Die binäre Division kann mit der langen Divisionsmethode gelöst werden, einer Methode, mit der Sie den Divisionsprozess selbst lernen und einfache Computerprogramme erstellen können. Darüber hinaus können komplementäre Methoden der iterativen Subtraktion Ansätze bieten, mit denen Sie möglicherweise nicht vertraut sind, obwohl sie für die Programmierung nicht häufig verwendet werden. Maschinensprachen verwenden normalerweise Näherungsalgorithmen, um effizienter zu sein, dies wird jedoch in diesem Artikel nicht beschrieben.
Schritt
Methode 1 von 2: Verwenden der langen Division
Schritt 1. Lernen Sie die Dezimal-Lang-Division erneut
Wenn Sie die lange Division im regulären dezimalen Zahlensystem (zur Basis zehn) schon lange nicht mehr verwendet haben, wiederholen Sie die Grundlagen mit der Beispielaufgabe 172 geteilt durch 4. Andernfalls überspringen Sie diesen Schritt und fahren Sie direkt mit dem nächsten Schritt fort, um ihn zu erkunden ein ähnlicher Prozess mit binären Zahlen.
- Zähler geteilt durch Nenner, und das Ergebnis ist Quotient.
- Vergleiche den Nenner mit der ersten Zahl im Zähler. Wenn der Nenner größer ist, füge dem Zähler weitere Zahlen hinzu, bis der Nenner kleiner ist. (Wenn wir zum Beispiel 172 dividiert durch 4 berechnen, vergleichen wir 4 mit 1, wir wissen, dass 4 größer als 1 ist, also fahren Sie fort, 4 mit 17 zu vergleichen.)
- Schreiben Sie die erste Ziffer des Quotienten über den letzten Zähler, der im Vergleich verwendet wird. Wenn wir 4 mit 17 vergleichen, sehen wir, dass 4 durch 17 viermal überdeckt wird, also schreiben wir 4 als erste Zahl des Quotienten über 7.
- Multipliziere und subtrahiere, um den Rest zu erhalten. Multiplizieren Sie den Quotienten mit dem Nenner, was 4 × 4 = 16 bedeutet. Schreiben Sie 16 unter 17, subtrahieren Sie dann 17 von 16, um den Rest zu erhalten, der 1 ist.
- Wiederholen Sie den Vorgang. Wir vergleichen den Nenner, der 4 ist, erneut mit der nächsten Zahl, die 1 ist. Beachten Sie, dass 4 größer als 1 ist, dann "subtrahieren" wir die nächste Zahl vom Zähler, wir fahren fort, indem wir 4 mit 12 vergleichen. Wir sehen, dass 4 durch 12 dreimal ohne Rest überdeckt ist, schreiben wir also 3 als nächste Zahl des Quotienten. Die Antwort ist 43.
Schritt 2. Bereiten Sie eine lange Divisionsaufgabe im Binärformat vor
Nehmen wir 10101 11. Schreiben Sie als Problem für die lange Division mit 10101 als Zähler und 11 als Nenner. Lassen Sie darüber Platz, um den Quotienten zu schreiben, und darunter, um Berechnungen zu schreiben.
Schritt 3. Vergleichen Sie den Nenner mit der ersten Ziffer des Zählers
Es funktioniert genauso wie die lange Division in Dezimal, aber im binären Zahlensystem ist es tatsächlich viel einfacher. In binär gibt es nur zwei Möglichkeiten, entweder kann man die Zahl nicht durch den Nenner teilen (also 0) oder der Nenner ist nur einmal enthalten (also 1):
11 > 1, also ist 11 nicht "überdeckt von" 1. Schreiben Sie die Zahl 0 als erste Zahl des Quotienten (oberhalb der ersten Ziffer des Zählers)
Schritt 4. Arbeiten Sie an der nächsten Zahl und wiederholen Sie den Vorgang, bis Sie die Zahl 1 erhalten
Nachfolgend die nächsten Schritte in unserem Beispiel:
- Leiten Sie die nächste Zahl aus dem Zähler ab. 11 > 10. Schreiben Sie 0 in den Quotienten.
- Senken Sie die nächste Zahl. 11 < 101. Schreiben Sie die Zahl 1 in den Quotienten.
