Die Wurzelform ist eine algebraische Aussage mit dem Vorzeichen der Quadratwurzel (oder Kubikwurzel oder höher). Diese Form kann oft zwei Zahlen darstellen, die den gleichen Wert haben, auch wenn sie auf den ersten Blick unterschiedlich erscheinen (zum Beispiel 1/(sqrt(2) - 1) = sqrt(2)+1). Daher benötigen wir für diese Art von Formular eine "Standardformel". Wenn zwei Aussagen in der Standardformel unterschiedlich erscheinen, sind sie nicht gleich. Mathematiker sind sich einig, dass die Standardformulierung der quadratischen Form die folgenden Anforderungen erfüllt:
- Vermeiden Sie Brüche
- Verwenden Sie keine gebrochenen Potenzen
- Vermeiden Sie die Verwendung der Wurzelform im Nenner
- Enthält nicht die Multiplikation zweier Wurzelformen
- Zahlen unter der Wurzel können nicht mehr gerootet werden
Eine praktische Anwendung davon ist in Multiple-Choice-Prüfungen. Wenn Sie eine Antwort finden, aber Ihre Antwort nicht mit den verfügbaren Optionen übereinstimmt, versuchen Sie, sie in eine Standardformel zu vereinfachen. Da Fragensteller Antworten normalerweise in Standardformeln schreiben, verfahren Sie genauso mit Ihren Antworten, damit sie mit ihren übereinstimmen. Bei Aufsatzfragen bedeuten Befehle wie "Vereinfachen Sie Ihre Antwort" oder "Alle Wurzeln vereinfachen", dass die Schüler die folgenden Schritte ausführen müssen, bis sie die oben genannte Standardformel erfüllen. Dieser Schritt kann auch zum Lösen von Gleichungen verwendet werden, obwohl einige Arten von Gleichungen in nicht standardmäßigen Formeln einfacher zu lösen sind.
Schritt
Schritt 1. Überprüfen Sie ggf. die Regeln für die Berechnung von Wurzeln und Exponenten (beide sind gleich - Wurzeln sind Potenzen von Brüchen), da wir sie in diesem Prozess benötigen
Sehen Sie sich auch die Regeln zur Vereinfachung von Polynomen und rationalen Formen an, da wir sie vereinfachen müssen.
Methode 1 von 6: Perfekte Quadrate
Schritt 1. Vereinfachen Sie alle Wurzeln, die perfekte Quadrate enthalten
Ein perfektes Quadrat ist das Produkt einer Zahl selbst, zum Beispiel 81, was ein Produkt von 9 x 9 ist. Um ein perfektes Quadrat zu vereinfachen, entfernen Sie einfach die Quadratwurzel und schreiben Sie die Quadratwurzel der Zahl auf.
- 121 ist beispielsweise ein perfektes Quadrat, weil 11 x 11 gleich 121 ist. Sie können also die Wurzel (121) auf 11 vereinfachen, indem Sie das Wurzelzeichen entfernen.
- Um diesen Schritt zu vereinfachen, müssen Sie sich die ersten zwölf perfekten Quadrate merken: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
Schritt 2. Vereinfachen Sie alle Wurzeln, die perfekte Würfel enthalten
Ein perfekter Würfel ist das Produkt der doppelten Multiplikation einer Zahl mit sich selbst, zum Beispiel 27, was das Produkt von 3 x 3 x 3 ist. Um die Wurzelform eines perfekten Würfels zu vereinfachen, entfernen Sie einfach die Quadratwurzel und schreiben Sie die Quadratwurzel auf der Nummer.
Zum Beispiel ist 343 ein perfekter Würfel, weil es das Produkt von 7 x 7 x 7 ist. Die Kubikwurzel von 343 ist also 7
Methode 2 von 6: Brüche in Wurzeln umwandeln
Oder andersherum ändern (es hilft manchmal), aber verwechseln Sie sie nicht in derselben Anweisung wie root(5) + 5^(3/2). Wir gehen davon aus, dass Sie die Wurzelform verwenden möchten und verwenden die Symbole root(n) für die Quadratwurzel und sqrt^3(n) für die Kubikwurzel.
