Wie man Quadratwurzeln manuell berechnet (mit Bildern)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-01-15 08:12

In den Tagen vor der Erfindung des Taschenrechners mussten Studenten und Professoren Quadratwurzeln manuell berechnen. Es wurden verschiedene Wege entwickelt, um diesen schwierigen Prozess zu überwinden. Einige Methoden geben eine grobe Schätzung und andere einen genauen Wert. Um zu erfahren, wie Sie mit einfachen Operationen die Quadratwurzel einer Zahl finden, lesen Sie Schritt 1 unten, um loszulegen.

Schritt

Methode 1 von 2: Verwenden der Primfaktorzerlegung

Schritt 1. Teilen Sie Ihre Zahl in perfekte Quadratfaktoren

Diese Methode verwendet die Faktoren einer Zahl, um die Quadratwurzel der Zahl zu finden (je nach Zahl kann die Antwort eine genaue Zahl oder eine enge Näherung sein). Die Faktoren einer Zahl sind eine Menge anderer Zahlen, die, wenn sie multipliziert werden, diese Zahl ergeben. Zum Beispiel könnten Sie sagen, dass die Faktoren von 8 2 und 4 sind, weil 2 × 4 = 8. Währenddessen sind perfekte Quadrate ganze Zahlen, die das Produkt anderer ganzer Zahlen sind. Zum Beispiel sind 25, 36 und 49 perfekte Quadrate, weil sie 5 sind², 6², und 7². Wie Sie vielleicht erraten haben, sind perfekte Quadratfaktoren Faktoren, die auch perfekte Quadrate sind. Um die Quadratwurzel durch Primfaktorzerlegung zu finden, versuchen Sie zunächst, Ihre Zahl auf ihre perfekten Quadratfaktoren zu vereinfachen.

• Nehmen wir ein Beispiel. Wir wollen die Quadratwurzel von 400 manuell finden. Zu Beginn teilen wir die Zahl in ihre perfekten Quadratfaktoren. Da 400 ein Vielfaches von 100 ist, wissen wir, dass 400 durch 25 teilbar ist – ein perfektes Quadrat. Bei einer schnellen Teilung der Schatten stellen wir fest, dass 400 geteilt durch 25 gleich 16 ist. Zufälligerweise ist 16 auch ein perfektes Quadrat. Somit sind die perfekten Quadratfaktoren von 400 25 und 16 weil 25 × 16 = 400.
• Wir können es schreiben als: Sqrt(400) = Sqrt(25 × 16)

Schritt 2. Finden Sie die Quadratwurzel Ihrer perfekten Quadratfaktoren

Die Multiplikationseigenschaft der Quadratwurzel besagt, dass für jede Zahl a und b Sqrt(a × b) = Sqrt(a) × Sqrt(b) ist. Aufgrund dieser Eigenschaft können wir jetzt die Quadratwurzel unserer perfekten Quadratfaktoren finden und sie multiplizieren, um unsere Antwort zu erhalten.

• In unserem Beispiel finden wir die Quadratwurzeln von 25 und 16. Siehe unten:

  • Wurzel(25 × 16)
  • Wurzel(25) × Wurzel(16)

  • 5 × 4 =

    Schritt 20.

Schritt 3. Wenn Ihre Zahl nicht perfekt faktorisiert werden kann, vereinfachen Sie Ihre Antwort auf die einfachste Form

Im wirklichen Leben sind die Zahlen, die Sie benötigen, um die Quadratwurzel zu finden, oft keine angenehmen ganzen Zahlen mit offensichtlichen perfekten Quadratfaktoren wie 400. In diesen Fällen ist es möglich, dass wir die richtige Antwort nicht als ganze Zahl finden. Wenn Sie jedoch so viele perfekte Quadratfaktoren wie möglich finden, können Sie die Antwort in Form einer Quadratwurzel finden, die kleiner, einfacher und leichter zu berechnen ist. Reduzieren Sie dazu Ihre Zahl auf eine Kombination aus perfekten Quadratfaktoren und unvollkommenen Quadratfaktoren und vereinfachen Sie dann.

