3 Möglichkeiten, ein Trinom zu faktorisieren

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-01-15 08:12

Ein Trinom ist ein algebraischer Ausdruck, der aus drei Termen besteht. Höchstwahrscheinlich werden Sie lernen, ein quadratisches Trinom zu faktorisieren, d. h. ein Trinom in der Form ax² + bx + c. Es gibt ein paar Tricks zu lernen, die für viele verschiedene Arten von quadratischen Trinomen verwendet werden können, aber Sie werden sie mit Übung besser und schneller anwenden können. Polynome höherer Ordnung mit Termen wie x³ oder x⁴, kann nicht immer auf die gleiche Weise gelöst werden, aber Sie können es oft durch einfaches Faktorisieren oder Ersetzen in ein Problem verwandeln, das wie jede andere quadratische Formel gelöst werden kann.

Schritt

Methode 1 von 3: Faktorisieren von x² + bx + c

Schritt 1. Lernen Sie die PLDT-Multiplikation

Sie haben vielleicht gelernt, wie man PLDT oder "First, Outside, In, Last" multipliziert, um Ausdrücke wie (x+2)(x+4) zu multiplizieren. Es ist nützlich zu wissen, wie diese Multiplikation funktioniert, bevor wir faktorisieren:

• Multiplizieren Sie die Stämme Zuerst: (x+2)(x+4) = x² + _

• Multiplizieren Sie die Stämme Außen: (x+2)(x+

  Schritt 4.) = x²+ 4x + _

• Multiplizieren Sie die Stämme In: (x+

  Schritt 2.)(x+4) = x²+4x+ 2x + _

• Multiplizieren Sie die Stämme Finale: (x+

  Schritt 2.)(x

  Schritt 4.) = x²+4x+2x

  Schritt 8.

• Vereinfachen: x²+4x+2x+8 = x²+6x+8

Schritt 2. Factoring verstehen

Wenn Sie zwei Binome mit der PLDT-Methode multiplizieren, erhalten Sie ein Trinom (einen Ausdruck mit drei Termen) in der Form a x²+ b x+ c, wobei a, b und c gewöhnliche Zahlen sind. Wenn Sie mit einer Gleichung beginnen, die die gleiche Form hat, können Sie sie wieder in zwei Binome zerlegen.

• Wenn die Gleichungen nicht in dieser Reihenfolge geschrieben sind, ordnen Sie die Gleichungen neu an, damit sie diese Reihenfolge haben. Zum Beispiel umschreiben 3x - 10 + x² Wird x² + 3x - 10.
• Da die höchste Potenz 2 ist (x², dieser Ausdruckstyp wird quadratisch genannt.

Schritt 3. Lassen Sie ein Leerzeichen für die Antwort in Form der PLDT-Multiplikation

Jetzt einfach schreiben (_ _)(_ _) wo Sie die Antwort schreiben. Wir werden es füllen, während wir daran arbeiten

Schreiben Sie kein + oder – zwischen die leeren Begriffe, da wir das richtige Vorzeichen noch nicht kennen

Schritt 4. Füllen Sie die ersten Begriffe aus

Für einfache Probleme ist der erste Term Ihres Trinoms nur x², die Terme in der ersten Position sind immer x und x. Dies sind die Faktoren des Termes x² weil x mal x = x².

• Unser Beispiel x² + 3x - 10 beginnend mit x², also können wir schreiben:
• (x_)(x_)
• Im nächsten Abschnitt werden wir an komplexeren Problemen arbeiten, einschließlich Trinomen, die mit Termen wie 6x. beginnen² oder -x². Folgen Sie in der Zwischenzeit diesen Beispielfragen.

Schritt 5. Verwenden Sie die Faktorisierung, um die letzten Terme zu erraten

Wenn Sie zurückgehen und die Schritte zum Multiplizieren von PLDT lesen, werden Sie feststellen, dass die Multiplikation der letzten Terme den letzten Term im Polynom erzeugt (Terme, die kein x haben). Um zu faktorisieren, müssen wir also zwei Zahlen finden, die, wenn sie multipliziert werden, den letzten Term ergeben.