Schritt 1. Nehmen Sie eins hoch des Bruches und wandeln Sie ihn in die Wurzelform um, zum Beispiel x^(a/b) = Wurzel hoch b hoch x^a
Wenn die Quadratwurzel in Bruchform vorliegt, wandeln Sie sie in eine reguläre Form um. Zum Beispiel Quadratwurzel (2/3) von 4 = Wurzel (4)^3 = 2^3 = 8
Schritt 2. Konvertieren Sie negative Exponenten in Brüche, zum Beispiel x^-y = 1/x^y
Diese Formel gilt nur für konstante und rationale Exponenten. Wenn Sie es mit einer Form wie 2^x zu tun haben, ändern Sie sie nicht, auch wenn das Problem darauf hindeutet, dass x ein Bruch oder eine negative Zahl sein kann
Schritt 3. Den gleichen Stamm zusammenführen und vereinfachen die resultierende rationale Form.
Methode 3 von 6: Eliminieren von Brüchen in Wurzeln
Die Standardformel erfordert, dass die Wurzel eine ganze Zahl ist.
Schritt 1. Sehen Sie sich die Zahl unter der Quadratwurzel an, wenn sie noch einen Bruch enthält
Wenn immer noch,…
Schritt 2. Wechseln Sie zu einem Bruch, der aus zwei Wurzeln besteht, indem Sie die Identität root(a/b) = sqrt(a)/sqrt(b) verwenden
Verwenden Sie diese Identität nicht, wenn der Nenner negativ ist oder wenn es sich um eine Variable handelt, die negativ sein könnte. Vereinfachen Sie in diesem Fall zuerst den Bruch
Schritt 3. Vereinfachen Sie jedes perfekte Quadrat des Ergebnisses
Konvertieren Sie sqrt(5/4) in sqrt(5)/sqrt(4) und vereinfachen Sie dann in sqrt(5)/2.
Schritt 4. Verwenden Sie andere Vereinfachungsmethoden wie das Vereinfachen komplexer Brüche, das Kombinieren gleicher Terme usw
Methode 4 von 6: Kombinieren von Multiplikationswurzeln
Schritt 1. Wenn Sie eine Wurzelform mit einer anderen multiplizieren, kombinieren Sie die beiden in einer Quadratwurzel mit der Formel:
Quadrat (a) * Quadrat (b) = Quadrat (ab). Ändern Sie beispielsweise root(2)*root(6) in root(12).
- Die obige Identität sqrt(a)*sqrt(b) = sqrt(ab) ist gültig, wenn die Zahl unter dem Vorzeichen des sqrt nicht negativ ist. Verwenden Sie diese Formel nicht, wenn a und b negativ sind, da Sie sonst den Fehler machen, sqrt(-1)*sqrt(-1) = sqrt(1) zu machen. Die Anweisung auf der linken Seite ist gleich -1 (oder undefiniert, wenn Sie keine komplexen Zahlen verwenden), während die Anweisung auf der rechten Seite +1 ist. Wenn a und/oder b negativ sind, "ändern" Sie zuerst das Vorzeichen wie sqrt(-5) = i*sqrt(5). Handelt es sich bei der Form unter dem Wurzelzeichen um eine Variable, deren Vorzeichen aus dem Kontext nicht bekannt ist oder positiv oder negativ sein kann, so belassen Sie sie vorerst. Sie können die allgemeinere Identität sqrt(a)*sqrt(b) = sqrt(sgn(a))*sqrt(sgn(b))*sqrt(|ab|) verwenden, die für alle reellen Zahlen a und b gilt, aber normalerweise hilft diese Formel nicht viel, da sie die Verwendung der sgn-Funktion (signum) komplizierter macht.
- Diese Identität ist nur gültig, wenn die Formen der Wurzeln denselben Exponenten haben. Sie können verschiedene Quadratwurzeln wie sqrt(5)*sqrt^3(7) multiplizieren, indem Sie sie in dieselbe Quadratwurzel umwandeln. Um dies zu tun, wandeln Sie die Quadratwurzel vorübergehend in einen Bruch um: sqrt(5)*sqrt^3(7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7 ^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6). Verwenden Sie dann die Multiplikationsregel, um die beiden mit der Quadratwurzel von 6125 zu multiplizieren.
Methode 5 von 6: Entfernen des Quadratfaktors von der Wurzel
Schritt 1. Zerlegen unvollkommener Wurzeln in Primfaktoren
Ein Faktor ist eine Zahl, die, wenn sie mit einer anderen Zahl multipliziert wird, eine Zahl ergibt – zum Beispiel sind 5 und 4 zwei Faktoren von 20. Um unvollkommene Wurzeln aufzulösen, notieren Sie alle Faktoren der Zahl (oder so viele wie möglich, wenn die Zahl ist zu groß), bis Sie ein perfektes Quadrat gefunden haben.