• Nehmen wir als Beispiel die Quadratwurzel von 147. 147 ist kein Produkt zweier perfekter Quadrate, daher können wir nicht den genauen ganzzahligen Wert wie oben erhalten. 147 ist jedoch das Produkt eines perfekten Quadrats und einer anderen Zahl – 49 und 3. Wir können diese Informationen verwenden, um unsere Antwort in ihrer einfachsten Form wie folgt zu schreiben:

  • Wurzel(147)
  • = Wurzel(49 × 3)
  • = Quadrat(49) × Quadrat(3)
  • = 7 × Wurzel(3)

Schritt 4. Falls erforderlich, schätzen Sie

Mit Ihrer Quadratwurzel in ihrer einfachsten Form ist es normalerweise ziemlich einfach, eine grobe Schätzung der Zahlenantwort zu erhalten, indem Sie den Wert der verbleibenden Quadratwurzel erraten und diesen multiplizieren. Eine Möglichkeit, Ihre Schätzung zu leiten, besteht darin, nach perfekten Quadraten zu suchen, die größer und kleiner als die Zahl in Ihrer Quadratwurzel sind. Sie werden feststellen, dass der Dezimalwert der Zahl in Ihrer Quadratwurzel zwischen den beiden Zahlen liegt, sodass Sie den Wert zwischen den beiden Zahlen erraten können.

• Kehren wir zu unserem Beispiel zurück. weil 2² = 4 und 1² = 1, wissen wir, dass Root(3) zwischen 1 und 2 liegt – wahrscheinlich näher an 2 als 1. Wir schätzen 1, 7, 7 × 1, 7 = 11, 9. Wenn wir unsere Antwort auf dem Taschenrechner überprüfen, können wir sehen, dass unsere Antwort der tatsächlichen Antwort ziemlich nahe kommt, nämlich 12, 13.

  Dies gilt auch für größere Zahlen. Root(35) kann beispielsweise zwischen 5 und 6 angenähert werden (möglicherweise näher an 6). 5² = 25 und 6² = 36. 35 liegt zwischen 25 und 36, also muss die Quadratwurzel zwischen 5 und 6 liegen. Da 35 nur eins weniger als 36 ist, können wir mit Sicherheit sagen, dass die Quadratwurzel etwas kleiner als 6 ist Geben Sie uns die Antwort ist ungefähr 5, 92 – wir haben Recht.

Schritt 5. Alternativ können Sie Ihre Zahl als ersten Schritt auf die am wenigsten gemeinsamen Faktoren reduzieren

Das Auffinden der Faktoren perfekter Quadrate ist nicht notwendig, wenn Sie die Primfaktoren einer Zahl (Faktoren, die auch Primzahlen sind) leicht bestimmen können. Schreiben Sie Ihre Zahl in Bezug auf die am wenigsten gemeinsamen Faktoren. Suchen Sie dann die Primzahlenpaare, die Ihren Faktoren entsprechen. Wenn Sie zwei gleiche Primfaktoren finden, entfernen Sie diese beiden Zahlen aus der Quadratwurzel und setzen Sie eine dieser Zahlen außerhalb der Quadratwurzel.

• Ermitteln Sie beispielsweise mit dieser Methode die Quadratwurzel von 45. Wir wissen, dass 45 × 5 und wir wissen, dass unter 9 = 3 × 3. Somit können wir unsere Quadratwurzel aus den Faktoren wie folgt schreiben: Sqrt(3 × 3 × 5). Entfernen Sie einfach beide 3er und setzen Sie eine 3 außerhalb der Quadratwurzel, um Ihre Quadratwurzel auf die einfachste Form zu vereinfachen: (3) Wurzel (5).

  Von hier aus werden wir leicht zu schätzen sein.

• Als letztes Beispielproblem versuchen wir, die Quadratwurzel von 88 zu finden:

  • Wurzel(88)
  • = Wurzel(2 × 44)
  • = Wurzel(2 × 4 × 11)
  • = Wurzel(2 × 2 × 2 × 11). Wir haben etwa 2 in unserer Quadratwurzel. Da 2 eine Primzahl ist, können wir ein Paar von 2en entfernen und eine davon außerhalb der Quadratwurzel setzen.

