Faktoren einer Zahl sind Zahlen, die multipliziert werden können, um diese Zahl zu erhalten. Eine andere Betrachtungsweise ist, dass jede Zahl das Produkt mehrerer Faktoren ist. Das Erlernen des Faktorisierens – das heißt das Zerlegen einer Zahl in ihre Komponentenfaktoren – ist eine mathematische Fähigkeit, die nicht nur in der grundlegenden Arithmetik, sondern auch in der Algebra, der Infinitesimalrechnung und anderen verwendet wird. Siehe Schritt 1 unten, um zu lernen, wie man faktorisiert!
Schritt
Methode 1 von 2: Faktorisieren von einfachen Ganzzahlen
Schritt 1. Notieren Sie Ihre Nummer
Um mit dem Faktorisieren zu beginnen, brauchen Sie nur Zahlen – jede Zahl spielt keine Rolle, aber in diesem Fall verwenden wir einfache ganze Zahlen. Eine ganze Zahl ist eine Zahl, die weder ein Bruch noch eine Dezimalzahl ist (alle positiven und negativen ganzen Zahlen sind ganze Zahlen).
-
Angenommen, wir wählen die Zahl
Schritt 12.. Schreiben Sie diese Zahl auf ein Blatt Papier.
Schritt 2. Finden Sie die beiden Zahlen, die multipliziert Ihre erste Zahl ergeben
Jede ganze Zahl kann als Produkt von zwei anderen ganzen Zahlen geschrieben werden. Sogar Primzahlen können als Ergebnis der Multiplikation von 1 mit der Zahl selbst geschrieben werden. Eine Zahl als Produkt zweier Faktoren zu denken, erfordert ein Rückwärtsdenken – Sie müssen sich fragen, welche Multiplikation diese Zahl ergibt?
- In unserem Beispiel hat 12 viele Faktoren – 12 × 1, 6 × 2 und 3 × 4 gleich 12. Somit können wir sagen, dass die Faktoren von 12 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Verwenden wir dazu die Faktoren 6 und 2.
- Gerade Zahlen sind sehr einfach zu faktorisieren, da jede ganze Zahl den Faktor 2 hat. 4 = 2 × 2, 26 = 13 × 2 und so weiter.
Schritt 3. Stellen Sie fest, ob Ihr Faktor noch faktorisiert werden kann
Viele Zahlen – insbesondere große Zahlen – können noch mehrfach faktorisiert werden. Wenn Sie zwei Faktoren einer Zahl finden und einer einen Faktor hat, können Sie diese Zahl entsprechend dem Faktor faktorisieren. Je nach Situation kann dies vorteilhaft oder nachteilig sein.
In unserem Beispiel haben wir beispielsweise 12 in 2 × 6 faktorisiert. Beachten Sie, dass 6 einen eigenen Faktor hat – 3 × 2 = 6. Wir können also sagen, dass 12 = 2 × (3 × 2).
Schritt 4. Beenden Sie die Faktorisierung, wenn Sie auf eine Primzahl stoßen
Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur durch sich selbst und 1 teilbar ist. Zum Beispiel sind 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13 und 17 Primzahlen. Wenn Sie eine Zahl faktorisieren und das Ergebnis eine Primzahl ist, ist es sinnlos, weiter zu faktorisieren. Es macht keinen Sinn, es mal eins einzukalkulieren, also hör einfach auf damit.
In unserem Beispiel haben wir 12 in 2 × (2 × 3) faktorisiert. 2, 2 und 3 sind Primzahlen. Wenn wir es noch einmal faktorisieren, müssen wir es in (2 × 1) × ((2 × 1)(3 × 1)) faktorisieren, was nutzlos ist und daher am besten vermieden wird
Schritt 5. Faktorisieren Sie negative Zahlen auf die gleiche Weise
Negative Zahlen können genauso faktorisiert werden wie positive Zahlen. Der Unterschied besteht darin, dass die Faktoren bei der Multiplikation die Zahl ergeben müssen. Wenn also einer der Faktoren die Zahl negativ sein muss.