• In unserem Beispiel x² + 3x - 10, der letzte Term ist -10.
• Was sind die Faktoren von -10? Welche Zahl wird mit -10 multipliziert?
• Es gibt mehrere Möglichkeiten: -1 mal 10, 1 mal -10, -2 mal 5 oder 2 mal -5. Schreiben Sie diese Paare irgendwo auf, um sie sich zu merken.
• Ändern Sie unsere Antwort noch nicht. Unsere Antwort sollte immer noch so aussehen: (x_)(x_).

Schritt 6. Testen Sie die Möglichkeiten, die dem Outer- und Inner-Produkt entsprechen

Wir haben die Last-Begriffe auf einige wenige Möglichkeiten beschränkt. Verwenden Sie das Testsystem, um jede Möglichkeit zu testen, indem Sie die äußeren und inneren Terme multiplizieren und das Produkt mit unserem Trinom vergleichen. Zum Beispiel:

• Unser ursprüngliches Problem hatte den Begriff "x" bei 3x, daher sollten unsere Testergebnisse mit diesem Begriff übereinstimmen.
• Tests -1 und 10: (x-1)(x+10). Außen + Innen = 10x - x = 9x. Falsch.
• Tests 1 und -10: (x+1)(x-10). -10x + x = -9x. Das ist falsch. Tatsächlich werden Sie beim Testen von -1 und 10 feststellen, dass 1 und -10 das Gegenteil der obigen Antwort sind: -9x statt 9x.
• Tests -2 und 5: (x-2)(x+5). 5x - 2x = 3x. Das Ergebnis entspricht dem Anfangspolynom, also hier die richtige Antwort: (x-2)(x+5).
• In einfachen Fällen wie diesem, wenn Sie keine Konstante vor dem Term x. haben², können Sie den schnellen Weg verwenden: einfach die beiden Faktoren addieren und ein "x" dahinter setzen (-2+5 → 3x). Diese Methode funktioniert jedoch nicht bei komplexeren Problemen, daher ist es besser, sich an den oben beschriebenen "langen Weg" zu erinnern.

Methode 2 von 3: Komplexere Trinome faktorisieren

Schritt 1. Verwenden Sie einfaches Factoring, um komplexere Probleme zu vereinfachen

Zum Beispiel musst du faktorisieren 3x² + 9x - 30. Finden Sie eine Zahl, die alle drei Terme faktorisieren kann ("größter gemeinsamer Faktor" oder GCF). In diesem Fall beträgt der GCF 3:

• 3x² = (3)(x²)
• 9x = (3)(3x)
• -30 = (3)(-10)
• Somit ist 3x² + 9x - 30 = (3)(x²+3x-10). Wir können das neue Trinom mit den Schritten im obigen Abschnitt herausrechnen. Unsere endgültige Antwort wird sein (3)(x-2)(x+5).

Schritt 2. Suchen Sie nach weiteren erschwerenden Faktoren

Manchmal kann die Faktorisierung eine Variable beinhalten, oder Sie müssen möglicherweise mehrmals faktorisieren, um den einfachsten möglichen Ausdruck zu finden. Hier sind einige Beispiele:

• 2x²y + 14xy + 24y = (2 Jahre)(x² + 7x + 12)
• x⁴ + 11x³ - 26x² = (x²)(x² +11x - 26)
• -x² + 6x - 9 = (-1)(x² - 6x + 9)
• Vergessen Sie nicht, das neue Trinom mit den Schritten in Methode 1 umzugestalten. Überprüfen Sie Ihre Arbeit und suchen Sie in den Beispielfragen unten auf dieser Seite nach Beispielen für ähnliche Probleme.

Schritt 3. Lösen Sie Probleme mit einer Zahl vor x².