  • = Unsere Quadratwurzel in ihrer einfachsten Form ist (2) Sqrt(2 × 11) oder (2) Wurzel (2) Wurzel (11).

    Von hier aus können wir Sqrt(2) und Sqrt(11) schätzen und die ungefähre Antwort finden, wie wir wollen.

Methode 2 von 2: Manuelles Finden der Quadratwurzel

Verwenden des Algorithmus für die lange Division

Schritt 1. Trennen Sie die Ziffern Ihrer Nummer in Paare

Diese Methode verwendet einen ähnlichen Prozess wie die lange Division, um die genaue Quadratwurzel Ziffer für Ziffer zu finden. Es ist zwar nicht zwingend erforderlich, aber Sie können diesen Vorgang möglicherweise einfacher durchführen, wenn Sie Ihren Arbeitsplatz und Ihre Nummern visuell in leicht zu handhabende Teile gliedern. Zeichnen Sie zuerst eine vertikale Linie, die Ihren Arbeitsbereich in zwei Abschnitte teilt, und ziehen Sie dann eine kürzere horizontale Linie oben rechts, um den rechten Abschnitt in einen kleineren oberen Abschnitt und einen größeren unteren Abschnitt zu unterteilen. Als nächstes trennen Sie Ihre Ziffern in Paare, beginnend mit dem Dezimalpunkt. Nach dieser Regel wird beispielsweise 79.520.789.182, 47897 zu "7 95 20 78 91 82. 47 89 70". Schreiben Sie Ihre Nummer oben links.

Versuchen wir zum Beispiel, die Quadratwurzel von 780, 14 zu berechnen. Zeichnen Sie zwei Linien, um Ihren Arbeitsplatz wie oben zu teilen, und schreiben Sie oben links "7 80, 14". Es spielt keine Rolle, ob die Zahl ganz links eine einzelne Zahl ist und kein Zahlenpaar. Sie schreiben Ihre Antwort (Quadratwurzel 780, 14) oben rechts

Schritt 2. Suchen Sie die größte ganze Zahl, deren Quadratwert kleiner oder gleich der Zahl (oder dem Zahlenpaar) ganz links ist

Beginnen Sie ganz links neben Ihrer Nummer, sowohl bei Zahlenpaaren als auch bei einzelnen Zahlen. Finden Sie das größte perfekte Quadrat, das kleiner oder gleich dieser Zahl ist, und bestimmen Sie dann die Quadratwurzel dieses perfekten Quadrats. Diese Zahl ist n. Schreiben Sie n oben rechts und das Quadrat von n in den unteren rechten Quadranten.

In unserem Beispiel ist ganz links die Zahl 7. Weil wir wissen, dass 2² = 4 ≤ 7 < 3² = 9, können wir sagen, dass n = 2 ist, weil 2 die größte ganze Zahl ist, deren Quadratwert kleiner oder gleich 7 ist. Schreiben Sie 2 in den oberen rechten Quadranten. Dies ist die erste Ziffer unserer Antwort. Schreiben Sie 4 (Quadratwert von 2) in den unteren rechten Quadranten. Diese Zahl ist wichtig für den nächsten Schritt.

Schritt 3. Ziehen Sie die gerade berechnete Zahl vom Paar ganz links ab

Wie bei der langen Division besteht der nächste Schritt darin, den Wert des gerade gefundenen Quadrats von dem gerade analysierten Teil abzuziehen. Schreiben Sie diese Zahl unter den ersten Teil, ziehen Sie sie ab und schreiben Sie Ihre Antwort darunter.

• In unserem Beispiel schreiben wir 4 unter 7, dann subtrahieren wir es. Diese Subtraktion liefert eine Antwort

  Schritt 3..

Schritt 4. Lassen Sie das nächste Paar fallen

Gehen Sie im nächsten Abschnitt der Zahl, für die Sie nach der Quadratwurzel suchen, neben dem gerade gefundenen Subtraktionswert nach unten. Als nächstes multiplizieren Sie die Zahl im oberen rechten Quadranten mit zwei und schreiben die Antwort in den unteren rechten Quadranten. Lassen Sie neben der gerade aufgeschriebenen Zahl ein Leerzeichen für die Multiplikationsaufgabe, die Sie im nächsten Schritt lösen werden, indem Sie '"_×_="' schreiben.