-
Lassen Sie uns zum Beispiel -60 faktorisieren. Siehe Folgendes:
- -60 = -10 × 6
- -60 = (-5 × 2) × 6
- -60 = (-5 × 2) × (3 × 2)
- -60 = - 5 × 2 × 3 × 2. Beachten Sie, dass das Produkt einer negativen Zahl und mehrerer ungerader Zahlen negativer Zahlen das gleiche Ergebnis hat. Zum Beispiel, - 5 × 2 × -3 × -2 entspricht auch 60.
Methode 2 von 2: Strategie zum Factoring großer Zahlen
Schritt 1. Schreiben Sie Ihre Zahlen oben in eine zweispaltige Tabelle
Während es normalerweise einfach ist, kleine ganze Zahlen zu faktorisieren, kann das Faktorisieren von großen ganzen Zahlen verwirrend sein. Die meisten von uns werden es frustrierend finden, eine Zahl mit 4 oder 5 Ziffern mithilfe von Mathematik zu ihrer Primzahl zu lösen. Glücklicherweise erleichtert die Verwendung von Tabellen diesen Prozess erheblich. Schreiben Sie Ihre Zahlen oben in eine T-förmige Tabelle mit 2 Spalten – Sie werden diese Tabelle verwenden, um Ihr Factoring aufzuzeichnen.
Wählen wir für dieses Beispiel eine vierstellige Zahl zum Faktorisieren aus - 6.552.
Schritt 2. Teilen Sie Ihre Zahl durch den kleinstmöglichen Primfaktor
Dividiere deine Zahl durch den kleinsten Primfaktor (außer 1), sodass sie keinen Rest hat. Schreiben Sie die Primfaktoren in die linke Spalte und schreiben Sie Ihre Divisionsantwort in die rechte Spalte. Wie oben erwähnt, sind gerade Zahlen sehr einfach zu faktorisieren, da ihr kleinster Primfaktor immer 2 ist. Ungerade Zahlen haben jedoch unterschiedliche kleinste Primfaktoren.
-
Da in unserem Beispiel 6,552 eine gerade Zahl ist, wissen wir, dass der kleinste Primfaktor 2 ist. 6,552 2 = 3,276. In die linke Spalte schreiben wir
Schritt 2. und schreibe in die rechte Spalte 3.276.
Schritt 3. Fahren Sie auf diese Weise mit der Faktorisierung von Zahlen fort
Als nächstes faktoriere die Zahl in der rechten Spalte mit ihrem kleinsten Primfaktor, nicht die Zahl am Anfang der Tabelle. Schreiben Sie den Primfaktor in die linke Spalte und die neue Zahl in die rechte Spalte. Wiederholen Sie diesen Vorgang immer wieder – mit jeder Iteration verringert sich die Zahl in der rechten Spalte.
-
Setzen Sie unseren Prozess fort. 3,276 2 = 1,638, also schreiben wir unten in die linke Spalte die Zahl
Schritt 2. noch einmal, und unter der rechten Spalte schreiben wir 1.638. 1,638 2 = 819, also schreiben wir
Schritt 2. und 819 unter der vorherigen Spalte.
Schritt 4. Faktorisieren Sie die ungeraden Zahlen, indem Sie kleine Primfaktoren ausprobieren
Es ist schwieriger, den kleinsten Primfaktor einer ungeraden Zahl zu finden als eine gerade Zahl, da der kleinste Primfaktor nicht 2 ist. Wenn Sie auf eine ungerade Zahl stoßen, versuchen Sie, durch eine andere kleine Primzahl als 2 – 3, 5, 7. zu dividieren, 11 und so weiter – bis Sie den Faktor gefunden haben, der sie ohne Rest teilen kann. Dies ist der kleinste Primfaktor der Zahl.
-
In unserem Beispiel finden wir 819. 819 ist eine ungerade Zahl, also ist 2 kein Faktor von 819. Anstatt die Zahl 2 zu schreiben, versuchen wir es mit der nächsten Primzahl 3. 819 3 = 273 und es gibt keinen Rest, also schreiben wir
Schritt 3. und 273.
