Ein Fünfeck ist ein Vieleck mit fünf geraden Seiten. Die meisten Probleme, die Sie im Mathematikunterricht finden, beinhalten ein normales Fünfeck mit fünf gleichen Seiten. Es gibt zwei allgemeine Möglichkeiten, um die Breite zu finden, abhängig von der Menge an Informationen, die Sie haben.
Schritt
Methode 1 von 3: Auffinden des Bereichs der Seitenlänge und des Apothems
Schritt 1. Beginnen Sie mit den Seitenlängen und dem Apothem
Diese Methode kann für regelmäßige Fünfecke mit fünf gleichen Seiten verwendet werden. Zusätzlich zu den Seitenlängen benötigen Sie das "Appothem" des Fünfecks. Das Apothem ist eine Linie von der Mitte des Fünfecks zu einer der Seiten, die die Seite im rechten Winkel von 90º schneidet.
- Verwechseln Sie nicht das Apothem und den Radius, der einen der Scheitelpunkte und nicht den Mittelpunkt berührt. Wenn Sie nur die Länge der Seite und den Radius kennen, überspringen Sie diese Methode und fahren Sie mit der nächsten Methode fort.
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Wir verwenden das Beispiel eines Fünfecks mit Seitenlänge
Schritt 3. Einheit und Apotem
Schritt 2. Einheit.
Schritt 2. Teilen Sie das Fünfeck in fünf Dreiecke
Zeichnen Sie fünf Linien von der Mitte des Fünfecks, die zu jedem Scheitelpunkt führen. Jetzt haben Sie fünf Dreiecke.
Schritt 3. Finden Sie die Fläche eines der Dreiecke
Jedes Dreieck hat Sockel die gleich der Seite des Fünfecks ist. Jedes Dreieck hat auch hoch was gleich dem Apothem des Fünfecks ist. (Denken Sie daran, dass sich die Höhe eines Dreiecks vom Scheitel des Dreiecks bis zur gegenüberliegenden Seite erstreckt und einen rechten Winkel bildet.) Um die Fläche eines Dreiecks zu ermitteln, berechnen Sie einfach x Basis x Höhe.
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In unserem Beispiel ist die Fläche des Dreiecks = x 3 x 2 =
Schritt 3. Einheit quadriert.
Schritt 4. Multiplizieren Sie mit fünf, um die Gesamtfläche zu ermitteln
Wir haben das Fünfeck in fünf gleiche Dreiecke unterteilt. Um die Gesamtfläche zu ermitteln, multiplizieren Sie einfach die Fläche eines der Dreiecke mit fünf.
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In unserem Beispiel ist L(gesamtes Fünfeck) = 5 x L(Dreieck) = 5 x 3 =
Schritt 15. Einheit quadriert.
Methode 2 von 3: Finden des Bereichs aus der Seitenlänge
Schritt 1. Beginnen Sie nur mit den Seitenlängen
Diese Methode gilt nur für regelmäßige Fünfecke mit fünf gleichen Seiten.
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In diesem Beispiel verwenden wir ein Fünfeck mit der Seitenlänge
Schritt 7. Einheit.
Schritt 2. Teilen Sie das Fünfeck in fünf Dreiecke
Zeichnen Sie eine Linie von der Mitte des Fünfecks zu einem beliebigen Scheitelpunkt. Wiederholen Sie dies für alle Eckpunkte. Jetzt haben Sie fünf gleich große Dreiecke.
Schritt 3. Teilen Sie das Dreieck in zwei Hälften
Zeichnen Sie eine Linie von der Mitte des Fünfecks zur Basis eines der Dreiecke. Diese Linie sollte die Basis im rechten Winkel von 90 berühren und das Dreieck in zwei kleinere gleiche Dreiecke teilen.
Schritt 4. Benennen Sie eines der kleineren Dreiecke
Wir können bereits eine der Seiten und einen der Winkel des kleineren Dreiecks benennen:
- Sockel Dreieck hat die Länge der Seite des Fünfecks. In unserem Beispiel beträgt die Länge der Basis x 7 = 3,5 Einheiten.
- Groß Ecke in der Mitte des Fünfecks ist immer 36º. (Ausgehend von der 360 Mitte können Sie es in 10 dieser kleineren Dreiecke unterteilen. 360 10 = 36, sodass der Winkel in einem der Dreiecke 36 ° beträgt.)