In unserem Beispiel ist das nächste Paar unserer Zahlen "80". Schreiben Sie "80" neben 3 im linken Quadranten. Als nächstes multiplizieren Sie die Zahl oben rechts mit zwei. Diese Zahl ist 2, also 2 × 2 = 4. Schreiben Sie "'4"' in den unteren rechten Quadranten, gefolgt von _×_=.

Schritt 5. Füllen Sie die Lücken im rechten Quadranten aus

Sie müssen alle Lücken, die Sie gerade im rechten Quadranten geschrieben haben, mit derselben ganzen Zahl ausfüllen. Diese ganze Zahl muss die größte ganze Zahl sein, die das Produkt im rechten Quadranten kleiner oder gleich der Zahl auf der linken Seite macht.

In unserem Beispiel füllen wir die Lücken mit 8, was 4(8) × 8 = 48 × 8 = 384 ergibt. Dieser Wert ist größer als 384. Somit ist 8 zu groß, aber 7 könnte funktionieren. Schreiben Sie 7 in die Lücken und lösen Sie: 4(7) × 7 = 329. 7 ist eine richtige Zahl, weil 329 kleiner als 380 ist. Schreiben Sie 7 in den oberen rechten Quadranten. Dies ist die zweite Ziffer der Quadratwurzel von 780, 14

Schritt 6. Subtrahieren Sie die soeben berechnete Zahl von der Zahl jetzt links

Fahren Sie mit der Subtraktionskette mit der langen Divisionsmethode fort. Nehmen Sie das Produkt des Problems im rechten Quadranten und subtrahieren Sie es von der Zahl, die jetzt auf der linken Seite steht, während Sie Ihre Antworten unten schreiben.

In unserem Beispiel werden wir 329 von 380 subtrahieren, was das Ergebnis ergibt 51.

Schritt 7. Wiederholen Sie Schritt 4

Leiten Sie den nächsten Teil der Zahl ab, für die Sie die Quadratwurzel suchen. Wenn Sie den Dezimalpunkt in Ihrer Zahl erreichen, schreiben Sie den Dezimalpunkt Ihrer Antwort in den oberen rechten Quadranten. Dann multipliziere die Zahl oben rechts mit 2 und schreibe sie wie oben neben das leere Multiplikationsproblem ("_ × _").

Da wir es in unserem Beispiel jetzt mit dem Dezimalpunkt in 780, 14 zu tun haben, schreiben Sie den Dezimalpunkt nach unserer aktuellen Antwort oben rechts. Als nächstes senken Sie das nächste Paar (14) im linken Quadranten ab. Zweimal ist die Zahl oben rechts (27) gleich 54, also schreibe "54 _×_=" in den unteren rechten Quadranten

Schritt 8. Wiederholen Sie die Schritte 5 und 6

Suchen Sie die größte Ziffer, um die Lücken auf der rechten Seite auszufüllen, die eine Antwort kleiner oder gleich der Zahl auf der linken Seite ergibt. Dann lösen Sie das Problem.

In unserem Beispiel 549 × 9 = 4941, was kleiner oder gleich der Zahl auf der linken Seite ist (5114). 549 × 10 = 5490 ist zu groß, also ist 9 Ihre Antwort. Schreiben Sie 9 als nächste Ziffer in den oberen rechten Quadranten und ziehen Sie das Produkt von der linken Zahl ab: 5114 minus 4941 ergibt 173

Schritt 9. Um mit dem Zählen der Ziffern fortzufahren, senken Sie das Nullpaar auf der linken Seite und wiederholen Sie die Schritte 4, 5 und 6

Um eine höhere Genauigkeit zu erzielen, fahren Sie mit diesem Vorgang fort, um Hunderte, Tausende und mehr Stellen in Ihrer Antwort zu finden. Fahren Sie mit diesem Zyklus fort, bis Sie die gewünschte Dezimalstelle gefunden haben.