Schritt 5. Finden Sie den Rest der Division
Wie bei langen Divisionsdezimalzahlen multiplizieren Sie die gerade erhaltene Zahl (1) mit dem Nenner (11) und schreiben Sie dann das Ergebnis parallel zu der gerade berechneten Zahl unter den Zähler. Im binären Zahlensystem können wir diesen Vorgang zusammenfassen, denn 1 x Nenner ist immer gleich Nenner:
- Schreibe den Nenner unter den Zähler. Schreiben Sie hier 11 parallel zu den ersten drei Ziffern des Zählers (101).
- Zählen Sie 101 - 11, um den Rest der Division zu erhalten, der 10 ist. Sehen Sie sich an, wie Sie Binärzahlen subtrahieren, wenn Sie neu lernen müssen.
Schritt 6. Wiederholen Sie den Vorgang, bis das Problem behoben ist
Verringere die nächste Zahl vom Nenner zum Rest der Division, um 100 zu erhalten. Da 11 < 100, schreibe 1 als nächste Zahl in die Division. Fahren Sie mit der Berechnung wie zuvor fort:
- Schreibe 11 unter 100 und subtrahiere dann, um 1 zu erhalten.
- Verringern Sie die letzte Ziffer des Zählers auf 11.
- 11 = 11, also schreibe 1 als letzte Ziffer des Quotienten (Antwort).
- Da kein Rest vorhanden ist, ist die Berechnung abgeschlossen. Die Antwort ist 00111, oder nur 111.
Schritt 7. Fügen Sie bei Bedarf Radixpunkte hinzu
Manchmal ist das Ergebnis einer Berechnung keine ganze Zahl. Wenn Sie nach der letzten Ziffer noch eine Division übrig haben, fügen Sie „.0“zum Zähler und „.“hinzu. zum Quotienten, damit Sie noch eine Zahl ableiten und die Berechnung fortsetzen können. Wiederholen Sie dies, bis Sie die gewünschte Genauigkeit erreicht haben, und runden Sie dann das Ergebnis. Auf dem Papier können Sie abrunden, indem Sie die letzte 0 entfernen, oder wenn die letzte eine 1 ist, diese verwerfen und die neueste letzte Zahl zu 1 hinzufügen. Befolgen Sie beim Programmieren einen von mehreren Standardrundungsalgorithmen, um Fehler beim Konvertieren von Binärzahlen zu vermeiden in dezimal und umgekehrt.
- Die binäre Division führt oft zu wiederholten Bruchteilen, häufiger als derselbe Vorgang im Dezimalsystem.
- Dies wird häufiger als "Radixpunkt" bezeichnet, der für jede Basis gilt, da der Begriff "Dezimalpunkt" nur im Dezimalsystem gilt.
Methode 2 von 2: Verwenden der komplementären Methode
Schritt 1. Verstehen Sie das Grundkonzept
Eine Möglichkeit, das Divisionsproblem – auf jeder Basis – zu lösen, besteht darin, den Nenner vom Zähler und dann den Rest abzuziehen und zu zählen, wie oft dieser Vorgang wiederholt werden kann, bevor eine negative Zahl erhalten wird. Das folgende Beispiel ist eine Berechnung zur Basis zehn, die 26 7 berechnet:
- 26 - 7 = 19 (einmal subtrahieren)
- 19 - 7 = 12 (2)
- 12 - 7 = 5 (3)
- 5 - 7 = -2. Negative Zahlen, also treten Sie einen Schritt zurück. Das Ergebnis ist 3 und der Rest wird durch 5 geteilt. Beachten Sie, dass diese Methode den Bruchteil der Antwort nicht berechnet.
Schritt 2. Lernen Sie, wie man mit Komplementen subtrahiert
Während Sie die obige Methode problemlos in einem Binärsystem verwenden können, können wir auch die Verwendung einer effizienteren Methode reduzieren, was bei der Programmierung des Computers für die binäre Division Zeit spart. Dies ist eine binäre Subtraktion mit der Komplementmethode. Hier sind die Grundlagen zur Berechnung von 111 - 011 (achten Sie darauf, dass die beiden Zahlen gleich lang sind):
- Finden Sie das Einerkomplement für die zweite Zahl, indem Sie jede Ziffer von 1 subtrahieren. Dieser Schritt ist im Binärsystem einfach, indem Sie jede 1 in 0 und jede 0 in 1 ändern. In diesem Beispiel 011 in 100.
