Domain und Funktionsumfang finden – wikiHow

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-12-16 11:03

Jede Funktion hat zwei Variablen, nämlich die unabhängige Variable und die abhängige Variable. Der Wert der abhängigen Variablen "hängt" buchstäblich von der unabhängigen Variablen ab. In der Funktion y = f(x) = 2 x + y ist beispielsweise x die unabhängige Variable und y die abhängige Variable (mit anderen Worten, y ist eine Funktion von x). Gültige Werte für die bekannte Variable x werden als "Ursprungsdomänen" bezeichnet. Gültige Werte für die bekannte y-Variable werden als „Ergebnisbereich“bezeichnet.

Schritt

Teil 1 von 3: Den Bereich einer Funktion ermitteln

Schritt 1. Entscheiden Sie, welche Art von Funktion Sie ausführen möchten

Die Domäne der Funktion sind alle x-Werte (horizontale Achse), die gültige y-Werte zurückgeben. Die Funktionsgleichung kann eine quadratische oder ein Bruch sein oder eine Wurzel enthalten. Um den Bereich der Funktion zu berechnen, müssen Sie zunächst die Variablen in der Gleichung untersuchen.

• Eine quadratische Funktion hat die Form ax² + bx + c: f(x) = 2x² + 3x + 4
• Beispiele für Funktionen mit Brüchen sind: f(x) = (¹/_x), f(x) = ^(x+1)/_{(x - 1)}, und andere.
• Funktionen mit Wurzeln sind: f(x) = x, f(x) = (x² + 1), f(x) = -x und so weiter.

Schritt 2. Notieren Sie die Domäne mit der richtigen Schreibweise

Das Schreiben der Domäne einer Funktion beinhaltet die Verwendung von eckigen Klammern [,] sowie Klammern (,). Verwenden Sie eckige Klammern [,], wenn die Nummer zur Domäne gehört, und verwenden Sie eckige Klammern (,), wenn die Domäne die Nummer nicht enthält. Der Buchstabe U bezeichnet eine Vereinigung, die Teile der Domäne verbindet, die durch einen Abstand getrennt sein können.

• Zum Beispiel enthält die Domäne von [-2, 10) U (10, 2] -2 und 2, aber nicht die Zahl 10.
• Verwenden Sie immer Klammern (), wenn Sie das Unendlichkeitssymbol verwenden.

Schritt 3. Zeichnen Sie einen Graphen der quadratischen Gleichung

Quadratische Gleichungen erzeugen einen parabolischen Graphen, der sich nach oben oder unten öffnet. Wenn man bedenkt, dass die Parabel sich auf der x-Achse unendlich fortsetzen wird, sind die Domäne der meisten quadratischen Gleichungen alle reellen Zahlen. Anders ausgedrückt, eine quadratische Gleichung enthält alle x-Werte auf der Zahlengeraden, was die Domäne ergibt R (Symbol für alle reellen Zahlen).

• Um die Funktion zu lösen, wählen Sie einen beliebigen x-Wert und geben ihn in die Funktion ein. Das Lösen einer Funktion mit einem x-Wert gibt einen y-Wert zurück. Die Werte von x und y sind die (x, y)-Koordinaten eines Graphen der Funktion.
• Tragen Sie diese Koordinaten in ein Diagramm ein und wiederholen Sie den Vorgang mit einem anderen x-Wert.
• Wenn Sie einige der Werte in diesem Modell grafisch darstellen, erhalten Sie einen Überblick über die Form der quadratischen Funktion.

Schritt 4. Wenn die Funktionsgleichung ein Bruch ist, machen Sie den Nenner gleich Null

Wenn Sie mit Brüchen arbeiten, können Sie niemals durch Null teilen. Indem Sie den Nenner gleich Null setzen und den Wert von x ermitteln, können Sie die aus der Funktion zu extrahierenden Werte berechnen.

