
Zahlen, die eine Zahl teilen können, bis sie aufgebraucht ist. Beispiel: Faktor 15 ist 1, 3, 5 und 15. Faktor 4 ist 1, 2 und 4.
-
Der einfachste Bruch:
Nimm alle gemeinsamen Faktoren und füge die gleichen Variablen zusammen (5x + x = 6x), bis du das einfachste Problem, die einfachste Gleichung oder den einfachsten Bruch erhältst. Wenn keine Berechnungen mehr möglich sind, ist der Bruch am einfachsten.
Schritt 2. Lernen Sie erneut, wie man gewöhnliche Brüche vereinfacht
Algebraische Brüche werden auf die gleiche Weise vereinfacht wie gewöhnliche Brüche. Um beispielsweise 15/35 zu vereinfachen, gemeinsamen Nenner finden der Bruch. Der gemeinsame Nenner des Bruches 15/35 ist 5. Also ziehe 5 aus dem Bruch heraus
15 → 5 * 3
35 → 5 * 7
Jetzt, gemeinsamen Nenner entfernen. Entfernen Sie im obigen Beispiel beide 5er. Die einfache Form 15/35 ist also 3/7.
Schritt 3. Entfernen Sie die gemeinsamen Faktoren aus algebraischen Ausdrücken auf die gleiche Weise wie bei gewöhnlichen Zahlen
Im vorherigen Beispiel kann 5 leicht aus 15 herausgerechnet werden. Das gleiche Prinzip gilt für komplexere Ausdrücke wie 15x – 5. Finden Sie den gemeinsamen Faktor der beiden Zahlen in der Aufgabe. 5 ist ein gemeinsamer Faktor, der sowohl 15x als auch -5 teilen kann. Nehmen Sie wie zuvor die gemeinsamen Faktoren heraus und multiplizieren Sie sie mit dem „Rest“.
15x – 5 = 5 * (3x – 1) Überprüfen Sie, indem Sie 5 mit dem neuen Ausdruck multiplizieren. Wenn es richtig ist, ist das Ergebnis das gleiche wie der ursprüngliche Ausdruck (bevor der gemeinsame Faktor, der 5 ist, ausgeschlossen wird).
Schritt 4. Neben gemeinsamen Faktoren in Form von gewöhnlichen Zahlen können auch komplexe Zahlen weggelassen werden
Die Vereinfachung der algebraischen Brüche verwendet die gleichen Prinzipien wie die gewöhnlichen Brüche. Dieses Prinzip ist der einfachste Weg, Brüche zu vereinfachen.
(x+2)(x-3)
(x+2)(x+10)
gibt es im Zähler (oben im Bruch) und im Nenner (unten im Bruch). Daher kann (x+2) weggelassen werden, um den algebraischen Bruch zu vereinfachen, genauso wie das Entfernen und Entfernen von 5 aus 15/35:
(x+2)(x-3) → (x-3)
(x+2)(x+10) → (x+10) Die endgültige Antwort lautet also: (x-3)/(x+10)
Methode 2 von 3: Vereinfachung algebraischer Brüche
Schritt 1. Finden Sie den gemeinsamen Faktor des Zählers (oberer Teil des Bruchs)
Der erste Schritt bei der Vereinfachung eines algebraischen Bruchs besteht darin, jeden Teil des Bruchs zu vereinfachen. Machen Sie zuerst den Zählerteil. Entfernen Sie die gemeinsamen Faktoren, bis Sie den einfachsten Ausdruck erhalten. Beispiel:
9x-3
15x+6
Machen Sie den Zählerteil: 9x – 3. Der gemeinsame Faktor von 9x und -3 ist 3. Ziehen Sie die Zahl 3 von 9x – 3 heraus, um 3*(3x-1) zu erhalten. Schreiben Sie den neuen Zählerausdruck für den Bruch:
3(3x-1)
15x+6
Schritt 2. Finden Sie den gemeinsamen Faktor im Nenner (unterer Teil des Bruchs)
Wenn Sie an der obigen Beispielaufgabe weiterarbeiten, achten Sie auf den Nenner 15x+6. Finden Sie wieder die Zahl, die die beiden Teile des Ausdrucks teilt. Der gemeinsame Faktor von 15x und 6 ist 3. Faktorisieren Sie 3 aus 15x+6, um 3*(5x+2) zu erhalten. Schreiben Sie den neuen Nennerausdruck auf den Bruch:
3(3x-1)
3(5x+2)
Schritt 3. Eliminieren Sie dieselben Zahlen
Dieser Schritt vereinfacht Brüche. Wenn Zähler und Nenner dieselbe Zahl haben, entfernen Sie die Zahl. Im Beispiel kann die Zahl 3 im Zähler und Nenner weggelassen werden.
