6 Möglichkeiten zum Faktorisieren von Polynomen zweiten Grades (quadratische Gleichungen)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-01-19 22:12

Ein Polynom enthält eine Variable (x) mit einer Potenz, bekannt als Grad, und mehrere Terme und/oder Konstanten. Ein Polynom zu faktorisieren bedeutet, die Gleichung in einfachere Gleichungen aufzuteilen, die multipliziert werden können. Diese Fertigkeit ist in Algebra 1 und höher enthalten und kann schwer zu verstehen sein, wenn Ihre mathematischen Fähigkeiten nicht auf diesem Niveau sind.

Schritt

Start

Schritt 1. Stellen Sie Ihre Gleichung auf

Das Standardformat für eine quadratische Gleichung ist:

Axt² + bx + c = 0

Beginnen Sie damit, die Terme in Ihrer Gleichung von der höchsten zur niedrigsten Potenz zu ordnen, genau wie in diesem Standardformat. Zum Beispiel:

6 + 6x² + 13x = 0

Wir ordnen diese Gleichung neu an, damit sie einfacher zu bearbeiten ist, indem wir einfach die Terme verschieben:

6x² + 13x + 6 = 0

Schritt 2. Ermitteln Sie den Formfaktor mit einer der folgenden Methoden

Das Faktorisieren des Polynoms führt zu zwei einfacheren Gleichungen, die multipliziert werden können, um das ursprüngliche Polynom zu erzeugen:

6x² + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)

In diesem Beispiel sind (2x + 3) und (3x + 2) die Faktoren der ursprünglichen Gleichung, 6x² +13x+6.

Schritt 3. Überprüfen Sie Ihre Arbeit

Multiplizieren Sie die Faktoren, die Sie haben. Dann ähnliche Begriffe kombinieren und fertig. Beginnen mit:

(2x + 3) (3x + 2)

Versuchen wir, die Terme mit PLDT zu multiplizieren (zuerst – außen – innen – zuletzt), was zu Folgendem führt:

6x² + 4x + 9x + 6

Von hier aus können wir 4x und 9x addieren, weil sie wie Begriffe sind. Wir wissen, dass unsere Faktoren richtig sind, weil wir unsere ursprüngliche Gleichung erhalten:

6x² + 13x + 6

Methode 1 von 6: Versuch und Irrtum

Wenn Sie ein ziemlich einfaches Polynom haben, können Sie die Faktoren möglicherweise selbst finden, indem Sie sie einfach ansehen. Zum Beispiel können viele Mathematiker nach dem Üben herausfinden, dass die Gleichung 4x² + 4x + 1 hat einen Faktor von (2x + 1) und (2x + 1), wenn man es oft sieht. (Dies wird bei komplizierteren Polynomen natürlich nicht einfach sein). Für dieses Beispiel verwenden wir eine weniger häufig verwendete Gleichung:

3x² + 2x - 8

Schritt 1. Schreiben Sie eine Liste der Faktoren von Term a und Term c

Verwenden des ax-Gleichungsformats² + bx + c = 0, identifiziere die Terme a und c und schreibe die Faktoren auf, die beide Terme haben. Für 3x² + 2x - 8, Bedeutung:

a = 3 und hat eine Reihe von Faktoren: 1 * 3

c = -8 und hat vier Sätze von Faktoren: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 und -1 * 8.

Schritt 2. Schreiben Sie zwei Klammern mit Leerzeichen auf

Sie füllen die Lücken, die Sie erstellt haben, mit Konstanten für jede Gleichung:

(x)(x)

Schritt 3. Füllen Sie die Lücken vor x mit den möglichen Faktorpaaren für den Wert von a aus

Für den Term a in unserem Beispiel gilt 3x², gibt es für unser Beispiel nur eine Möglichkeit:

(3x)(1x)

Schritt 4. Füllen Sie die beiden Lücken nach x mit Faktorpaaren für die Konstante aus

Angenommen, wir wählen 8 und 1. Schreiben Sie in sie:

(3x

Schritt 8.)(

Schritt 1

Schritt 5. Bestimmen Sie das Vorzeichen (Plus oder Minus) zwischen der Variablen x und der Zahl

Abhängig von den Vorzeichen in der ursprünglichen Gleichung kann es möglich sein, nach Vorzeichen für Konstanten zu suchen. Angenommen, wir nennen die beiden Konstanten h und k für unsere beiden Faktoren:

Wenn ax² + bx + c dann (x + h)(x + k)

Wenn ax² - bx - c oder ax² + bx - c dann (x - h)(x + k)

Wenn ax² - bx + c dann (x - h)(x - k)

Für unser Beispiel 3x² + 2x - 8, die Vorzeichen sind:(x - h)(x + k), was uns zwei Faktoren gibt:

(3x + 8) und (x - 1)

Schritt 6. Testen Sie Ihre Auswahl mit der First-out-in-Last-Multiplikation (PLDT)

Der erste Schnelltest besteht darin, zu sehen, ob der Mittelterm mindestens den richtigen Wert hat. Wenn nicht, haben Sie möglicherweise die falschen c-Faktoren gewählt. Testen wir unsere Antwort:

(3x + 8)(x - 1)

Durch Multiplikation erhalten wir:

3x² - 3x + 8x - 8

Vereinfachen wir diese Gleichung, indem wir die gleichen Terme (-3x) und (8x) hinzufügen, erhalten wir:

3x² - 3x + 8x - 8 = 3x² + 5x - 8

Jetzt wissen wir, dass wir die falschen Faktoren verwendet haben müssen:

3x² + 5x - 8 3x² + 2x - 8

Schritt 7. Ändern Sie bei Bedarf Ihre Auswahl

Versuchen wir in unserem Beispiel 2 und 4 statt 1 und 8:

(3x + 2)(x - 4)

Jetzt ist unser c-Term -8, aber unser Außen/Innen-Produkt (3x * -4) und (2 * x) ist -12x und 2x, was kombiniert nicht den richtigen b+2x-Term ergibt.

-12x + 2x = 10x

10x 2x

Schritt 8. Kehren Sie die Reihenfolge bei Bedarf um

Versuchen wir, 2 und 4 zu vertauschen:

(3x + 4)(x - 2)

Nun ist unser c-Term (4 * 2 = 8) richtig, aber das äußere/innere Produkt ist -6x und 4x. Wenn wir sie kombinieren:

-6x + 4x = 2x

2x -2x Wir sind ziemlich nahe an 2x, die wir suchen, aber das Schild ist falsch.

Schritt 9. Überprüfen Sie bei Bedarf Ihre Tags

Wir verwenden die gleiche Reihenfolge, tauschen aber die Gleichungen mit dem Minuszeichen aus:

(3x - 4)(x + 2)

Nun ist der Term c kein Problem, und das aktuelle äußere/innere Produkt ist (6x) und (-4x). Weil:

6x - 4x = 2x

2x = 2x Jetzt können wir positive 2x aus dem ursprünglichen Problem verwenden. Das müssen die richtigen Faktoren sein.

Methode 2 von 6: Zersetzung

Diese Methode identifiziert alle möglichen Faktoren der Terme a und c und verwendet sie, um die richtigen Faktoren zu finden. Wenn die Zahlen zu groß sind oder das Erraten zeitaufwändig erscheint, verwenden Sie diese Methode. Nehmen wir ein Beispiel:

6x² + 13x + 6

Schritt 1. Multiplizieren Sie Term a mit Term c

In diesem Beispiel ist a 6 und c ist ebenfalls 6.

6 * 6 = 36

Schritt 2. Erhalten Sie den Term b durch Faktorisieren und Testen

Wir suchen nach zwei Zahlen, die Faktoren des Produkts a * c sind, die wir identifiziert haben und die sich ebenfalls zum Term b addieren (13).

4 * 9 = 36

4 + 9 = 13

Schritt 3. Ersetzen Sie die beiden Zahlen, die Sie als Ergebnis der Addition von Term b in Ihre Gleichung erhalten

Verwenden wir k und h, um die beiden Zahlen 4 und 9 darzustellen:

Axt² + kx + hx + c

6x² + 4x + 9x + 6

Schritt 4. Faktorisieren Sie das Polynom durch Gruppieren

Ordnen Sie die Gleichungen so an, dass Sie den größten gemeinsamen Faktor sowohl des ersten als auch des zweiten Termes nehmen können. Die Gruppe der Faktoren muss gleich sein. Fügen Sie den größten gemeinsamen Faktor hinzu und platzieren Sie ihn in Klammern neben der Faktorgruppe; Das Ergebnis sind Ihre beiden Faktoren:

6x² + 4x + 9x + 6

2x(3x + 2) + 3(3x + 2)

(2x + 3) (3x + 2)

Methode 3 von 6: Triple Play

Ähnlich der Zerlegungsmethode untersucht die Triple-Play-Methode die möglichen Faktoren der Multiplikation der Terme a und c und der Verwendung des Wertes von b. Versuchen Sie es mit dieser Beispielgleichung:

8x² + 10x + 2

Schritt 1. Multiplizieren Sie Term a mit Term c

Wie bei der Parsing-Methode hilft uns dies, Kandidaten für den Begriff b zu identifizieren. In diesem Beispiel ist a 8 und c ist 2.

8 * 2 = 16

Schritt 2. Finden Sie zwei Zahlen, die, wenn sie mit Zahlen multipliziert werden, diese Zahl mit einer Gesamtsumme gleich dem Term b ergeben

Dieser Schritt ist der gleiche wie beim Parsen – wir testen und verwerfen Kandidaten für die Konstante. Das Produkt der Terme a und c ist 16 und der Term c ist 10:

2 * 8 = 16

8 + 2 = 10

Schritt 3. Nehmen Sie diese beiden Zahlen und testen Sie sie, indem Sie sie in die Triple-Play-Formel einstecken

Nehmen Sie unsere beiden Zahlen aus dem vorherigen Schritt – nennen wir sie h und k – und setzen Sie sie in die Gleichung ein:

((ax + h)(ax + k))/ a

Wir bekommen:

((8x + 8)(8x + 2)) / 8

Schritt 4. Beachten Sie, ob einer der beiden Terme im Zähler durch a teilbar ist

In diesem Beispiel haben wir gesehen, ob (8x + 8) oder (8x + 2) durch 8 teilbar ist. (8x + 8) ist durch 8 teilbar, also teilen wir diesen Term durch a und lassen die anderen Faktoren allein.

(8x + 8) = 8(x + 1)

Der Begriff in Klammern ist hier das, was übrig bleibt, nachdem wir durch den Begriff a geteilt haben.

Schritt 5. Nehmen Sie den größten gemeinsamen Faktor (GCF) von einem oder beiden Termen, falls vorhanden

In diesem Beispiel hat der zweite Term einen GCF von 2, weil 8x + 2 = 2(4x + 1). Kombinieren Sie dieses Ergebnis mit dem Begriff aus dem vorherigen Schritt. Dies sind die Faktoren in Ihrer Gleichung.

2(x+1)(4x+1)

Methode 4 von 6: Differenz der Quadratwurzeln

Einige Koeffizienten in Polynomen können „Quadrate“oder das Produkt zweier Zahlen sein. Wenn Sie diese Quadrate identifizieren, können Sie mehrere Polynome schneller faktorisieren. Versuchen Sie diese Gleichung:

27x² - 12 = 0

Schritt 1. Nehmen Sie nach Möglichkeit den größten gemeinsamen Faktor heraus

In diesem Fall können wir sehen, dass 27 und 12 durch 3 teilbar sind, also erhalten wir:

27x² - 12 = 3(9x² - 4)

Schritt 2. Stellen Sie fest, ob die Koeffizienten Ihrer Gleichung Quadratzahlen sind

Um diese Methode zu verwenden, müssen Sie in der Lage sein, die Quadratwurzel beider Terme zu ziehen. (Beachten Sie, dass wir das negative Vorzeichen ignorieren – da diese Zahlen Quadrate sind, können sie das Produkt zweier positiver oder negativer Zahlen sein)

9x² = 3x * 3x und 4 = 2 * 2

Schritt 3. Verwenden Sie die Quadratwurzel, die Sie erhalten haben, und schreiben Sie die Faktoren auf

Wir nehmen die Werte von a und c aus unserem obigen Schritt - a = 9 und c = 4, dann finden Sie die Quadratwurzel - a = 3 und c = 2. Das Ergebnis ist der Koeffizient der Faktorgleichung:

27x² - 12 = 3(9x² - 4) = 3(3x + 2)(3x - 2)

Methode 5 von 6: Quadratische Formel

Wenn alles andere fehlschlägt und die Gleichung nicht ganz faktorisiert werden kann, verwenden Sie die quadratische Formel. Versuchen Sie dieses Beispiel:

x² + 4x + 1 = 0

Schritt 1. Geben Sie die erforderlichen Werte in die quadratische Formel ein:

x = -b ± (b² - 4ac)