• Zum Beispiel: Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion f(x) = ^(x+1)/_{(x - 1)}.
• Der Nenner der Funktion ist (x - 1).
• Machen Sie den Nenner gleich Null und berechnen Sie den Wert von x: x – 1 = 0, x = 1.
• Notieren Sie den Bereich: Der Bereich der Funktion enthält nicht 1, sondern alle reellen Zahlen außer 1; daher ist die Domäne (-∞, 1) U(1,).
• (-∞, 1) U (1,) kann als Sammlung aller reellen Zahlen außer 1 gelesen werden. Das Symbol für Unendlichkeit,, steht für alle reellen Zahlen. In diesem Fall werden alle reellen Zahlen größer als 1 und kleiner als 1 in die Domäne aufgenommen.

Schritt 5. Wenn die Gleichung eine Wurzelfunktion ist, machen Sie die Wurzelvariablen größer oder gleich null

Sie können die Quadratwurzel einer negativen Zahl nicht verwenden; Daher muss jeder x-Wert, der zu einer negativen Zahl führt, aus dem Bereich der Funktion entfernt werden.

• Beispiel: Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion f(x) = (x + 3).
• Die Variablen in der Wurzel sind (x + 3).
• Machen Sie den Wert größer oder gleich Null: (x + 3) 0.
• Berechnen Sie den Wert für x: x -3. Auflösen nach x: x -3.
• Der Funktionsbereich umfasst alle reellen Zahlen größer oder gleich -3; daher ist die Domäne [-3,).

Teil 2 von 3: Den Bereich einer quadratischen Gleichung ermitteln

Schritt 1. Stellen Sie sicher, dass Sie eine quadratische Funktion haben

Die quadratische Funktion hat die Form ax² + bx + c: f(x) = 2x² + 3x + 4. Der Graph der quadratischen Funktion ist eine Parabel, die sich nach oben oder unten öffnet. Abhängig von der Art der Funktion, an der Sie arbeiten, gibt es verschiedene Möglichkeiten, den Bereich der Funktion zu berechnen.

Der einfachste Weg, den Umfang anderer Funktionen, wie einer Wurzelfunktion oder einer Bruchfunktion, zu bestimmen, besteht darin, die Funktion mit einem Grafikrechner grafisch darzustellen

Schritt 2. Finden Sie den x-Wert des Scheitelpunkts der Funktion

Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion ist der Scheitelpunkt der Parabel. Denken Sie daran, die Form der quadratischen Funktion ist ax² + bx + c. Um die x-Koordinate zu finden, verwenden Sie die Gleichung x = -b/2a. Die Gleichung ist eine Ableitung einer grundlegenden quadratischen Funktion, die eine Gleichung mit einer Steigung/Neigung von Null darstellt (am Scheitelpunkt des Graphen ist die Steigung der Funktion Null).

• Finden Sie beispielsweise den Bereich von 3x² + 6x -2.
• Berechnen Sie die x-Koordinate des Scheitelpunkts: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1

Schritt 3. Berechnen Sie den y-Wert des Scheitelpunkts der Funktion

Setzen Sie die x-Koordinate in die Funktion ein, um den entsprechenden y-Wert des Scheitelpunkts zu berechnen. Dieser y-Wert gibt die Grenze des Funktionsbereichs an.

• Berechnen Sie die y-Koordinate: y = 3x² + 6x – 2 = 3(-1)² + 6(-1) -2 = -5.
• Der Scheitelpunkt dieser Funktion ist (-1, -5).

Schritt 4. Bestimmen Sie die Richtung der Parabel, indem Sie mindestens einen weiteren x-Wert einfügen

Wählen Sie einen anderen x-Wert und fügen Sie ihn in die Funktion ein, um den entsprechenden y-Wert zu berechnen. Wenn der y-Wert über dem Scheitel liegt, geht die Parabel weiter zu +∞. Wenn der y-Wert unter dem Scheitel liegt, wird die Parabel auf -∞ fortgesetzt.

• x-Wert -2 verwenden: y = 3x² + 6x – 2 = y = 3(-2)² + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
• Diese Berechnung gibt die Koordinaten (-2, -2) zurück.
• Diese Koordinaten zeigen Ihnen, dass sich die Parabel über dem Scheitelpunkt (-1, -5) fortsetzt; daher umfasst der Bereich alle y-Werte größer als -5.
• Der Bereich dieser Funktion ist [-5,).