Schritt 5. Berechnen Sie die Höhe des Dreiecks. Groß dieses Dreiecks ist die Seite, die senkrecht zur Seite des Fünfecks steht (einen rechten Winkel bildet) und zur Mitte hin zeigt. Wir können die einfache Trigonometrie verwenden, um die Länge dieser Seite zu bestimmen:
- In einem rechtwinkligen Dreieck Tangente eines Winkels ist gleich der Länge der gegenüberliegenden Seite geteilt durch die Länge der angrenzenden Seite.
- Die dem 36º-Winkel gegenüberliegende Seite ist die Basis des Dreiecks (die halbe Seite des Fünfecks). Die Seite neben dem Winkel 36º ist die Höhe des Dreiecks.
- tan(36º) = gegenüber / angrenzend
- In unserem Beispiel ist tan(36º) = 3,5 / Höhe
- Höhe x tan (36º) = 3, 5
- Höhe = 3,5 / tan (36º)
- Höhe = (ungefähr) 4, 8 Einheit.
Schritt 6. Finden Sie die Fläche des Dreiecks
Die Fläche eines Dreiecks ist Basis x Höhe. (L = bei). Nachdem Sie nun die Höhe kennen, geben Sie diese Werte ein, um die Fläche Ihres kleinen Dreiecks zu ermitteln.
In unserem Beispiel ist die Fläche des kleinen Dreiecks = bei = (3, 5)(4, 8) = 8, 4 Einheiten zum Quadrat
Schritt 7. Multiplizieren Sie, um die Fläche des Fünfecks zu finden
Eines dieser kleineren Dreiecke beträgt 1/10 der Fläche des Fünfecks. Um die Gesamtfläche zu ermitteln, multiplizieren Sie die Fläche des kleineren Dreiecks mit 10.
In unserem Beispiel ist die Fläche des gesamten Fünfecks = 8, 4 x 10 = 84 Einheit quadriert.
Methode 3 von 3: Verwenden von Formeln
Schritt 1. Verwenden Sie den Umfang und das Apothem
Das Apothem ist eine Linie von der Mitte eines Fünfecks, die eine Seite im rechten Winkel berührt. Wenn Sie die Länge des Apothems erhalten, können Sie diese einfache Formel verwenden.
- Fläche eines regelmäßigen Fünfecks = ka/2, wobei k = Umfang und a = Apothem.
- Wenn Sie den Umfang nicht kennen, berechnen Sie den Umfang aus der Seitenlänge: k = 5s, wobei s die Seitenlänge ist.
Schritt 2. Verwenden Sie die Seitenlängen
Wenn Sie nur die Seitenlängen kennen, verwenden Sie die folgende Formel:
- Fläche des regelmäßigen Fünfecks = (5 s 2) / (4tan(36º)), wobei s = Seitenlänge.
- tan(36º) = (5-2√5). Wenn Ihr Taschenrechner also keine tan-Funktion hat, verwenden Sie die Formel Fläche = (5 s 2) / (4√(5-2√5)).
Schritt 3. Wählen Sie eine Formel, die nur den Radius verwendet
Sie können sogar das Gebiet finden, wenn Sie nur den Radius kennen. Verwenden Sie diese Formel:
Fläche des regelmäßigen Fünfecks = (5/2) r 2sin(72º), wobei r der Radius ist.
Tipps
- Die hier angegebenen Beispiele verwenden gerundete Werte zur Vereinfachung der Berechnung. Wenn Sie das eigentliche Polygon mit den angegebenen Seitenlängen messen, erhalten Sie für die anderen Längen und Flächen etwas andere Ergebnisse.
- Verwenden Sie nach Möglichkeit die geometrische Methode und die Formelmethode und vergleichen Sie die Ergebnisse, um sicherzustellen, dass Sie die richtige Antwort haben. Sie erhalten möglicherweise eine etwas andere Antwort, wenn Sie die Formel auf einmal eingeben (da Sie bei der Berechnung nicht aufrunden), aber die Antwort sollte ziemlich gleich sein.
- Ein unregelmäßiges Fünfeck oder ein Fünfeck mit ungleichen Seiten ist schwieriger zu erlernen. Der beste Ansatz besteht normalerweise darin, das Fünfeck in Dreiecke zu unterteilen und die Fläche jedes Dreiecks zu addieren. Möglicherweise müssen Sie auch die größere Form um das Fünfeck zeichnen, seine Fläche berechnen und die Fläche der Außenseite des Fünfecks subtrahieren.
- Die Formeln werden aus geometrischen Mitteln abgeleitet, die fast den hier beschriebenen entsprechen. Beachten Sie, ob Sie herausfinden können, wie Sie die Formeln erhalten. Die Radiusformel ist schwieriger abzuleiten als die anderen Formeln (Hinweis: Sie benötigen eine doppelte oder doppelte Winkelidentität).