- Addiere 1 zum Ergebnis der Rechnung: 100 + 1 = 101. Diese Zahl heißt Zweierkomplement, daher kann die Subtraktion als Addition gelöst werden. Im Wesentlichen ist das Ergebnis dieser Berechnung so, als würden wir negative Zahlen addieren und positive Zahlen nicht subtrahieren, nachdem dieser Vorgang abgeschlossen ist.
- Addiere das Ergebnis zur ersten Zahl. Schreiben und lösen Sie die Additionsaufgabe: 111 + 101 = 1100.
- Entfernen Sie weitere Nummern. Entfernen Sie die erste Zahl aus dem Berechnungsergebnis, um das Endergebnis zu erhalten. 1100 → 100.
Schritt 3. Kombinieren Sie die beiden oben beschriebenen Konzepte
Jetzt kennen Sie die Subtraktionsmethode zur Lösung von Divisionsproblemen sowie die Zweierkomplement-Methode zur Lösung von Subtraktionsproblemen. Mit den folgenden Schritten können Sie die beiden zu einer Methode kombinieren, um das Divisionsproblem zu lösen. Wenn Sie möchten, versuchen Sie es selbst zu lösen, bevor Sie fortfahren.
Schritt 4. Subtrahiere den Nenner vom Zähler und addiere das Zweierkomplement
Lassen Sie uns das Problem 100011 000101 bearbeiten. Der erste Schritt besteht darin, 100011 - 000101 zu lösen, indem Sie die Zweierkomplement-Methode verwenden, um diese Berechnung in eine Summe umzuwandeln:
- Zweierkomplement von 000101 = 111010 + 1 = 111011
- 100011 + 111011 = 1011110
- Überzählige Nummern entfernen → 011110
Schritt 5. Addiere 1 zum Ergebnis der Division
In einem Computerprogramm addieren Sie hier 1 zum Quotienten. Machen Sie sich auf dem Papier Notizen in den Ecken, damit sie nicht mit anderen Arbeiten verwechselt werden. Wir haben es geschafft, einmal zu subtrahieren, so dass das Ergebnis der Division bisher 1 ist.
Schritt 6. Wiederholen Sie den Vorgang, indem Sie den Nenner vom Rest der Berechnung abziehen
Das Ergebnis unserer letzten Berechnung ist der Rest der Division, nachdem der Nenner einmal "überdeckt" wurde. Fügen Sie bei jeder Wiederholung das Zweierkomplement des Nenners hinzu und entfernen Sie zusätzliche Ziffern. Addiere 1 zum Quotienten bei jeder Iteration und wiederhole dies, bis der Rest der Berechnung gleich oder kleiner als der Nenner ist:
- 011110 + 111011 = 1011001 → 011001 (Quotient 1+1=10)
- 0110001 + 111011 = 1010100 → 010100 (Quotient 10+1=11)
- 010100 + 111011 = 1001111 → 001111 (11+1=100)
- 001111 + 111011 = 1001010 → 001010 (100+1=101)
- 001010 + 111011 = 10000101 → 0000101 (101+1=110)
- 0000101 + 111011 = 1000000 → 000000 (110+1=111)
- 0 ist kleiner als 101, also hören wir hier auf. Die Antwort auf diesen Teilungsprozess ist 111. Während der Rest der Division das Endergebnis des Subtraktionsprozesses ist, in diesem Fall 0 (kein Rest).
Tipps
- Anweisungen zum Erhöhen (Addieren von 1), Senken (Subtrahieren von 1) oder Entfernen vom Stapel (Pop-Stack) sollten berücksichtigt werden, bevor binäre Mathematik in einem Maschinenbefehlssatz angewendet wird.
- Die Zweierkomplement-Methode zur Subtraktion funktioniert nicht, wenn die Zahlen eine unterschiedliche Anzahl von Stellen haben. Um dies zu beheben, fügen Sie am Anfang der Zahl eine Null für eine kleinere Zahl hinzu.
- Ignorieren Sie negative Zahlen in negativen Binärzahlen vor der Berechnung, außer um festzustellen, ob die Antwort positiv oder negativ ist.