Schritt 5. Notieren Sie den Bereich mit der richtigen Schreibweise

Wie Domänen werden Bereiche mit derselben Notation geschrieben. Verwenden Sie eckige Klammern [,], wenn die Zahl im Bereich liegt, und verwenden Sie Klammern (,), wenn der Bereich die Zahl nicht enthält. Der Buchstabe U bezeichnet eine Vereinigung, die Teile des Bereichs verbindet, die durch einen Abstand getrennt sein können.

• Der Bereich von [-2, 10) U (10, 2] umfasst beispielsweise -2 und 2, jedoch nicht die Zahl 10.
• Verwenden Sie immer Klammern, wenn Sie das Unendlichkeitssymbol verwenden.

Teil 3 von 3: Den Bereich aus dem Graphen einer Funktion ermitteln

Schritt 1. Zeichnen Sie die Funktion

Der einfachste Weg, den Bereich einer Funktion zu bestimmen, besteht oft darin, sie grafisch darzustellen. Viele Wurzelfunktionen haben einen Bereich (-∞, 0] oder [0, +∞), weil der Scheitelpunkt der horizontalen Parabel (seitliche Parabel) auf der horizontalen x-Achse liegt. In diesem Fall umfasst die Funktion alle positiven y-Werte, wenn sich die Parabel öffnet, oder alle negativen y-Werte, wenn sich die Parabel nach unten öffnet. Bruchfunktionen haben Asymptoten (Linien, die nie von einer geraden Linie / Kurve geschnitten werden, sondern bis ins Unendliche angenähert werden), die den Bereich der Funktion definieren.

• Einige Wurzelfunktionen beginnen oberhalb oder unterhalb der x-Achse. In diesem Fall wird der Bereich durch die Nummer bestimmt, bei der die Wurzelfunktion beginnt. Wenn die Parabel bei y = -4 beginnt und nach oben geht, beträgt der Bereich [-4, +∞).
• Der einfachste Weg, eine Funktion zu zeichnen, besteht darin, ein Grafikprogramm oder einen Grafikrechner zu verwenden.
• Wenn Sie keinen Grafikrechner haben, können Sie eine grobe Skizze des Graphen zeichnen, indem Sie den x-Wert in die Funktion einsetzen und den entsprechenden y-Wert ermitteln. Zeichnen Sie diese Koordinaten in eine Grafik ein, um eine Vorstellung davon zu bekommen, wie die Grafik aussieht.

Schritt 2. Ermitteln Sie den Mindestwert der Funktion

Unmittelbar nach dem Zeichnen der Funktion sollten Sie den tiefsten Punkt des Graphen deutlich erkennen können. Wenn es keinen eindeutigen Mindestwert gibt, wissen Sie, dass einige Funktionen bei -∞ (unendlich) fortgesetzt werden.

Eine Bruchfunktion enthält alle Punkte außer denen auf den Asymptoten. Die Funktion hat einen Bereich wie (-∞, 6) U (6,)

Schritt 3. Bestimmen Sie den Maximalwert der Funktion

Auch hier sollten Sie nach dem Zeichnen des Graphen in der Lage sein, den maximalen Punkt der Funktion zu identifizieren. Einige Funktionen werden bei +∞ fortgesetzt und haben daher keinen Mindestwert.

Schritt 4. Schreiben Sie den Bereich mit der richtigen Notation

Wie Domänen werden Bereiche mit derselben Notation geschrieben. Verwenden Sie eckige Klammern [,], wenn die Zahl im Bereich liegt, und verwenden Sie Klammern (,), wenn der Bereich die Zahl nicht enthält. Der Buchstabe U bezeichnet eine Vereinigung, die Teile des Bereichs verbindet, die durch einen Abstand getrennt sein können.

• Der Bereich von [-2, 10) U (10, 2] umfasst beispielsweise -2 und 2, jedoch nicht die Zahl 10.
• Verwenden Sie immer Klammern, wenn Sie das Unendlichkeitssymbol verwenden.