- Beim Erraten von Faktoren sollten Sie alle Primzahlen bis zur Quadratwurzel des größten gefundenen Faktors ausprobieren. Wenn Sie keinen Faktor finden können, der eine Zahl ohne Rest teilt, handelt es sich wahrscheinlich um eine Primzahl und Sie beenden den Faktorisierungsprozess.
Schritt 5. Fahren Sie fort, bis Sie die Nummer 1 finden
Teilen Sie die Zahlen in der rechten Spalte mit ihrem kleinsten Primfaktor weiter, bis Sie die Primzahlen in der rechten Spalte finden. Teilen Sie diese Zahl durch sich selbst – so dass die Zahl in der rechten Spalte bleibt und 1 in der rechten Spalte.
-
Schließen Sie das Factoring unserer Nummer ab. Eine detaillierte Aufschlüsselung finden Sie im Folgenden:
-
Dividiere wieder durch 3: 273 3 = 91, kein Rest, also schreiben wir
Schritt 3. und 91.
-
Versuchen wir es noch einmal mit der Zahl 3: 3 ist kein Faktor von 91, und die nächste Primzahl (5) ist auch kein Faktor, aber 91 7 = 13, ohne Rest, also schreiben wir
Schritt 7. da
Schritt 13..
-
Versuchen wir es noch einmal mit der Zahl 7: 7 ist kein Faktor 13, und die nächste Primzahl (11) ist auch kein Faktor, aber sie ist durch sich selbst teilbar: 13 13 = 1. Um unsere Tabelle zu vervollständigen, schreiben wir also
Schritt 13. da
Schritt 1.. Factoring abgeschlossen.
-
Schritt 6. Verwenden Sie die Zahlen in der linken Spalte als Faktoren für Ihre Zahlen
Wenn Sie in der rechten Spalte 1 gefunden haben, ist das Factoring abgeschlossen. Die Zahlen in der linken Spalte sind die Faktoren. Mit anderen Worten, wenn Sie alle diese Zahlen multiplizieren, erhalten Sie die Zahl, die ganz oben in der Tabelle steht. Tritt derselbe Faktor mehrfach auf, können Sie platzsparend das Quadratzeichen verwenden. Wenn es beispielsweise 4 Faktoren von 2 gibt, können Sie 2. schreiben4 im Gegensatz zum Schreiben von 2×2×2×2.
In unserem Beispiel ist 6,552 = 23 × 32 × 7 × 13. Dies ist eine vollständige Faktorisierung von 6.552 in Primfaktoren. Die Reihenfolge dieser Zahlen hat keine Auswirkung; das Produkt wird immer noch 6.552 sein.
Tipps
- Eine andere wichtige Sache ist das Konzept der Zahlen prim: eine Zahl, die nur zwei Faktoren hat, 1 und sich selbst. 3 ist eine Primzahl, weil ihre Faktoren nur 1 und 3 sind. 4 hat jedoch den Faktor 2. Zahlen, die keine Primzahlen sind, werden zusammengesetzte Zahlen genannt. (Die Zahl 1 ist jedoch weder prim noch zusammengesetzt – sie ist etwas Besonderes).
- Die niedrigsten Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 und 23.
- Verstehe, dass eine Zahl ist Faktor eine andere Zahl – damit die größere Zahl ohne Rest durch die kleinere Zahl geteilt werden kann. Zum Beispiel ist 6 ein Faktor von 24, weil 24 6 = 4 und es keinen Rest gibt. 6 ist jedoch kein Faktor von 25.
- Denken Sie daran, dass wir nur über natürliche Zahlen sprechen – die manchmal als Zählzahlen bezeichnet werden: 1, 2, 3, 4, 5… Wir werden keine negativen Zahlen oder Brüche faktorisieren, da sie für diesen Artikel nicht geeignet sind.
- Einige Zahlen können schneller faktorisiert werden, aber es funktioniert die ganze Zeit, als Bonus werden Primfaktoren vom kleinsten zum größten sortiert, wenn Sie fertig sind.
- Wenn die Zahlen addiert werden und Vielfache von drei sind, dann ist einer der Faktoren der Zahl drei. (819 = 8+1+9 = 18, 1+8 =9. Drei ist ein Faktor von 9, also ein Faktor von 819.)
