3 Möglichkeiten, algebraische Gleichungen zu faktorisieren

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-01-15 08:12

In Mathematik, Factoring ist eine Möglichkeit, Zahlen oder Ausdrücke zu finden, die, wenn sie multipliziert werden, eine gegebene Zahl oder Gleichung ergeben. Faktorisieren ist eine nützliche Fähigkeit, um einfache algebraische Probleme zu lösen. die Fähigkeit, gut zu faktorisieren, wird beim Umgang mit quadratischen Gleichungen und anderen Formen von Polynomen wichtig. Die Faktorisierung kann verwendet werden, um algebraische Ausdrücke zu vereinfachen, um ihre Lösungen zu vereinfachen. Factoring kann Ihnen sogar die Möglichkeit geben, bestimmte mögliche Antworten viel schneller zu eliminieren, als sie manuell zu lösen.

Schritt

Methode 1 von 3: Faktorisieren von Zahlen und einfachen algebraischen Ausdrücken

Schritt 1. Verstehen Sie die Definition von Factoring, wenn es auf einzelne Zahlen angewendet wird

Faktorisieren ist ein einfaches Konzept, kann aber in der Praxis bei komplexen Gleichungen eine Herausforderung darstellen. Daher ist es am einfachsten, sich dem Konzept der Faktorisierung zu nähern, indem Sie mit einfachen Zahlen beginnen, dann zu einfachen Gleichungen übergehen, bevor Sie schließlich zu komplexeren Anwendungen übergehen. Faktoren einer Zahl sind Zahlen, die multipliziert die Zahl ergeben. Die Faktoren von 12 sind beispielsweise 1, 12, 2, 6, 3 und 4, da 1 × 12, 2 × 6 und 3 × 4 gleich 12 sind.

• Man kann es sich auch so vorstellen, dass die Faktoren einer Zahl Zahlen sind, die sich gleichmäßig in die Zahl teilen können.

• Können Sie alle Faktoren der Zahl 60 finden? Wir verwenden die Zahl 60 für verschiedene Zwecke (Minuten in einer Stunde, Sekunden in einer Minute usw.), da sie durch viele andere Zahlen teilbar ist.

  Die Faktoren von 60 sind 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60

Schritt 2. Verstehen Sie, dass auch variable Ausdrücke faktorisiert werden können

So wie Zahlen selbst faktorisiert werden können, können auch Variablen mit Zahlenkoeffizienten faktorisiert werden. Finden Sie dazu einfach die Faktoren der variablen Koeffizienten. Zu wissen, wie man eine Variable faktorisiert, ist sehr nützlich, um algebraische Gleichungen zu vereinfachen, die diese Variable beinhalten.

• Beispielsweise kann die Variable 12x als Produkt der Faktoren 12 und x geschrieben werden. Wir können 12x als 3(4x), 2(6x) usw. schreiben, wobei wir die Faktoren von 12 verwenden, die für unsere Zwecke am besten geeignet sind.

  Wir können sogar mehrmals 12x faktorisieren. Mit anderen Worten, wir müssen nicht bei 3(4x) oder 2(6x) aufhören – wir können 4x und 6x faktorisieren, um 3(2(2x) und 2(3(2x) zu erhalten. Natürlich sind diese beiden Ausdrücke sind gleichwertig

Schritt 3. Wenden Sie die Verteilungseigenschaft der Multiplikation auf algebraische Faktorgleichungen an

Wenn Sie wissen, wie Sie sowohl einzelne Zahlen als auch Variablen mit Koeffizienten faktorisieren, können Sie einfache algebraische Gleichungen vereinfachen, indem Sie die Faktoren ermitteln, die Zahlen und Variablen in algebraischen Gleichungen gemeinsam haben. Um eine Gleichung zu vereinfachen, versuchen wir normalerweise, den größten gemeinsamen Faktor zu finden. Dieser Vereinfachungsprozess ist wegen der Verteilungseigenschaft der Multiplikation möglich, die für jede Zahl a, b und c gilt. a(b + c) = ab + ac.

• Versuchen wir es mit einer Beispielfrage. Um die algebraische Gleichung 12x + 6 zu faktorisieren, versuchen wir zunächst, den größten gemeinsamen Faktor von 12x und 6 zu finden. 6 ist die größte Zahl, die 12x und 6 gleichmäßig teilen kann, also können wir die Gleichung auf 6(2x + 1) vereinfachen..
• Dieser Vorgang gilt auch für Gleichungen mit negativen Zahlen und Brüchen. Zum Beispiel kann x/2 + 4 auf 1/2 (x + 8) vereinfacht werden und -7x + -21 kann auf -7(x + 3) faktorisiert werden.

Methode 2 von 3: Quadratische Gleichungen faktorisieren

Schritt 1. Stellen Sie sicher, dass die Gleichung quadratisch ist (ax² + bx + c = 0).