Versuchen Sie beispielsweise, alle Faktoren von 45 zu finden: 1, 3, 5, 9, 15 und 45. 9 ist ein Faktor von 45 und auch ein perfektes Quadrat (9=3^2). 9 x 5 = 45
Schritt 2. Entfernen Sie alle Multiplikatoren, die perfekte Quadrate sind, aus der Quadratwurzel
9 ist ein perfektes Quadrat, weil es das Produkt von 3 x 3 ist. Nimm die 9 aus der Quadratwurzel und ersetze sie durch 3 vor der Quadratwurzel, so dass 5 innerhalb der Quadratwurzel bleibt. Wenn Sie 3 wieder in die Quadratwurzel "einsetzen", multiplizieren Sie mit sich selbst, um 9 zu erhalten, und wenn Sie mit 5 multiplizieren, gibt es 45 zurück. 3 Wurzeln von 5 ist eine einfache Möglichkeit, die Wurzel von 45 auszudrücken.
Das heißt, sqrt(45) = sqrt(9*5) = sqrt(9)*sqrt(5) = 3*sqrt(5)
Schritt 3. Finden Sie das perfekte Quadrat in der Variablen
Die Quadratwurzel eines Quadrats ist |a|. Sie können dies auf "a" vereinfachen, wenn die bekannte Variable positiv ist. Die Quadratwurzel von a hoch 3, wenn sie in die Quadratwurzel von a zum Quadrat mal a zerlegt wird - denken Sie daran, dass sich die Exponenten addieren, wenn wir zwei Zahlen hoch a multiplizieren, also ist a zum Quadrat mal a gleich a zu dritte Macht.
Daher ist ein perfektes Quadrat in der Form eines Würfels ein Quadrat
Schritt 4. Entfernen Sie die Variable, die das perfekte Quadrat enthält, aus der Quadratwurzel
Nimm nun ein Quadrat von der Quadratwurzel und ändere es in |a|. Die einfache Form der Wurzel a hoch 3 ist |a| Wurzel a.
Schritt 5. Kombinieren Sie die gleichen Terme und vereinfachen Sie alle Wurzeln der Berechnungsergebnisse
Methode 6 von 6: Den Nenner rationalisieren
Schritt 1. Die Standardformel erfordert, dass der Nenner so weit wie möglich eine ganze Zahl (oder ein Polynom, wenn sie eine Variable enthält) ist
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Wenn der Nenner aus einem Term unter dem Wurzelzeichen besteht, z. B. […]/root(5), multiplizieren Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner mit dieser Wurzel, um […]*sqrt(5)/sqrt(5)*sqrt. zu erhalten (5) = […]*Wurzel(5)/5.
Bei Kubikwurzeln oder höher multiplizieren Sie mit der entsprechenden Wurzel, damit der Nenner rational ist. Wenn der Nenner Wurzel^3(5) ist, multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit Quadrat^3(5)^2
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Wenn der Nenner darin besteht, zwei Quadratwurzeln wie sqrt(2) + sqrt(6) zu addieren oder zu subtrahieren, multiplizieren Sie den Quantor und den Nenner mit ihrer Konjugierten, die die gleiche Form, aber das entgegengesetzte Vorzeichen hat. Dann […]/(root(2) + root(6)) = […](root(2)-root(6))/(root(2) + root(6))(root(2)-root (6)). Verwenden Sie dann die Identitätsformel für die Differenz zweier Quadrate [(a+b)(ab) = a^2-b^2], um den Nenner zu rationalisieren, um (sqrt(2) + sqrt(6))(sqrt(2)-Quadrat(6)) = Quadrat(2)^2 - Quadrat(6)^2 = 2-6 = -4.
- Dies gilt auch für Nenner wie 5 + sqrt(3), da alle Ganzzahlen Wurzeln anderer Ganzzahlen sind. [1/(5 + Quadrat(3)) = (5-Quadrat(3))/(5 + Quadrat(3))(5-Quadrat(3)) = (5-Quadrat(3))/(5^ 2-Quadrat(3)^2) = (5-Quadrat(3))/(25-3) = (5-Quadrat(3))/22]
- Diese Methode gilt auch für die Addition von Wurzeln wie sqrt(5)-sqrt(6)+sqrt(7). Wenn Sie sie in (sqrt(5)-sqrt(6))+sqrt(7) gruppieren und mit (sqrt(5)-sqrt(6))-sqrt(7) multiplizieren, ist die Antwort nicht rational, sondern noch in a+b*root(30), wobei a und b bereits rationale Zahlen sind. Wiederholen Sie dann den Vorgang mit den Konjugierten a+b*sqrt(30) und (a+b*sqrt(30))(a-b*sqrt(30)) wird rational sein. Im Wesentlichen, wenn Sie diesen Trick verwenden können, um ein Wurzelzeichen im Nenner zu entfernen, können Sie ihn viele Male wiederholen, um alle Wurzeln zu entfernen.
