Komplexe Brüche vereinfachen: 9 Schritte (mit Bildern)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-01-15 08:12

Ein komplexer Bruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler, Nenner oder beide auch einen Bruch enthalten. Aus diesem Grund werden komplexe Fraktionen manchmal als "gestapelte Fraktionen" bezeichnet. Die Vereinfachung komplexer Brüche kann einfach oder schwierig sein, je nachdem, wie viele Zahlen im Zähler und Nenner enthalten sind, ob eine der Zahlen eine Variable ist oder wie komplex die variable Zahl ist. Siehe Schritt 1 unten, um loszulegen!

Schritt

Methode 1 von 2: Komplexe Brüche mit inverser Multiplikation vereinfachen

Schritt 1. Vereinfachen Sie bei Bedarf Zähler und Nenner zu einem einzigen Bruch

Komplexe Brüche sind nicht immer schwer zu lösen. Tatsächlich sind komplexe Brüche, deren Zähler und Nenner einen einzigen Bruch enthalten, normalerweise ziemlich einfach zu lösen. Wenn der Zähler oder Nenner (oder beide) eines komplexen Bruchs mehrere Brüche oder Brüche und eine ganze Zahl enthält, vereinfachen Sie ihn, um einen einzelnen Bruch im Zähler und im Nenner zu erhalten. Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) von zwei oder mehr Brüchen.

• Angenommen, wir möchten einen komplexen Bruch vereinfachen (3/5 + 2/15)/(5/7 - 3/10). Zunächst vereinfachen wir Zähler und Nenner eines komplexen Bruchs zu einem einzigen Bruch.

  • Um den Zähler zu vereinfachen, verwenden Sie den LCM 15, der durch Multiplizieren von 3/5 mit 3/3 erhalten wird. Der Zähler ist 9/15 + 2/15, was 11/15 entspricht.
  • Um den Nenner zu vereinfachen, verwenden wir das LCM-Ergebnis von 70, das durch Multiplikation von 5/7 mit 10/10 und 3/10 mit 7/7 erhalten wird. Der Nenner ist 50/70 - 21/70, was 29/70 entspricht.
  • Somit ist der neue komplexe Bruch (11/15)/(29/70).

Schritt 2. Invertieren Sie den Nenner, um seinen Kehrwert zu finden

Das Dividieren einer Zahl durch eine andere ist per Definition das gleiche wie das Multiplizieren der ersten Zahl mit dem Kehrwert der zweiten Zahl. Da wir nun einen komplexen Bruch mit einem einzigen Bruch sowohl im Zähler als auch im Nenner haben, werden wir diese Division verwenden, um den komplexen Bruch zu vereinfachen. Bestimme zuerst den Kehrwert des Bruchs am unteren Rand des komplexen Bruchs. Tun Sie dies, indem Sie den Bruch "invertieren" - den Zähler an die Stelle des Nenners setzen und umgekehrt.

• In unserem Beispiel ist der Bruch im Nenner des komplexen Bruchs (11/15)/(29/70) 29/70. Um das Inverse zu finden, "invertieren" wir es so, dass wir erhalten 70/29.

  Beachten Sie, dass wenn ein komplexer Bruch eine ganze Zahl im Nenner hat, wir ihn als Bruch behandeln und seinen Kehrwert finden können. Wenn der komplexe Bruch beispielsweise (11/15)/(29) ist, können wir den Nenner 29/1 bilden, was bedeutet, dass der Kehrwert ist 1/29.

Schritt 3. Multiplizieren Sie den Zähler des komplexen Bruchs mit dem Kehrwert des Nenners

Jetzt, da wir den Kehrwert des Nenners des komplexen Bruchs haben, multiplizieren Sie ihn mit dem Zähler, um einen einzelnen einfachen Bruch zu erhalten. Denken Sie daran, dass wir zum Multiplizieren von zwei Brüchen nur Kreuzmultiplikationen durchführen - der Zähler des neuen Bruchs ist die Nummer des Zählers der beiden alten Brüche sowie der Nenner.

In unserem Beispiel multiplizieren wir 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 und 15 × 29 = 435. Der neue einfache Bruch ist also 770/435.

Schritt 4. Vereinfachen Sie den neuen Bruch, indem Sie den größten gemeinsamen Faktor finden

Wir haben bereits einen einfachen Bruch, also müssen wir uns nur die einfachste Zahl ausdenken. Finden Sie den größten gemeinsamen Faktor (GCF) von Zähler und Nenner und teilen Sie beide durch diese Zahl, um sie zu vereinfachen.

Einer der gemeinsamen Faktoren von 770 und 435 ist 5. Wenn wir also Zähler und Nenner des Bruchs durch 5 teilen, erhalten wir 154/87. 154 und 87 haben keine gemeinsamen Faktoren, das ist die endgültige Antwort!

Methode 2 von 2: Komplexe Brüche mit variablen Zahlen vereinfachen

Schritt 1. Verwenden Sie nach Möglichkeit die oben beschriebene umgekehrte Multiplikationsmethode

Um es klar zu sagen, fast alle komplexen Brüche können vereinfacht werden, indem man Zähler und Nenner um einen einzigen Bruch subtrahiert und den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners multipliziert. Komplexe Brüche, die Variablen enthalten, sind ebenfalls enthalten. Je komplexer der Ausdruck von Variablen in komplexen Brüchen ist, desto schwieriger und zeitaufwendiger wird es jedoch, die umgekehrte Multiplikation zu verwenden. Für "einfache" komplexe Brüche, die Variablen enthalten, ist die inverse Multiplikation eine gute Wahl, aber komplexe Brüche mit mehreren variablen Zahlen im Zähler und Nenner können auf die unten beschriebene alternative Weise einfacher zu vereinfachen sein.

