Dies ist ein Artikel darüber, wie man ein Würfelpolynom faktorisiert. Wir werden untersuchen, wie Sie mithilfe von Gruppierungen faktorisieren und Faktoren aus unabhängigen Termen verwenden.
Schritt
Methode 1 von 2: Factoring durch Gruppierung
Schritt 1. Gruppieren Sie das Polynom in zwei Teile
Wenn Sie ein Polynom in zwei Hälften gruppieren, können Sie jeden Teil separat aufteilen.
Angenommen, wir verwenden ein Polynom: x3 + 3x2 - 6x - 18 = 0. Aufteilen in (x3 + 3x2) und (- 6x - 18).
Schritt 2. Finden Sie die Faktoren, die in jedem Abschnitt gleich sind
- Von (x3 + 3x2), können wir sehen, dass der gleiche Faktor x. ist2.
- Von (- 6x - 18) können wir sehen, dass der gleiche Faktor -6 ist.
Schritt 3. Nehmen Sie die gleichen Faktoren aus beiden Termen heraus
- Faktor x herausnehmen2 aus dem ersten Teil erhalten wir x2(x+3).
- Wenn wir den Faktor -6 aus dem zweiten Teil herausnehmen, erhalten wir -6(x + 3).
Schritt 4. Wenn jeder der beiden Terme den gleichen Faktor hat, können Sie die Faktoren miteinander kombinieren
Sie erhalten (x + 3)(x2 - 6).
Schritt 5. Finden Sie die Antwort, indem Sie sich die Wurzeln der Gleichung ansehen
Wenn du x hast2 Denken Sie an den Wurzeln der Gleichung daran, dass sowohl positive als auch negative Zahlen die Gleichung erfüllen.
Die Antworten sind -3, 6 und -√6
Methode 2 von 2: Factoring mit kostenlosen Bedingungen
Schritt 1. Ordne die Gleichung um in die Form aX3+bX2+cX+d.
Angenommen, wir verwenden ein Polynom: x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0.
Schritt 2. Finden Sie alle Faktoren von "d"
Die Konstante "d" ist eine Zahl, neben der keine Variablen wie "x" stehen.
Faktoren sind Zahlen, die miteinander multipliziert werden können, um eine andere Zahl zu erhalten. In diesem Fall sind die Faktoren von 10, was "d" ist: 1, 2, 5 und 10
Schritt 3. Finden Sie einen Faktor, der das Polynom gleich Null macht
Wir müssen bestimmen, welche Faktoren das Polynom gleich Null machen, wenn wir Faktoren in jedes "x" in der Gleichung einsetzen.
-
Beginnen Sie mit dem ersten Faktor, der 1 ist. Ersetzen Sie "1" für jedes "x" in der Gleichung:
(1)3 - 4(1)2 - 7(1) + 10 = 0.
- Sie erhalten: 1 - 4 - 7 + 10 = 0.
- Da 0 = 0 eine wahre Aussage ist, wissen Sie, dass x = 1 die Antwort ist.
Schritt 4. Nehmen Sie einige Einstellungen vor
Wenn x = 1 ist, können Sie die Anweisung so anordnen, dass sie etwas anders aussieht, ohne ihre Bedeutung zu ändern.
"x = 1" ist dasselbe wie "x - 1 = 0". Sie subtrahieren einfach von jeder Seite der Gleichung um "1"
Schritt 5. Nehmen Sie den Wurzelfaktor der Gleichung aus dem Rest der Gleichung
"(x - 1)" ist die Wurzel der Gleichung. Überprüfen Sie, ob Sie den Rest der Gleichung ausklammern können. Nehmen Sie die Polynome nacheinander heraus.
- Kannst du (x - 1) aus x. herausrechnen3? Nein. Aber du kannst dir ausleihen -x2 der zweiten Variablen, dann kannst du sie faktorisieren: x2(x - 1) = x3 - x2.
- Können Sie (x - 1) aus dem Rest der zweiten Variablen faktorisieren? Nein. Sie müssen sich ein wenig von der dritten Variable borgen. Sie müssen 3x von -7x ausleihen. Dies ergibt das Ergebnis -3x(x - 1) = -3x2 + 3x.
- Da Sie 3x von -7x genommen haben, wird die dritte Variable -10x und die Konstante ist 10. Können Sie das faktorisieren? Jawohl! -10(x - 1) = -10x + 10.
- Was Sie tun, ist, die Variable so einzustellen, dass Sie (x - 1) aus der gesamten Gleichung herausrechnen können. Sie ordnen die Gleichung so um: x3 - x2 - 3x2 + 3x - 10x + 10 = 0, aber die Gleichung ist immer noch gleich x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0.
Schritt 6. Setzen Sie die Substitution mit Faktoren des unabhängigen Termes fort
Sehen Sie sich die Zahl an, die Sie in Schritt 5 mit (x - 1) faktorisiert haben:
- x2(x - 1) - 3x(x - 1) - 10(x - 1) = 0. Sie können es neu anordnen, um es wieder einfacher zu faktorisieren: (x - 1)(x2 - 3x - 10) = 0.
- Hier müssen Sie nur (x2 - 3x - 10). Das Factoring-Ergebnis ist (x + 2)(x - 5).
Schritt 7. Ihre Antwort sind die faktorisierten Wurzeln der Gleichung
Sie können überprüfen, ob Ihre Antwort richtig ist, indem Sie jede Antwort einzeln in die ursprüngliche Gleichung einsetzen.
- (x - 1)(x + 2)(x - 5) = 0. Dies ergibt die Antworten 1, -2 und 5.
- Setze -2 in die Gleichung ein: (-2)3 - 4(-2)2 - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.
- Setze 5 in die Gleichung ein: (5)3 - 4(5)2 - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.
Tipps
- Es gibt kein Würfelpolynom, das nicht mit reellen Zahlen faktorisiert werden kann, da jeder Würfel immer eine reelle Wurzel hat. Ein Würfelpolynom wie x3 + x + 1, die eine irrationale reelle Wurzel hat, kann nicht in ein Polynom mit ganzzahligen oder rationalen Koeffizienten zerlegt werden. Obwohl es durch die Würfelformel faktorisiert werden kann, kann es nicht als ganzzahliges Polynom reduziert werden.
- Ein Würfelpolynom ist das Produkt von drei Polynomen hoch eins oder das Produkt eines Polynoms hoch eins und eines nicht faktorisierbaren Polynoms hoch zwei. In Situationen wie der letzteren verwenden Sie eine lange Division, nachdem Sie das erste Potenzpolynom gefunden haben, um das zweite Potenzpolynom zu erhalten.
