3 Möglichkeiten, algebraische Ausdrücke zu vereinfachen

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-01-15 08:12

Zu lernen, wie man algebraische Ausdrücke vereinfacht, ist einer der Schlüssel zum Beherrschen der grundlegenden Algebra und das nützlichste Werkzeug, das jeder Mathematiker haben muss. Die Vereinfachung ermöglicht es Mathematikern, komplexe, lange und/oder ungerade Ausdrücke in einfachere oder einfachere äquivalente Ausdrücke umzuwandeln. Grundlegende Vereinfachungsfähigkeiten sind sehr einfach zu erlernen – auch für diejenigen, die Mathe hassen. Mit wenigen einfachen Schritten ist es möglich, viele der am häufigsten verwendeten Arten von algebraischen Ausdrücken zu vereinfachen, ohne spezielle mathematische Kenntnisse zu verwenden. Sehen Sie sich Schritt 1 an, um loszulegen!

Schritt

Wichtige Konzepte verstehen

Schritt 1. Gruppieren Sie ähnliche Begriffe nach ihren Variablen und Potenzen

In der Algebra haben gleiche Terme die gleiche variable Konfiguration mit der gleichen Potenz. Mit anderen Worten, damit zwei Terme gleich sind, müssen sie dieselbe Variable oder überhaupt keine Variable haben und jede Variable hat die gleiche Potenz oder keinen Exponenten. Die Reihenfolge der Variablen in Begriffen ist nicht wichtig.

Zum Beispiel 3x² und 4x² sind wie Terme, weil sie beide eine Variable x mit der Potenz des Quadrats haben. x und x² sind nicht wie Terme, weil jeder Term eine Variable x mit einer anderen Potenz hat. Fast gleich, -3yx und 5xz sind keine Terme, da jeder Term eine andere Variable hat.

Schritt 2. Faktorisieren Sie, indem Sie die Zahl als Produkt der beiden Faktoren schreiben

Factoring ist das Konzept, eine gegebene Zahl als das Produkt zweier multiplizierter Faktoren aufzuschreiben. Zahlen können mehr als einen Satz von Faktoren haben – zum Beispiel kann 12 aus 1 × 12, 2 × 6 und 3 × 4 erhalten werden, also können wir sagen, dass 1, 2, 3, 4, 6 und 12 Faktoren sind von 12 Man kann es sich auch so vorstellen, dass die Faktoren einer Zahl die Zahlen sind, die die ganze Zahl teilen.

• Wenn wir zum Beispiel 20 faktorisieren wollten, könnten wir es schreiben als 4 × 5.
• Beachten Sie, dass auch variable Terme faktorisiert werden können. -20x kann zum Beispiel geschrieben werden als 4(5x).
• Primzahlen können nicht faktorisiert werden, da sie nur durch sich selbst und 1 geteilt werden können.

Schritt 3. Verwenden Sie das Akronym KaPaK BoTaK, um sich die Reihenfolge der Operationen zu merken

Manchmal löst das Vereinfachen eines Ausdrucks einfach die Operation in der Gleichung, bis sie nicht mehr praktikabel ist. In diesen Fällen ist es sehr wichtig, sich die Reihenfolge der Operationen zu merken, damit keine Rechenfehler auftreten. Das Akronym KaPaK BoTaK hilft Ihnen, sich an die Reihenfolge der Operationen zu erinnern – die Buchstaben geben die Arten von Operationen an, die Sie ausführen sollten, in der Reihenfolge:

• KScheitern
• PAufzug
• Kali
• Bwieder
• Thinzufügen
• KGarnele

Methode 1 von 3: Like-Terms zusammenführen

Schritt 1. Schreiben Sie Ihre Gleichung auf

Die einfachsten algebraischen Gleichungen, die nur wenige variable Terme mit ganzzahligen Koeffizienten und keine Brüche, Wurzeln etc. beinhalten, lassen sich oft in wenigen Schritten lösen. Bei den meisten mathematischen Problemen besteht der erste Schritt zur Vereinfachung Ihrer Gleichung darin, sie aufzuschreiben!

Als Beispielproblem verwenden wir für die nächsten Schritte den Ausdruck 1 + 2x - 3 + 4x.

