So faktorisieren Sie die Gruppierung (mit Bildern)

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2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-01-15 08:12

Gruppieren ist eine spezielle Technik, die verwendet wird, um polynomielle Gleichungen zu faktorisieren. Sie können es mit quadratischen Gleichungen und Polynomen verwenden, die vier Terme haben. Die beiden Methoden sind fast gleich, aber etwas unterschiedlich.

Schritt

Methode 1 von 2: Quadratische Gleichung

Schritt 1. Sehen Sie sich die Gleichung an

Wenn Sie diese Methode verwenden möchten, muss die Gleichung der Grundform folgen: ax² + bx + c

Dieses Verfahren wird normalerweise verwendet, wenn der führende Koeffizient (a-Term) eine andere Zahl als "1" ist, aber es kann auch für quadratische Gleichungen verwendet werden, bei denen a = 1 ist.
Beispiel: 2x² + 9x + 10

Schritt 2. Finden Sie das Hauptprodukt von

Multiplizieren Sie die Terme a und c. Das Produkt dieser beiden Terme wird als Hauptprodukt bezeichnet.

Beispiel: 2x² + 9x + 10
- a = 2; c = 10
- a * c = 2 * 10 = 20

Schritt 3. Trennen Sie das Produkt in seine Faktorpaare

Schreiben Sie die Faktoren Ihres Hauptprodukts auf, indem Sie sie in Paare von ganzen Zahlen aufteilen (die Paare, die benötigt werden, um das Hauptprodukt zu erhalten).

Beispiel: Die Faktoren von 20 sind: 1, 2, 4, 5, 10, 20

Geschrieben in Paaren von Faktoren: (1, 20), (2, 10), (4, 5)

Schritt 4. Finden Sie ein Paar von Faktoren mit einer Summe gleich b

Schauen Sie sich die Faktorpaare an und bestimmen Sie das Paar, das den b-Term – den Median-Term und den x-Koeffizienten – zusammen ergibt.

Wenn Ihr Hauptprodukt negativ ist, müssen Sie ein Paar von Faktoren finden, die dem Term b entsprechen, wenn sie voneinander abgezogen werden.
Beispiel: 2x² + 9x + 10
- b = 9
- 1 + 20 = 21; das ist nicht das richtige paar
- 2 + 10 = 12; das ist nicht das richtige paar
- 4 + 5 = 9; Dies ist wahrer Partner

Schritt 5. Teilen Sie die Mittelfrist in zwei Faktoren auf

Schreiben Sie den Mittelterm um, indem Sie ihn in die zuvor gesuchten Faktorpaare aufteilen. Stellen Sie sicher, dass Sie das richtige Vorzeichen eingeben (Plus oder Minus).

Beachten Sie, dass die Reihenfolge der mittleren Terme für dieses Problem nicht wichtig ist. Unabhängig von der Reihenfolge der von Ihnen geschriebenen Begriffe ist das Ergebnis das gleiche.
Beispiel: 2x² + 9x + 10 = 2x² + 5x + 4x + 10

Schritt 6. Gruppieren Sie die Stämme, um Paare zu bilden

Gruppieren Sie die ersten beiden Begriffe zu einem Paar und die zweiten beiden Begriffe zu einem Paar.

Beispiel: 2x² + 5x + 4x + 10 = (2x² + 5x) + (4x + 10)

Schritt 7. Faktorisieren Sie jedes Paar

Finden Sie die gemeinsamen Faktoren des Paares und rechnen Sie sie heraus. Schreibe die Gleichung richtig um.

Beispiel: x(2x + 5) + 2(2x + 5)

Schritt 8. Ziehen Sie die gleichen Klammern heraus

Zwischen den beiden Hälften sollten die gleichen binomialen Klammern stehen. Ziehe diese Klammern heraus und setze die anderen Terme in die anderen Klammern.

Beispiel: (2x + 5)(x + 2)

Schritt 9. Schreiben Sie Ihre Antworten auf

Jetzt haben Sie Ihre Antwort.

Beispiel: 2x² + 9x + 10 = (2x + 5)(x + 2)

Die endgültige Antwort lautet: (2x + 5)(x + 2)

Zusätzliche Beispiele

Schritt 1. Faktor:

4x² - 3x - 10

a * c = 4 * -10 = -40
Faktoren von 40: (1, 40), (2, 20), (4, 10), (5, 8)
Das richtige Faktorenpaar: (5, 8); 5 - 8 = -3
4x² - 8x + 5x - 10
(4x² - 8x) + (5x - 10)
4x(x - 2) + 5(x - 2)
(x - 2) (4x + 5)

Schritt 2. Faktor:

8x² + 2x - 3

a * c = 8 * -3 = -24
Faktor 24: (1, 24), (2, 12), (4, 6)
Das richtige Faktorenpaar: (4, 6); 6 - 4 = 2
8x² + 6x - 4x - 3
(8x² + 6x) - (4x + 3)
2x(4x + 3) - 1(4x + 3)
(4x + 3)(2x - 1)

Methode 2 von 2: Polynome mit vier Termen

Schritt 1. Sehen Sie sich die Gleichung an

Die Gleichung sollte vier separate Terme haben. Die Form der vier Stämme kann jedoch variieren.