- Diese Methode kann auch für Nenner verwendet werden, die eine höhere Wurzel enthalten, z. B. die vierte Wurzel aus 3 oder die siebte Wurzel aus 9. Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit der Konjugierten des Nenners. Leider können wir den Nenner nicht direkt konjugieren und das ist schwierig. Wir können die Antwort in einem Algebra-Buch über Zahlentheorie finden, aber darauf werde ich nicht eingehen.
Schritt 2. Jetzt ist der Nenner in rationaler Form, aber der Zähler sieht chaotisch aus
Jetzt musst du es nur noch mit dem Konjugierten des Nenners multiplizieren. Gehen Sie voran und multiplizieren Sie, wie wir Polynome multiplizieren würden. Prüfen Sie nach Möglichkeit, ob Begriffe weggelassen, vereinfacht oder kombiniert werden können.
Schritt 3. Wenn der Nenner eine negative ganze Zahl ist, multiplizieren Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner mit -1, um sie positiv zu machen
Tipps
- Sie können online nach Websites suchen, die zur Vereinfachung von Stammformularen beitragen können. Geben Sie einfach die Gleichung mit dem Wurzelzeichen ein, und nachdem Sie die Eingabetaste gedrückt haben, wird die Antwort angezeigt.
- Bei einfacheren Fragen verwenden Sie möglicherweise nicht alle Schritte in diesem Artikel. Bei komplexeren Fragen müssen Sie möglicherweise mehrere Schritte mehrmals ausführen. Verwenden Sie die „einfachen“Schritte ein paar Mal und prüfen Sie, ob Ihre Antwort den zuvor besprochenen Standardformulierungskriterien entspricht. Wenn Ihre Antwort in der Standardformel enthalten ist, sind Sie fertig; Wenn nicht, können Sie einen der obigen Schritte ausführen, um dies zu erledigen.
- Die meisten Hinweise auf die "empfohlene Standardformel" für die Form von Wurzeln gelten auch für komplexe Zahlen (i = Wurzel (-1)). Auch wenn eine Anweisung ein "i" anstelle einer Wurzel enthält, vermeiden Sie so oft wie möglich Nenner, die noch ein i enthalten.
- Einige der Anweisungen in diesem Artikel gehen davon aus, dass alle Wurzeln Quadrate sind. Die gleichen allgemeinen Prinzipien gelten für die Wurzeln höherer Mächte, obwohl es mit einigen Teilen (insbesondere der Rationalisierung des Nenners) ziemlich schwierig sein kann, damit zu arbeiten. Entscheiden Sie selbst, welche Form Sie wünschen, z. B. sqr^3(4) oder sqr^3(2)^2. (Ich erinnere mich nicht, welche Form normalerweise in Lehrbüchern vorgeschlagen wird).
- Einige der Anweisungen in diesem Artikel verwenden das Wort "Standardformel", um "normale Form" zu beschreiben. Der Unterschied besteht darin, dass die Standardformel nur die Form 1+sqrt(2) oder sqrt(2)+1 akzeptiert und die anderen Formen als nicht standardmäßig betrachtet; Die einfache Form geht davon aus, dass Sie, der Leser, schlau genug sind, die "Ähnlichkeit" dieser beiden Zahlen zu erkennen, auch wenn sie schriftlich nicht identisch sind ("gleich" bedeutet in ihrer arithmetischen Eigenschaft (kommutative Addition), nicht in ihrer algebraischen Eigenschaft (Wurzel) (2) ist die Wurzel nicht-negativ von x^2-2)). Wir hoffen, dass die Leser die leichte Nachlässigkeit bei der Verwendung dieser Terminologie verstehen.
- Wenn einer der Hinweise mehrdeutig oder widersprüchlich erscheint, führen Sie alle Schritte aus, die eindeutig und konsistent sind, und wählen Sie dann die Form, die Sie bevorzugen.