Schritt 2. Identifizieren Sie ähnliche Stämme

Suchen Sie als Nächstes nach ähnlichen Termen in Ihrer Gleichung. Denken Sie daran, dass ähnliche Begriffe dieselbe Variable und denselben Exponenten haben.

Lassen Sie uns zum Beispiel ähnliche Begriffe in unserer Gleichung 1 + 2x – 3 + 4x identifizieren. 2x und 4x haben beide dieselbe Variable mit derselben Potenz (in diesem Fall hat x keinen Exponenten). Außerdem sind 1 und -3 wie Terme, da sie keine Variablen haben. Also in unserer Gleichung 2x und 4x und 1 und -3 sind ähnliche Stämme.

Schritt 3. Kombinieren Sie ähnliche Begriffe

Nachdem Sie nun ähnliche Begriffe identifiziert haben, können Sie sie kombinieren, um Ihre Gleichung zu vereinfachen. Addieren Sie die Terme (oder subtrahieren Sie bei negativen Termen), um die Menge der Terme mit derselben Variablen und demselben Exponenten auf einen gleichen Term zu reduzieren.

• Fügen wir in unserem Beispiel ähnliche Begriffe hinzu.

  • 2x + 4x = 6x
  • 1 + -3 = - 2

Schritt 4. Erstellen Sie eine einfachere Gleichung aus den vereinfachten Termen

Nachdem Sie Ihre ähnlichen Terme kombiniert haben, erstellen Sie eine Gleichung aus dem neuen, kleineren Satz von Termen. Sie erhalten eine einfachere Gleichung, die einen Term für die verschiedenen Sätze von Variablen und Potenzen in der ursprünglichen Gleichung enthält. Diese neue Gleichung entspricht der ursprünglichen Gleichung.

In unserem Beispiel lauten unsere vereinfachten Terme 6x und -2, also lautet unsere neue Gleichung 6x - 2. Diese einfache Gleichung entspricht dem Original (1 + 2x - 3 + 4x), ist jedoch kürzer und einfacher zu handhaben. Es ist auch einfacher zu faktorisieren, was wir unten betrachten werden, was eine weitere wichtige vereinfachende Fähigkeit ist.

Schritt 5. Befolgen Sie die Reihenfolge der Operationen, wenn Sie ähnliche Begriffe kombinieren

In sehr einfachen Gleichungen wie der, an der wir in der obigen Beispielaufgabe gearbeitet haben, ist es einfach, ähnliche Terme zu identifizieren. In komplexeren Gleichungen, wie z. B. Ausdrücken mit Klammerausdrücken, Brüchen und Wurzeln, sind solche Ausdrücke, die kombiniert werden können, jedoch möglicherweise nicht deutlich sichtbar. Befolgen Sie in diesen Fällen die Reihenfolge der Operationen und führen Sie nach Bedarf Operationen an den Termen in Ihrem Ausdruck aus, bis die Additions- und Subtraktionsoperationen übrig bleiben.

• Verwenden wir zum Beispiel die Gleichung 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Es wäre falsch, 3x und 2x sofort als gleiche Terme zu betrachten und zu kombinieren, da die Klammern im Ausdruck andeuten, dass wir zuerst andere Operationen durchführen müssen. Zuerst führen wir arithmetische Operationen an dem Ausdruck in der Reihenfolge der Operationen durch, um Terme zu erhalten, die wir verwenden können. Siehe Folgendes:

  • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x² + 8 - 3x. Da die einzigen verbleibenden Operationen Addition und Subtraktion sind, können wir ähnliche Terme kombinieren.
  • x² + (15x - 3x) + (8 - 5)
  • x² + 12x + 3

Methode 2 von 3: Factoring

Schritt 1. Identifizieren Sie den größten gemeinsamen Faktor im Ausdruck

Faktorisieren ist eine Möglichkeit, einen Ausdruck zu vereinfachen, indem die Faktoren entfernt werden, die in allen gleichen Begriffen im Ausdruck gleich sind. Finden Sie zunächst den größten gemeinsamen Faktor, den alle Terme haben – mit anderen Worten, die größte Zahl, die alle Terme im Ausdruck als Ganzes teilt.