Normalerweise verwenden Sie diese Methode, wenn Sie eine Polynomgleichung sehen, die wie folgt aussieht: ax³ + bx² + cx + d
Die Gleichung kann auch so aussehen:
- axy + by + cx + d
- Axt² + bx + cxy + dy
- Axt⁴ + bx³ + cx² + dx
- Oder fast die gleiche Variante.
Beispiel: 4x⁴ + 12x³ + 6x² + 18x

Schritt 2. Den größten gemeinsamen Faktor (GCF) herausrechnen

Stellen Sie fest, ob die vier Begriffe etwas gemeinsam haben. Der größte gemeinsame Faktor der vier Terme, wenn einer der Faktoren gemeinsam ist, muss aus der Gleichung herausgerechnet werden.

Wenn die einzige Gemeinsamkeit der vier Terme die Zahl "1" ist, dann hat dieser Term keine GCF und in diesem Schritt kann nichts herausgerechnet werden.
Wenn Sie den GCF herausrechnen, stellen Sie sicher, dass Sie den GCF während Ihrer Arbeit weiterhin an den Anfang Ihrer Gleichung schreiben. Dieser ausfaktorisierte GCF muss in Ihre endgültige Antwort aufgenommen werden, damit Ihre Antwort korrekt ist.
Beispiel: 4x⁴ + 12x³ + 6x² + 18x
- Jeder Term ist gleich 2x, also kann dieses Problem wie folgt umgeschrieben werden:
- 2x(2x³ + 6x² +3x+9)

Schritt 3. Bilden Sie kleinere Gruppen in dem Problem

Gruppieren Sie die ersten beiden Terme und die zweiten beiden Terme.

Wenn dem ersten Term der zweiten Gruppe ein Minuszeichen vorangestellt ist, müssen Sie das Minuszeichen vor die zweite Klammer setzen. Sie müssen das Vorzeichen des zweiten Termes in der zweiten Gruppe ändern, damit er damit übereinstimmt.
Beispiel: 2x(2x³ + 6x² + 3x + 9) = 2x[(2x³ + 6x²) + (3x + 9)]

Schritt 4. Ziehen Sie den GCF aus jedem Binomial heraus

Identifizieren Sie den GCF in jedem Binomialpaar und faktorisieren Sie den GCF, dass er außerhalb des Paares liegt. Schreiben Sie diese Gleichung richtig um.

In diesem Schritt stehen Sie möglicherweise vor der Wahl, positive oder negative Zahlen für die zweite Gruppe herauszurechnen. Schauen Sie sich die Zeichen vor dem zweiten und vierten Term an.
- Wenn beide Vorzeichen gleich sind (beide positiv oder beide negativ), ziehe eine positive Zahl heraus.
- Wenn die beiden Vorzeichen unterschiedlich sind (ein negatives und ein positives), rechnen Sie eine negative Zahl aus.
Beispiel: 2x[(2x³ + 6x²) + (3x + 9)] = 2x²[2x²(x + 3) + 3 (x + 3)]

Schritt 5. Das gleiche Binomial herausrechnen

Die Binomialpaare in beiden Klammern müssen gleich sein. Ziehe dieses Paar aus der Gleichung heraus und gruppiere dann die verbleibenden Terme in andere Klammern.

Wenn die Binomiale in Klammern nicht übereinstimmen, überprüfen Sie Ihre Arbeit noch einmal oder versuchen Sie, Ihre Terme neu anzuordnen und die Gleichung neu zu gruppieren.
Alle Klammern müssen gleich sein. Wenn sie nicht identisch sind, wird das Problem nicht durch Gruppieren oder andere Methoden berücksichtigt, selbst wenn Sie eine Methode ausprobieren.
Beispiel: 2x²[2x²(x + 3) + 3(x + 3)] = 2x²[(x + 3)(2x² + 3)]

Schritt 6. Schreiben Sie Ihre Antworten auf

In diesem Schritt erhalten Sie Ihre Antwort.

Beispiel: 4x⁴ + 12x³ + 6x² + 18x = 2x²(x + 3)(2x² + 3)

Die endgültige Antwort lautet: 2x²(x + 3)(2x² + 3)