Ein Vektor ist eine physikalische Größe, die sowohl eine Größe als auch eine Richtung (z. B. Geschwindigkeit, Beschleunigung und Verschiebung) hat, im Gegensatz zu einem Skalar, der nur aus einer Größe (z. B. Geschwindigkeit, Entfernung oder Energie) besteht. Wenn Skalare durch Hinzufügen von Größen addiert werden können (z. B. 5 kJ Arbeit plus 6 kJ Arbeit gleich 11 kJ Arbeit), sind Vektoren etwas schwierig zu addieren oder zu subtrahieren. Siehe Schritt 1 unten, um einige Möglichkeiten zum Addieren oder Subtrahieren von Vektoren zu erfahren.
Schritt
Methode 1 von 3: Addieren und Subtrahieren von Vektoren, deren Komponenten bekannt sind
Schritt 1. Notieren Sie die Dimensionskomponenten des Vektors in Vektornotation
Da Vektoren Größe und Richtung haben, können sie normalerweise basierend auf den x-, y- und/oder z-Dimensionen in Teile zerlegt werden. Diese Bemaßungen werden normalerweise in einer ähnlichen Schreibweise geschrieben, um einen Punkt in einem Koordinatensystem (zB und andere) zu beschreiben. Wenn Sie diesen Teil kennen, ist das Addieren oder Subtrahieren von Vektoren sehr einfach, addieren oder subtrahieren Sie einfach ihre x-, y- und z-Koordinaten.
- Beachten Sie, ob die Dimensionen des Vektors 1, 2 oder 3 sind. Somit kann der Vektor die Komponenten x, x und y oder x, y und z haben. Unser folgendes Beispiel verwendet einen 3-dimensionalen Vektor, aber der Prozess ist wie ein 1- oder 2-dimensionaler Vektor.
- Angenommen, wir haben zwei dreidimensionale Vektoren, Vektor A und Vektor B. Wir können diese Vektoren in Vektornotation wie A = und B = schreiben, wobei a1 und a2 x-Komponenten sind, b1 und b2 y-Komponenten sind und c1 und c2 sind Komponenten z.
Schritt 2. Um die beiden Vektoren zu addieren, addieren Sie ihre Komponenten
Wenn die beiden Komponenten eines Vektors bekannt sind, können Sie die Vektoren addieren, indem Sie die Komponenten der einzelnen Vektoren addieren. Mit anderen Worten, addiere die x-Komponente des ersten Vektors zur x-Komponente des zweiten Vektors und mache dasselbe für y und z. Die Antwort, die Sie durch das Addieren der x-, y- und z-Komponenten dieser Vektoren erhalten, sind die x-, y- und z-Komponenten Ihres neuen Vektors.
- Allgemein gesagt, A+B =.
- Fügen wir zwei Vektoren A und B hinzu. A = und B =. A + B =, oder.
Schritt 3. Um beide Vektoren zu subtrahieren, subtrahieren Sie ihre Komponenten
Wie wir später besprechen werden, kann man sich das Subtrahieren eines Vektors von einem anderen als Addition seiner reziproken Vektoren vorstellen. Wenn die Komponenten beider Vektoren bekannt sind, ist es möglich, einen Vektor von einem anderen zu subtrahieren, indem man die erste Komponente von der zweiten Komponente subtrahiert (oder indem man die negativen Komponenten beider addiert).
- Allgemein gesagt, A-B =
- Ziehen wir zwei Vektoren A und B ab. A = und B =. A - B =, oder.
Methode 2 von 3: Hinzufügen und Subtrahieren von Bildern mit der Head-and-Tail-Methode
Schritt 1. Symbolisieren Sie den Vektor, indem Sie ihn mit Kopf und Schwanz zeichnen
Da Vektoren sowohl Betrag als auch Richtung haben, können wir sagen, dass sie einen Schwanz und einen Kopf haben. Mit anderen Worten, ein Vektor hat einen Startpunkt und einen Endpunkt, die die Richtung des Vektors angeben, dessen Abstand vom Startpunkt gleich der Größe des Vektors ist. Beim Zeichnen nimmt der Vektor die Form eines Pfeils an. Die Spitze des Pfeils ist der Kopf des Vektors und das Ende der Vektorlinie ist der Schwanz.
Wenn Sie eine Vektorzeichnung mit Bemaßungen erstellen, müssen Sie alle Ecken genau messen und zeichnen. Der falsche Winkel des Bildes beeinflusst das resultierende Ergebnis, wenn zwei Vektoren mit dieser Methode addiert oder subtrahiert werden
Schritt 2. Um den zweiten Vektor hinzuzufügen, zu zeichnen oder zu verschieben, so dass der Schwanz auf den Kopf des ersten Vektors trifft
Dies wird als Kombinieren von Kopf-Schwanz-Vektoren bezeichnet. Wenn Sie nur zwei Vektoren addieren, müssen Sie Folgendes tun, bevor Sie den resultierenden Vektor finden.