• Verwenden wir die 9x.-Gleichung² + 27x - 3. Beachten Sie, dass jeder Term in dieser Gleichung durch 3 teilbar ist. Da die Terme nicht durch eine größere Zahl teilbar sind, können wir sagen, dass

  Schritt 3. ist unser größter gemeinsamer Faktor.

Schritt 2. Teilen Sie die Terme im Ausdruck durch den größten gemeinsamen Faktor

Als nächstes teilen Sie jeden Term in Ihrer Gleichung durch den größten gemeinsamen Faktor, den Sie gerade gefunden haben. Die Quotiententerme haben einen kleineren Koeffizienten als die ursprüngliche Gleichung.

• Lassen Sie uns unsere Gleichung nach ihrem größten gemeinsamen Faktor 3 faktorisieren. Dazu teilen wir jeden Term durch 3.

  • 9x²/3 = 3x²
  • 27x/3 = 9x
  • -3/3 = -1
  • Unser neuer Ausdruck ist also 3x² + 9x - 1.

Schritt 3. Schreiben Sie Ihren Ausdruck als Produkt des größten gemeinsamen Faktors multipliziert mit den verbleibenden Termen

Ihr neuer Ausdruck entspricht nicht Ihrem ursprünglichen Ausdruck, daher wäre es falsch zu sagen, dass der Ausdruck vereinfacht wurde. Um unseren neuen Ausdruck dem Original gleich zu machen, müssen wir die Tatsache berücksichtigen, dass unser Ausdruck durch den größten gemeinsamen Faktor geteilt wurde. Setzen Sie Ihren neuen Ausdruck in Klammern und schreiben Sie den größten gemeinsamen Faktor der ursprünglichen Gleichung als Ausdruckskoeffizienten in Klammern.

Für unsere Beispielgleichung 3x² + 9x - 1, können wir den Ausdruck in Klammern setzen und mit dem größten gemeinsamen Faktor der ursprünglichen Gleichung multiplizieren, um zu erhalten 3(3x² + 9x - 1). Diese Gleichung entspricht der ursprünglichen Gleichung 9x² +27x - 3.

Schritt 4. Verwenden Sie die Faktorisierung, um Brüche zu vereinfachen

Sie fragen sich jetzt vielleicht, warum die Faktorisierung verwendet wird, wenn auch nach Entfernen des größten gemeinsamen Faktors der neue Ausdruck noch einmal mit diesem Faktor multipliziert werden muss. Tatsächlich ermöglicht die Faktorisierung Mathematikern verschiedene Tricks, um Ausdrücke zu vereinfachen. Einer seiner einfachsten Tricks macht sich die Tatsache zunutze, dass durch die Multiplikation von Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl äquivalente Brüche entstehen können. Siehe Folgendes:

• Sagen Sie unseren ersten Beispielausdruck, 9x² + 27x - 3, ist der Quantor des größeren Bruchs mit 3 als Zähler. Der Bruch sieht so aus: (9x² + 27x - 3)/3. Wir können die Faktorisierung verwenden, um Brüche zu vereinfachen.

  • Ersetzen wir den Ausdruck im Zähler durch die Faktorisierungsform unseres ursprünglichen Ausdrucks: (3(3x² + 9x - 1))/3
  • Beachten Sie, dass Zähler und Nenner jetzt einen Koeffizienten von 3 haben. Wenn wir Zähler und Nenner durch 3 teilen, erhalten wir: (3x² + 9x - 1)/1.
  • Da jeder Bruch mit dem Nenner 1 äquivalent zu den Termen im Zähler ist, können wir sagen, dass unser Anfangsbruch vereinfacht werden kann zu 3x² + 9x - 1.

Methode 3 von 3: Anwenden zusätzlicher Vereinfachungsfähigkeiten

Schritt 1. Vereinfachen Sie Brüche, indem Sie durch dieselben Faktoren dividieren

Wenn Zähler und Nenner einer Gleichung, wie oben erwähnt, dieselben Faktoren aufweisen, können diese Faktoren im Bruch vollständig weggelassen werden. Manchmal ist es erforderlich, den Zähler, den Nenner oder beides zu berücksichtigen (wie im obigen Beispielproblem), während manchmal die gleichen Faktoren oft offensichtlich sind. Beachten Sie, dass es auch möglich ist, die Terme des Zählers einzeln durch die Gleichung im Nenner zu dividieren, um einen einfachen Ausdruck zu erhalten.