Den Prozess verstehen

Schritt 1. Stellen Sie sich die Zahl vor, aus der Sie die Quadratwurzel berechnet haben, als Fläche S eines Quadrats

Da die Fläche eines Quadrats P. ist² wobei P die Länge einer der Seiten ist, dann versuchen Sie, indem Sie versuchen, die Quadratwurzel Ihrer Zahl zu finden, tatsächlich die Länge P dieser Seite des Quadrats zu berechnen.

Schritt 2. Bestimmen Sie die Buchstabenvariablen für jede Ziffer Ihrer Antwort

Setzen Sie die Variable A als erste Ziffer von P (der Quadratwurzel, die wir zu berechnen versuchen). B ist die zweite Ziffer, C die dritte Ziffer und so weiter.

Schritt 3. Bestimmen Sie die Buchstabenvariablen für jeden Teil Ihrer Startnummer

Variable S. setzen_ein für das erste Ziffernpaar in S (Ihr Anfangswert), S_B für das zweite Ziffernpaar usw.

Schritt 4. Verstehen Sie die Beziehung zwischen dieser Methode und der langen Division

Diese Methode zum Ermitteln der Quadratwurzel ist im Grunde ein langes Divisionsproblem, bei dem Ihre Anfangszahl durch die Quadratwurzel geteilt wird, wodurch Sie die Quadratwurzel der Antwort erhalten. Genau wie bei der langen Divisionsaufgabe interessiert Sie nur die nächste Ziffer in jedem Schritt. Auf diese Weise interessieren Sie sich nur für die nächsten beiden Ziffern in jedem Schritt (das ist die nächste Ziffer in jedem Schritt für die Quadratwurzel).

Schritt 5. Finden Sie die größte Zahl, deren Quadratwert kleiner oder gleich S. ist_ein.

Die erste Ziffer von A in unserer Antwort ist die größte ganze Zahl, deren Quadratwert S. nicht überschreitet_ein (dh A mit A² Sa < (A+1)²). In unserem Beispiel ist S_ein = 7 und 2² 7 < 3², also A = 2.

Beachten Sie, dass zum Beispiel, wenn Sie 88962 durch 7 mit langer Division teilen möchten, die ersten Schritte ziemlich gleich sind: Sie sehen die erste Ziffer von 88962 (das ist 8) und Sie suchen nach der größten Ziffer was, wenn es mit 7 multipliziert wird, kleiner oder gleich 8 ist. Grundsätzlich suchen Sie nach d mit 7×d 8 < 7×(d+1). In diesem Fall ist d gleich 1

Schritt 6. Stellen Sie sich den Wert des Quadrats vor, dessen Fläche Sie gerade bearbeiten möchten

Ihre Antwort, die Quadratwurzel Ihrer Startnummer, ist P, was die Länge des Quadrats mit der Fläche S (Ihrer Startnummer) beschreibt. Ihre Noten für A, B, C stellen die Ziffern im Wert von P dar. Anders ausgedrückt lautet dies 10A + B = P (für eine zweistellige Antwort), 100A + 10B + C = P (für eine dreistellige Antwort). Ziffer Antwort) usw.

In unserem Beispiel, (10A+B)² = P² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Denken Sie daran, dass 10A+B unsere Antwort P darstellt, wobei B in der Einerstellung und A in der Zehnerstellung steht. Zum Beispiel mit A=1 und B=2, dann ist 10A+B gleich 12. (10A+B)² ist die Gesamtfläche des Quadrats, während 100A² ist die Fläche des größten Platzes darin, B² ist die Fläche des kleinsten Quadrats darin, und 10A×B ist die Fläche der beiden verbleibenden Rechtecke. Durch diesen langen und komplizierten Prozess finden wir die Gesamtfläche eines Quadrats, indem wir die Flächen der Quadrate und Rechtecke im Inneren addieren.

Schritt 7. Subtrahiere A² von S_ein.