Beachten Sie, dass die Reihenfolge, in der Sie Vektoren hinzufügen, keine Rolle spielt, vorausgesetzt, Sie verwenden denselben Ausgangspunkt. Vektor A + Vektor B = Vektor B + Veltor A
Schritt 3. Um zu subtrahieren, fügen Sie dem Vektor ein negatives Vorzeichen hinzu
Das Reduzieren von Vektoren mithilfe von Bildern ist sehr einfach. Kehren Sie die Vektorrichtung um, aber halten Sie die Größe gleich und addieren Sie Ihren Vektorkopf und -schwanz wie gewohnt. Mit anderen Worten, um einen Vektor zu subtrahieren, drehen Sie den Vektor um 180Ö und addieren.
Schritt 4. Wenn Sie mehr als zwei Vektoren addieren oder subtrahieren, kombinieren Sie alle Vektoren in einer Kopf-zu-Ende-Reihenfolge
Die Reihenfolge der Zusammenführung spielt keine Rolle. Dieses Verfahren kann unabhängig von der Anzahl der Vektoren verwendet werden.
Schritt 5. Zeichnen Sie einen neuen Vektor vom Ende des ersten Vektors bis zum Kopf des letzten Vektors
Unabhängig davon, ob Sie zwei oder hundert Vektoren addieren/subtrahieren, der Vektor, der sich von Ihrem anfänglichen Startpunkt (dem Ende des ersten Vektors) bis zum Endpunkt Ihres letzten Vektors (dem Kopf Ihres letzten Vektors) erstreckt, ist der resultierende Vektor oder die Summe all Ihrer Vektoren. Beachten Sie, dass dieser Vektor genau derselbe ist wie der Vektor, der durch Aufsummieren aller x-, y- und/oder z-Komponenten erhalten wird.
- Wenn Sie alle Ihre Vektoren auf Maß zeichnen, indem Sie alle Winkel richtig messen, können Sie die Größe des resultierenden Vektors durch Messen der Länge bestimmen. Sie können auch den Winkel zwischen dem resultierenden und einem beliebigen Vektor horizontal oder vertikal messen, um seine Richtung zu bestimmen.
- Wenn Sie nicht alle Vektoren auf Maß zeichnen, müssen Sie möglicherweise die Größe des Ergebnisses mithilfe von Trigonometrie berechnen. Vielleicht helfen die Sinus- und Cosinus-Regeln. Wenn Sie mehr als zwei Vektoren hinzufügen, ist es hilfreich, den ersten Vektor zum zweiten hinzuzufügen, dann das Ergebnis des zweiten zum dritten und so weiter. Weitere Informationen finden Sie in den folgenden Abschnitten.
Schritt 6. Zeichnen Sie Ihren resultierenden Vektor mit seiner Größe und Richtung
Ein Vektor wird durch seine Länge und Richtung definiert. Wie oben, vorausgesetzt, Sie haben Ihren Vektor genau gezeichnet, ist die Größe Ihres neuen Vektors seine Länge und seine Richtung ist der Winkel relativ zur vertikalen oder horizontalen Richtung. Verwenden Sie die Einheitsvektoren, die Sie addieren oder subtrahieren, um die Einheiten für die Größe Ihres resultierenden Vektors zu bestimmen.
Wenn beispielsweise die hinzugefügten Vektoren die Geschwindigkeit in ms. darstellen-1, dann kann der resultierende Vektor definiert werden als "Geschwindigkeit x ms-1 gegen dich Ö in die horizontale Richtung.
Methode 3 von 3: Addieren und Subtrahieren von Vektoren durch Angabe von vektordimensionalen Komponenten
Schritt 1. Verwenden Sie Trigonometrie, um die Komponenten eines Vektors zu bestimmen
Um die Komponenten eines Vektors zu finden, müssen Sie normalerweise seine Größe und Richtung relativ zur horizontalen oder vertikalen Richtung kennen und die Trigonometrie verstehen. Unter der Annahme eines 2-dimensionalen Vektors stellen Sie sich zunächst Ihren Vektor als die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks vor, dessen zwei Seiten parallel zur x- und y-Richtung verlaufen. Diese beiden Seiten können als Komponenten eines Kopf-an-Schwanz-Vektors betrachtet werden, die sich zu Ihrem Vektor addieren.