2a

Wir erhalten die Gleichung:

x = -4 ± (4² - 4•1•1) / 2

Schritt 2. Finden Sie den Wert von x

Sie erhalten zwei Werte. Wie oben gezeigt, erhalten wir zwei Antworten:

x = -2 + (3) oder x = -2 - (3)

Schritt 3. Verwenden Sie Ihren x-Wert, um die Faktoren zu finden

Setze die x-Werte, die du hast, als Konstanten in die beiden Polynomgleichungen ein. Das Ergebnis sind Ihre Faktoren. Wenn wir unsere Antworten h und k nennen, schreiben wir die beiden Faktoren wie folgt auf:

(x-h)(x-k)

In diesem Beispiel lautet unsere endgültige Antwort:

(x - (-2 + (3))(x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3))(x + 2 + (3))

Methode 6 von 6: Verwenden des Rechners

Wenn Sie einen Taschenrechner verwenden dürfen, erleichtert ein grafischer Taschenrechner den Faktorisierungsprozess erheblich, insbesondere bei standardisierten Tests. Diese Anweisungen gelten für den TI-Grafikrechner. Wir verwenden eine Beispielgleichung:

y = x² x 2

Schritt 1. Geben Sie Ihre Gleichung in den Taschenrechner ein

Sie verwenden die Faktorisierung der Gleichung, die auf dem Bildschirm mit [Y =] geschrieben wird.

Schritt 2. Zeichnen Sie Ihre Gleichung mit Ihrem Taschenrechner

Wenn Sie Ihre Gleichung eingegeben haben, drücken Sie [GRAPH] – Sie sehen eine glatte Kurve, die Ihre Gleichung darstellt (und die Form ist eine Kurve, da wir Polynome verwenden).

Schritt 3. Suchen Sie die Stelle, an der sich die Kurve mit der x-Achse schneidet

Da Polynomgleichungen normalerweise als ax. geschrieben werden² + bx + c = 0, dieser Schnittpunkt ist der zweite Wert von x, der bewirkt, dass die Gleichung null ist:

(-1, 0), (2, 0)

x = -1, x = 2

Wenn Sie nicht erkennen können, wo sich der Graph mit der x-Achse schneidet, drücken Sie [2nd] und dann [TRACE]. Drücken Sie [2] oder wählen Sie Null. Bewegen Sie den Cursor nach links von der Kreuzung und drücken Sie [ENTER]. Bewegen Sie den Cursor rechts von der Kreuzung und drücken Sie [ENTER]. Bewegen Sie den Cursor so nah wie möglich an die Kreuzung und drücken Sie [ENTER]. Der Rechner findet den Wert von x. Tun Sie dies auch für die anderen Kreuzungen

Schritt 4. Setzen Sie den aus dem vorherigen Schritt erhaltenen x-Wert in die zwei Fakultätsgleichungen ein

Wenn wir unsere beiden x-Werte h und k nennen würden, wären die Gleichungen, die wir verwenden würden:

(x - h)(x - k) = 0

Somit sind unsere beiden Faktoren:

(x - (-1))(x - 2) = (x + 1)(x - 2)

Tipps

• Wenn Sie einen TI-84-Rechner (Grafik) haben, gibt es ein Programm namens SOLVER, das Ihre quadratischen Gleichungen löst. Dieses Programm löst Polynome jeden Grades.
• Wenn ein Term nicht geschrieben wird, ist der Koeffizient 0. Es ist hilfreich, die Gleichung in diesem Fall umzuschreiben, zum Beispiel: x² + 6 = x² +0x+6.
• Wenn Sie Ihr Polynom mit einer quadratischen Formel faktorisiert haben und die Antwort in Form von Nullstellen erhalten haben, möchten Sie möglicherweise den Wert von x in einen Bruch umwandeln, um ihn zu überprüfen.
• Wenn ein Term keinen geschriebenen Koeffizienten hat, ist der Koeffizient 1, zum Beispiel: x² = 1x².
• Nach genügend Übung werden Sie schließlich in der Lage sein, Polynome in Ihrem Kopf zu faktorisieren. Schreiben Sie immer die Anleitung auf, bis Sie dies tun können.