• Lassen Sie uns an einem Beispiel arbeiten, das keine Ausgliederung erfordert. Für Brüche (5x² + 10x + 20)/10, können wir zur Vereinfachung jeden Term im Zähler durch 10 dividieren, auch wenn der Koeffizient 5 in 5x. ist² ist nicht größer als 10 und somit ist 10 kein Faktor.

  Wenn wir dies tun, erhalten wir ((5x²)/10) + x + 2. Wenn wir wollten, könnten wir den ersten Term umschreiben als (1/2)x² also erhalten wir (1/2)x² +x+2.

Schritt 2. Verwenden Sie die quadrierten Faktoren, um die Wurzeln zu vereinfachen

Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen wird Wurzelausdruck genannt. Dieser Ausdruck kann vereinfacht werden, indem die quadrierten Faktoren (Faktoren, die Quadrate von ganzen Zahlen sind) identifiziert und die Quadratwurzeloperation separat ausgeführt wird, um sie unter dem Quadratwurzelzeichen zu entfernen.

• Machen wir ein einfaches Beispiel - (90). Wenn wir uns 90 als das Produkt seiner beiden Faktoren 9 und 10 vorstellen, können wir die Quadratwurzel aus 9 ziehen, die die ganze Zahl 3 ist, und sie aus dem Wurzelzeichen entfernen. Mit anderen Worten:

  • √(90)
  • √(9 × 10)
  • (√(9) × √(10))
  • 3 × √(10)
  • 3√(10)

Schritt 3. Addieren Sie Exponenten, wenn Sie zwei Exponenten multiplizieren; beim Dividieren abziehen

Einige algebraische Ausdrücke erfordern das Multiplizieren oder Dividieren von Potenztermen. Anstatt jeden Exponenten manuell zu berechnen oder zu dividieren, addieren Sie einfach die Exponenten beim Multiplizieren und subtrahieren Sie beim Dividieren, um Zeit zu sparen. Dieses Konzept kann auch verwendet werden, um Variablenausdrücke zu vereinfachen.

• Verwenden wir zum Beispiel den Ausdruck 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵). In jedem Fall, in dem eine Multiplikation oder Division von Exponenten erforderlich ist, werden wir Exponenten subtrahieren bzw. addieren, um den einfachen Term schnell zu finden. Siehe Folgendes:

  • 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵)
  • (6 × 8)x^{3 + 4} + (x^{17 - 15})
  • 48x⁷ +x²

• Eine Erklärung zur Funktionsweise finden Sie unten:

  • Das Multiplizieren von Termen in Exponenten ist eigentlich wie das Multiplizieren von Termen nicht mit langen Exponenten. Zum Beispiel, weil x³ = x × x × x und x ⁵ = x × x × x × x × x, x³ × x⁵ = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) oder x⁸.
  • Fast das gleiche ist das Dividieren von Exponenten wie das Dividieren von Termen, nicht langen Exponenten. x⁵/x³ = (xxxxxxxxx)/(xxxxx). Da jeder Term im Zähler durchgestrichen werden kann, indem derselbe Term im Nenner gefunden wird, bleiben nur noch zwei x im Zähler und unten nichts übrig, was die Antwort x. ergibt².

Tipps

• Denken Sie immer daran, dass Sie sich diese Zahlen mit positiven und negativen Vorzeichen vorstellen müssen. Viele Leute überlegen, welches Zeichen ich hier setzen soll.
• Bitten Sie um Hilfe, wenn Sie sie brauchen!
• Die Vereinfachung algebraischer Ausdrücke ist nicht einfach, aber wenn Sie sie einmal verstanden haben, werden Sie sie für den Rest Ihres Lebens verwenden.

Warnung

• Suchen Sie immer nach ähnlichen Stämmen und lassen Sie sich nicht vom Rang täuschen.
• Stellen Sie sicher, dass Sie keine Zahlen, Potenzen oder Operationen hinzufügen, die nicht versehentlich erfolgen sollten.