3(3x-1) → (3x-1)
3(5x+2) → (5x+2)
Schritt 4. Überprüfen Sie, ob der algebraische Bruch am einfachsten ist
Die einfachsten algebraischen Brüche haben keinen gemeinsamen Faktor im Zähler oder Nenner. Denken Sie daran, dass Faktoren in Klammern nicht weggelassen werden können. Im Beispielproblem kann x nicht aus 3x und 5x herausgerechnet werden, da die vollständigen Ausdrücke (3x-1) und (5x+2) sind. Die beiden Ausdrücke sind also bereits die einfachsten und erhaltenen endgültige Antwort:
(3x-1)
(5x+2)
Schritt 5. Machen Sie die Übungsfragen
Der beste Weg, dieses Thema zu meistern, besteht darin, weiterhin zu üben, an Problemen zur Vereinfachung algebraischer Brüche zu arbeiten. Machen Sie die folgenden zwei Fragen; Der Antwortschlüssel befindet sich unter der Frage.
4(x+2)(x-13)
(4x+8) Antworten:
(x=13)
2x2-x
5x Antworten:
(2x-1)/5
Methode 3 von 3: Kompliziertere Probleme lösen
Schritt 1. „Invertieren“Sie den Bruchteil, indem Sie eine negative Zahl herausrechnen
Problembeispiel:
3(x-4)
5(4-x)
(x-4) und (4-x) ''fast'' sind gleich. (x-4) und (4-x) können nicht eliminiert werden, da sie invertiert sind. Jedoch kann (x-4) auf -1*(4-x) geändert werden, genau wie das Ändern von (4 + 2x) auf 2 * (2 + x). Diese Methode wird als "Ausklammern negativer Zahlen" bezeichnet.
-1*3(4-x)
5(4-x)
Jetzt können beide (4-x) weggelassen werden:
-1*3(4-x)
5(4-x)
Die endgültige Antwort lautet also - 3/5
Schritt 2. Identifizieren Sie die Form der Differenz zweier Quadrate bei der Bearbeitung des Problems
Die Form der Differenz zweier Quadrate ist eins zum Quadrat minus das andere (a.)2 - B2). Die Form der Differenz zweier Quadrate wird immer in zwei Teile vereinfacht, wobei Quadratwurzeln addiert und subtrahiert werden:
ein2 - B2 = (a+b)(a-b) Diese Formel ist sehr wichtig, um gemeinsame Faktoren in algebraischen Brüchen zu finden.
Beispiel: x2 - 25 = (x+5)(x-5)
Schritt 3. Vereinfachen Sie den Polynomausdruck
Ein Polynom ist ein komplexer algebraischer Ausdruck mit mehr als zwei Termen, zum Beispiel x2 + 4x + 3. Glücklicherweise können die meisten Formen von Polynomen durch Faktorisieren von Polynomen vereinfacht werden. Beispiel: x2 + 4x + 3 kann zu (x+3)(x+1) vereinfacht werden.
Schritt 4. Denken Sie daran, Variablen können auch ausgeklammert werden
Dies ist sehr wichtig, insbesondere bei Ausdrücken mit Exponenten. Beispiel: x4 +x2. Ziehe den größten Exponenten heraus. Also, x4 +x2 = x2(x2 + 1).
Tipps
- Verwenden Sie beim Vereinfachen immer den größten gemeinsamen Faktor, um sicherzustellen, dass die endgültige Antwort in der einfachsten Form vorliegt.
- Überprüfen Sie die Antworten, indem Sie die gemeinsamen Faktoren erneut multiplizieren. Wenn Ihre Antwort richtig ist, gibt die Multiplikation den vorherigen Ausdruck zurück.