Einige quadratische Trinome lassen sich nicht auf den einfachsten Problemtyp reduzieren. Erfahren Sie, wie Sie Probleme wie 3x lösen können² + 10x + 8, dann üben Sie selbst mit den Beispielfragen unten auf dieser Seite:

• Setzen Sie unsere Antwort wie folgt: (_ _)(_ _)
• Unsere "ersten" Terme haben jeweils ein x und ihre Multiplikation ergibt 3x². Es gibt nur eine Möglichkeit: (3x _)(x _).
• Listen Sie die Faktoren von 8 auf. Die Quoten sind 1 mal 8 oder 2 mal 4.
• Testen Sie diese Möglichkeit mit den Äußeren und Inneren Begriffen. Beachten Sie, dass die Reihenfolge der Faktoren sehr wichtig ist, da der äußere Term mit 3x statt mit x multipliziert wird. Probieren Sie alle Möglichkeiten aus, bis Sie Out+In = 10x (vom ursprünglichen Problem) erhalten:
• (3x+1)(x+8) → 24x+x = 25x Nein
• (3x+8)(x+1) → 3x+8x = 11x Nein
• (3x+2)(x+4) → 12x+2x=14x Nein
• (3x+4)(x+2) → 6x+4x=10x Jawohl. Dies ist der richtige Faktor.

Schritt 4. Verwenden Sie die Substitution für Trinome höherer Ordnung

Ihr Mathematikbuch überrascht Sie möglicherweise mit Gleichungen mit hohen Potenzen, wie z. B. x⁴, auch nachdem Sie einfaches Factoring verwendet haben, um das Problem zu vereinfachen. Versuchen Sie, eine neue Variable zu ersetzen, die daraus ein Problem macht, von dem Sie wissen, wie es zu lösen ist. Zum Beispiel:

• x⁵+13x³+36x
• =(x)(x⁴+13x²+36)
• Lassen Sie uns eine neue Variable erstellen. Sagen wir y = x² und lege hinein:
• (x)(y²+13J+36)
• =(x)(y+9)(y+4). Konvertieren Sie es nun zurück in die Anfangsvariable:
• =(x)(x²+9)(x²+4)
• = (x)(x±3)(x±2)

Methode 3 von 3: Factoring von Sonderfällen

Schritt 1. Finden Sie Primzahlen

Schauen Sie, ob die Konstante im ersten oder dritten Term des Trinoms eine Primzahl ist. Eine Primzahl ist nur durch sich selbst und 1 teilbar, daher gibt es nur ein mögliches Paar von Binomialfaktoren.

• Zum Beispiel in x² + 6x + 5, 5 ist eine Primzahl, daher muss das Binomial die Form (_ 5)(_ 1) haben.
• Im Problem von 3x²+10x+8, 3 ist eine Primzahl, daher muss das Binomial die Form (3x _)(x _) haben.
• Bei Fragen 3x²+4x+1, sowohl 3 als auch 1 sind Primzahlen, daher ist die einzig mögliche Lösung (3x+1)(x+1). (Sie sollten diese Zahl dennoch multiplizieren, um Ihre Antwort zu überprüfen, da einige Ausdrücke überhaupt nicht faktorisiert werden können – zum Beispiel 3x²+100x+1 hat keinen Faktor.)

Schritt 2. Finden Sie heraus, ob das Trinom ein perfektes Quadrat ist

Ein perfektes quadratisches Trinom kann in zwei identische Binome zerlegt werden, und der Faktor wird normalerweise geschrieben als (x+1)² und nicht (x+1)(x+1). Hier sind einige Beispiele, die in der Regel in Fragen auftauchen:

• x²+2x+1=(x+1)², und x²-2x+1=(x-1)²
• x²+4x+4=(x+2)², und x²-4x+4=(x-2)²
• x²+6x+9=(x+3)², und x²-6x+9=(x-3)²
• Perfektes quadratisches Trinom in der Form a x² + bx + c hat immer Terme a und c, die positive perfekte Quadrate sind (wie 1, 4, 9, 16 oder 25) und einen Term b (positiv oder negativ), der gleich 2(√a * √c) ist..