- Die Längen beider Seiten sind gleich den x- und y-Komponenten Ihres Vektors und können mittels Trigonometrie berechnet werden. Wenn x eine Vektorgröße ist, ist die Seite neben dem Vektorwinkel (relativ zur horizontalen, vertikalen und anderen Richtungen) xcos(θ), während die gegenüberliegende Seite ist xsin(θ).
- Es ist auch sehr wichtig, die Richtung Ihrer Komponenten zu beachten. Zeigt die Komponente auf eine negative Koordinate, erhält sie ein negatives Vorzeichen. Wenn beispielsweise in einer zweidimensionalen Ebene eine Komponente nach links oder unten zeigt, ist sie negativ.
- Nehmen wir zum Beispiel an, wir haben einen Vektor mit der Größe 3 und der Richtung 135Ö relativ zur Horizontalen. Mit diesen Informationen können wir bestimmen, dass die x-Komponente 3cos(135) =. ist - 2, 12 und die y-Komponente ist 3sin(135) = 2, 12
Schritt 2. Addieren oder subtrahieren Sie zwei oder mehr verwandte Vektoren
Sobald Sie die Komponenten aller Ihrer Vektoren gefunden haben, addieren Sie sie, um die Komponenten Ihres resultierenden Vektors zu finden. Addieren Sie zunächst alle Beträge der horizontalen Komponenten (die parallel zur x-Richtung sind). Addieren Sie separat alle Größen der vertikalen Komponenten (die parallel zur y-Richtung sind). Wenn eine Komponente negativ (-) ist, wird ihr Betrag subtrahiert, nicht addiert. Die Antwort, die Sie erhalten, ist die Komponente Ihres resultierenden Vektors.
Zum Beispiel wird der Vektor aus dem vorherigen Schritt, zum Vektor hinzugefügt. In diesem Fall wird der resultierende Vektor zu oder
Schritt 3. Berechnen Sie die Größe des resultierenden Vektors mit dem Satz des Pythagoras
Satz des Pythagoras c2=a2+b2, wird verwendet, um die Seitenlänge eines rechtwinkligen Dreiecks zu bestimmen. Da das Dreieck, das von unserem resultierenden Vektor und seinen Komponenten gebildet wird, ein rechtwinkliges Dreieck ist, können wir es verwenden, um die Länge und Größe des Vektors zu bestimmen. Mit c als Betrag des resultierenden Vektors, den Sie suchen, sei a der Betrag der x-Komponente und b der Betrag der y-Komponente. Löse mit Algebra.
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Um die Größe des Vektors zu finden, dessen Komponenten wir im vorherigen Schritt gesucht haben, verwenden Sie den Satz des Pythagoras. Lösen Sie wie folgt:
- C2=(3, 66)2+(-6, 88)2
- C2=13, 40+47, 33
- c=√60, 73 = 7, 79
Schritt 4. Berechnen Sie die resultierende Richtung mit der Tangentenfunktion
Bestimme schließlich den resultierenden Richtungsvektor. Verwenden Sie die Formel =tan-1(b/a), wobei die Größe des in x- oder horizontaler Richtung gebildeten Winkels, b die Größe der y-Komponente und a die Größe der x-Komponente ist.
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Um die Richtung unseres Vektors zu bestimmen, verwenden Sie =tan-1(b/a).
- =tan-1(-6, 88/3, 66)
- =tan-1(-1, 88)
- =-61, 99Ö
Schritt 5. Zeichnen Sie Ihren resultierenden Vektor entsprechend seiner Größe und Richtung
Wie oben beschrieben, werden Vektoren durch ihre Größe und Richtung definiert. Stellen Sie sicher, dass Sie die entsprechenden Einheiten für Ihre Vektorgröße verwenden.
Wenn unser Vektorbeispiel beispielsweise eine Kraft (in Newton) darstellt, können wir sie schreiben "erzwinge 7,79 N um -61,99 Ö zu waagerecht".
Tipps
- Vektor ist anders als groß.
- Vektoren mit derselben Richtung können addiert oder subtrahiert werden, indem ihre Größen addiert oder subtrahiert werden. wenn du zusammenfassen zwei gegensätzliche Vektoren, ihre Beträge werden subtrahiert, nicht addiert.
- Vektoren, die in der Form x i + y j + z k dargestellt sind, können durch Addieren oder Subtrahieren der Koeffizienten der drei Einheitsvektoren addiert oder subtrahiert werden. Die Antwort hat auch die Form i, j und k.
- Die Größe eines dreidimensionalen Vektors können Sie mit der Formel a. ermitteln2=b2+c2+d2 wobei a die Größe des Vektors ist und b, c und d die Komponenten jeder Richtung sind.
- Spaltenvektoren können addiert und subtrahiert werden, indem die Werte jeder Zeile addiert oder subtrahiert werden.