Verringern Sie ein Ziffernpaar (S_B) von S. Wert von S_ein S_B in der Nähe der Gesamtfläche des Quadrats, mit der Sie gerade das größere innere Quadrat abgezogen haben. Den Rest kann man sich als die Zahl N1 vorstellen, die wir in Schritt 4 erhalten haben (N1 = 380 in unserem Beispiel). N1 entspricht 2&mal:10A×B + B² (Fläche der beiden Rechtecke plus die Fläche des kleineren Quadrats).

Schritt 8. Finden Sie N1 = 2×10A×B + B², was auch als N1 = (2×10A + B) × B geschrieben wird

In unserem Beispiel kennen Sie bereits N1 (380) und A(2), also müssen Sie B finden. B ist höchstwahrscheinlich keine ganze Zahl, also müssen Sie wirklich die größte ganze Zahl B finden, so dass (2×10A + B) × BN1. Sie haben also: N1 < (2×10A + (B+1)) × (B+1).)

Schritt 9. Fertig

Um diese Gleichung zu lösen, multiplizieren Sie A mit 2, verschieben Sie das Ergebnis in die Zehnerposition (das Äquivalent zu einer Multiplikation mit 10), setzen Sie B in die Einerposition und multiplizieren Sie die Zahl mit B. Mit anderen Worten, lösen Sie (2×10A + B) × B. Genau das tun Sie, wenn Sie in Schritt 4 in den unteren rechten Quadranten "N_×_=" (mit N=2×A) schreiben. In Schritt 5 finden Sie die größte ganze Zahl B, die entspricht die Zahl darunter, so dass (2× 10A + B) × B N1.

Schritt 10. Subtrahiere die Fläche (2×10A + B) × B von der Gesamtfläche

Durch diese Subtraktion ergibt sich die Fläche S-(10A+B)², die nicht berechnet wurde (und auf die gleiche Weise zur Berechnung der nächsten Ziffer verwendet wird).

Schritt 11. Um die nächste Ziffer C zu berechnen, wiederholen Sie den Vorgang

Senken Sie das nächste Paar (S_C) von S, um N2 auf der linken Seite zu erhalten, und finden Sie das größte C, sodass Sie (2×10×(10A+B)+C) × C N2 haben (entspricht dem zweimaligen Schreiben der zweistelligen Zahl "AB" gefolgt von "_× _=". Finden Sie die größte übereinstimmende Ziffer in den Lücken, die wie zuvor eine Antwort kleiner oder gleich N2 ergibt.

Tipps

• Das Verschieben eines Dezimalkommas um ein Vielfaches von zwei Stellen in einer Zahl (ein Vielfaches von 100) bedeutet, dass ein Dezimalkomma um ein Vielfaches einer Stelle in seiner Quadratwurzel (ein Vielfaches von 10) verschoben wird.
• In diesem Beispiel kann 1,73 als "Rest" betrachtet werden: 780, 14 = 27, 9² + 1,73.
• Diese Methode kann für jede Basis verwendet werden, nicht nur für die Basis 10 (dezimal).
• Sie können Kalkül verwenden, das für Sie bequemer ist. Manche Leute schreiben das Ergebnis über die Anfangszahl.
• Eine alternative Möglichkeit, wiederholte Brüche zu verwenden, besteht darin, dieser Formel zu folgen: z = (x^2+y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + …))). Um beispielsweise die Quadratwurzel von 780, 14 zu berechnen, ist die ganze Zahl, deren quadrierter Wert 780, 14 am nächsten kommt, 28, also z = 780, 14, x = 28 und y = -3, 86. Werte eingeben und das Berechnen von Schätzungen nur für x + y/(2x) ergibt (in einfachsten Worten) 78207/20800 oder ungefähr 27.931(1); nächstes Semester, 4374188/156607 oder ungefähr 27, 930986(5). Jeder Term addiert etwa 3 Dezimalstellen zur Genauigkeit der vorherigen Anzahl von Dezimalstellen.

Warnung

Achten Sie darauf, die Ziffern in Paare zu trennen, beginnend mit dem Dezimalpunkt. Teilt 79.520.789.182, 47897 in "79 52 07 89 18 2, 4 78 97" gibt eine nutzlose Nummer zurück.