Schritt 3. Finden Sie heraus, ob ein Problem keine Lösung hat

Nicht alle Trinome können faktorisiert werden. Wenn Sie ein quadratisches Trinom (ax²+bx+c), verwenden Sie die quadratische Formel, um die Antwort zu finden. Wenn die einzige Antwort die Quadratwurzel einer negativen Zahl ist, gibt es keine Lösung für reelle Zahlen, dann hat das Problem keine Faktoren.

Verwenden Sie für nicht-quadratische Trinome das Eisenstein-Kriterium, das im Abschnitt Tipps beschrieben wird

Antworten und Beispielfragen

1. Antworten auf Fragen zum „komplizierten Factoring“.

   Dies sind Fragen aus dem Schritt "Kompliziertere Faktoren". Wir haben die Probleme in einfachere vereinfacht, also versuchen Sie, sie mit den Schritten in Methode 1 zu lösen, und überprüfen Sie dann Ihre Arbeit hier:

   • (2y)(x² + 7x + 12) = (x+3)(x+4)
   • (x²)(x² + 11x - 26) = (x+13)(x-2)
   • (-1)(x² - 6x + 9) = (x-3)(x-3) = (x-3)²

2. Versuchen Sie es mit komplexeren Factoring-Problemen.

   Diese Probleme haben in jedem Term denselben Faktor, der zuerst faktorisiert werden muss. Blockieren Sie die Leerzeichen nach dem Gleichheitszeichen, um die Antworten anzuzeigen, damit Sie Ihre Arbeit überprüfen können:

   • 3x³+3x²-6x = (3x)(x+2)(x-1) Blockiere die Lücke, um die Antwort zu sehen
   • -5x³ja²+30x²ja²-25 Jahre²x = (-5xy^2)(x-5)(x-1)

3. Üben Sie den Umgang mit Fragen. Diese Probleme können nicht in einfachere Gleichungen berücksichtigt werden, daher müssen Sie die Antwort in der Form (_x + _)(_x + _) mithilfe von Versuch und Irrtum finden:

   • 2x²+3x-5 = (2x+5)(x-1) Block um die Antwort zu sehen
   • 9x²+6x+1 = (3x+1)(3x+1)=(3x+1)² (Hinweis: Vielleicht möchten Sie mehr als ein Faktorpaar für 9x ausprobieren.)

   Tipps

   • Wenn Sie nicht herausfinden können, wie Sie ein quadratisches Trinom (ax²+bx+c), können Sie die quadratische Formel verwenden, um x zu finden.

   • Obwohl Sie nicht wissen müssen, wie das geht, können Sie die Eisenstein-Kriterien verwenden, um schnell zu bestimmen, ob ein Polynom nicht vereinfacht und faktorisiert werden kann. Dieses Kriterium gilt für jedes Polynom, wird jedoch am besten für Trinome verwendet. Wenn es eine Primzahl p gibt, die die letzten beiden Terme gleichmäßig teilt und die folgenden Bedingungen erfüllt, kann das Polynom nicht vereinfacht werden:

     • Konstante Terme (ohne Variablen) sind Vielfache von p, aber keine Vielfachen von p².
     • Das Präfix (zum Beispiel a in ax²+bx+c) ist kein Vielfaches von p.
     • Zum Beispiel 14x² +45x +51 kann nicht vereinfacht werden, da es eine Primzahl (3) gibt, die sowohl durch 45 als auch durch 51 teilbar ist, aber nicht durch 14 teilbar ist und 51 nicht durch 3. teilbar ist².

   Warnung

   Dies gilt zwar für quadratische Trinome, aber das faktorierbare Trinom ist nicht unbedingt das Produkt zweier Binome. Zum Beispiel x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2)(x² - 5x + 23).