• Beispielsweise lässt sich (1/x)/(x/6) leicht durch inverse Multiplikation vereinfachen. 1/x × 6/x = 6/x². Hier müssen keine alternativen Methoden verwendet werden.
• Jedoch ist (((1)/(x+3)) + x – 10)/(x +4 +((1)/(x – 5))) durch inverse Multiplikation schwieriger zu vereinfachen. Zähler und Nenner komplexer Brüche auf einzelne Brüche zu reduzieren, umgekehrt zu multiplizieren und das Ergebnis auf die einfachsten Zahlen zu reduzieren, kann ein komplizierter Prozess sein. In diesem Fall ist die folgende alternative Methode möglicherweise einfacher.

Schritt 2. Wenn die umgekehrte Multiplikation nicht praktikabel ist, beginnen Sie damit, den LCM der Bruchzahl im komplexen Bruch zu finden

Der erste Schritt besteht darin, die LCM aller Bruchzahlen in einem komplexen Bruch zu finden - sowohl im Zähler als auch im Nenner. Wenn eine oder mehrere Bruchzahlen eine Zahl im Nenner haben, ist die LCM normalerweise die Zahl im Nenner.

Dies ist an einem Beispiel leichter zu verstehen. Versuchen wir, die oben erwähnten komplexen Brüche (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) zu vereinfachen. Die Bruchzahlen in diesem komplexen Bruch sind (1)/(x+3) und (1)/(x-5). Die LCM der beiden Brüche ist die Zahl im Nenner: (x+3)(x-5).

Schritt 3. Multiplizieren Sie den Zähler des komplexen Bruchs mit dem neu gefundenen LCM

Als nächstes müssen wir die Zahl im komplexen Bruch mit der LCM der Bruchzahl multiplizieren. Mit anderen Worten, wir multiplizieren alle komplexen Brüche mit (KPK)/(KPK). Wir können dies unabhängig tun, da (KPK)/(KPK) gleich 1 ist. Multiplizieren Sie zuerst die Zähler selbst.

• In unserem Beispiel multiplizieren wir den komplexen Bruch (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), dh ((x+ 3)(x-5))/((x+3)(x-5)). Wir müssen durch den Zähler und Nenner des komplexen Bruchs multiplizieren und jede Zahl mit (x + 3) (x-5) multiplizieren.

  • Lassen Sie uns zuerst die Zähler multiplizieren: (((1)/(x+3)) + x - 10) × (x+3)(x-5)

    • = (((x+3)(x-5)/(x+3)) + x((x+3)(x-5)) - 10((x+3)(x-5))
    • = (x-5) + (x(x.)² - 2x - 15)) - (10(x² - 2x - 15))
    • = (x-5) + (x³ - 2x² - 15x) - (10x² - 20x - 150)
    • = (x-5) + x³ - 12x² + 5x + 150
    • = x³ - 12x² +6x +145

Schritt 4. Multiplizieren Sie den Nenner des komplexen Bruchs mit der LCM wie mit dem Zähler

Fahren Sie mit der Multiplikation des komplexen Bruchs mit der gefundenen LCM fort, indem Sie zum Nenner übergehen. Alles multiplizieren, jede Zahl mit dem LCM multiplizieren.

• Der Nenner unseres komplexen Bruches, (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), ist x +4 +((1) //(x-5)). Wir multiplizieren es mit dem gefundenen LCM (x+3)(x-5).

  • (x +4 +((1)/(x - 5))) × (x+3)(x-5)
  • = x((x+3)(x-5)) + 4((x+3)(x-5)) + (1/(x-5))(x+3)(x-5).
  • = x(x² - 2x - 15) + 4(x² - 2x - 15) + ((x+3)(x-5))/(x-5)
  • = x³ - 2x² - 15x + 4x² - 8x - 60 + (x+3)
  • = x³ + 2x² - 23x - 60 + (x+3)
  • = x³ + 2x² - 22x - 57

Schritt 5. Erstellen Sie einen neuen und vereinfachten Bruch aus dem neu gefundenen Zähler und Nenner

Nach Multiplikation des Bruchs mit (KPK)/(KPK) und Vereinfachung durch Kombination der Zahlen ergibt sich ein einfacher Bruch, der keine Bruchzahl enthält. Beachten Sie, dass durch die Multiplikation der Bruchzahl im ursprünglichen komplexen Bruch mit der LCM der Nenner dieses Bruchs erschöpft ist und die variable Zahl und die ganze Zahl im Zähler und Nenner der Antwort ohne Brüche belassen werden.

Mit dem oben gefundenen Zähler und Nenner können wir einen Bruch konstruieren, der dem ursprünglichen komplexen Bruch gleicht, aber die Bruchzahl nicht enthält. Der erhaltene Zähler ist x³ - 12x² + 6x + 145 und der Nenner war x³ + 2x² - 22x - 57, also wird der neue Bruch (x³ - 12x² + 6x + 145)/(x³ + 2x² - 22x - 57)

Tipps

• Zeigen Sie jeden Arbeitsschritt. Brüche können verwirrend sein, wenn die Schritte zu schnell zählen oder versuchen, es auswendig zu machen.
• Finden Sie Beispiele für komplexe Brüche im Internet oder in Büchern. Folgen Sie jedem Schritt, bis er gemeistert werden kann.