Quadratische Gleichungen haben die Form ax² + bx + c = 0, wobei a, b und c Zahlenkonstanten und ungleich 0 sind (beachten Sie, dass a gleich 1 oder -1 sein kann). Wenn Sie eine Gleichung mit einer Variablen (x) mit einem Term x hoch zwei oder mehr haben, verschieben Sie diese Terme normalerweise mit einfachen algebraischen Operationen in der Gleichung, um 0 auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens und ax. zu erhalten², etc. auf der anderen Seite.

• Stellen wir uns zum Beispiel eine algebraische Gleichung vor. 5x² + 7x - 9 = 4x² + x - 18 kann zu x. vereinfacht werden² + 6x + 9 = 0, das ist die Quadratform.
• Gleichungen mit der größeren Potenz von x, z. B. x³, x⁴, etc. sind keine quadratischen Gleichungen. Diese Gleichungen sind kubische Gleichungen hoch vier usw., es sei denn, die Gleichung kann vereinfacht werden, um diese x-Terme mit Potenzen größer als 2 zu entfernen.

Schritt 2. In einer quadratischen Gleichung mit a = 1 faktoriere (x+d)(x+e), wobei d × e = c und d + e = b ist

Wenn Ihre quadratische Gleichung die Form x. hat² + bx + c = 0 (mit anderen Worten, wenn der Koeffizient des Termes x² = 1), ist es möglich (aber nicht garantiert), dass eine ziemlich einfache Kurzschriftmethode verwendet werden kann, um die Gleichung zu faktorisieren. Finden Sie zwei Zahlen, die multipliziert c. ergeben und addiert zu b. Nachdem Sie nach diesen beiden Zahlen d und e gesucht haben, setzen Sie sie in den folgenden Ausdruck ein: (x+d)(x+e). Diese beiden Terme ergeben, wenn sie multipliziert werden, Ihre quadratische Gleichung – mit anderen Worten, sie sind die Faktoren Ihrer quadratischen Gleichung.

• Denken wir zum Beispiel an die quadratische Gleichung x² + 5x + 6 = 0,3 und 2 werden zu 6 multipliziert und zu 5 addiert, sodass wir diese Gleichung zu (x + 3) (x + 2) vereinfachen können.

• Der kleine Unterschied in dieser grundlegenden Kurzschriftmethode liegt in den Unterschieden in den Ähnlichkeiten selbst:

  • Hat die quadratische Gleichung die Form x²-bx+c, Ihre Antwort ist in dieser Form: (x - _)(x - _).
  • Hat die Gleichung die Form x²+bx+c, deine Antwort sieht so aus: (x + _)(x + _).
  • Hat die Gleichung die Form x²-bx-c, Ihre Antwort hat die Form (x + _)(x - _).
• Hinweis: Die Zahlen in den Leerzeichen können Brüche oder Dezimalzahlen sein. Zum Beispiel die Gleichung x² + (21/2)x + 5 = 0 wird in (x + 10)(x + 1/2) eingerechnet.

Schritt 3. Berücksichtigen Sie, wenn möglich, Kontrollen

Ob Sie es glauben oder nicht, für unkomplizierte quadratische Gleichungen besteht eine der zulässigen Faktorisierungsmethoden darin, das Problem zu untersuchen und dann die möglichen Antworten zu prüfen, bis Sie die richtige Antwort gefunden haben. Diese Methode wird auch als Factoring durch Prüfung bezeichnet. Hat die Gleichung die Form ax²+bx+c und a>1, Ihre Faktorantwort hat die Form (dx +/- _)(ex +/- _), wobei d und e Konstanten von Zahlen ungleich Null sind, die bei Multiplikation a ergeben. Weder d noch e (oder beide) können 1 sein, müssen es aber nicht. Wenn beide 1 sind, verwenden Sie im Grunde die oben beschriebene Kurzschriftmethode.

Denken wir an ein Beispielproblem. 3x² - 8x + 4 sieht auf den ersten Blick schwierig aus. Sobald wir jedoch erkennen, dass 3 nur zwei Faktoren (3 und 1) hat, wird diese Gleichung einfacher, da wir wissen, dass unsere Antwort die Form (3x +/- _)(x +/- _) haben muss. In diesem Fall ergibt das Addieren von -2 zu beiden Leerzeichen die richtige Antwort. -2 × 3x = -6x und -2 × x = -2x. -6x und -2x addieren sich zu -8x. -2 × -2 = 4, so dass wir sehen können, dass die Terme in Klammern multipliziert die ursprüngliche Gleichung ergeben.

Schritt 4. Lösen Sie, indem Sie das Quadrat vervollständigen

In einigen Fällen können quadratische Gleichungen schnell und einfach mit speziellen algebraischen Identitäten faktorisiert werden. Jede quadratische Gleichung in der Form x² + 2xh + h² = (x + h)². Wenn also in Ihrer Gleichung Ihr b-Wert das Doppelte der Quadratwurzel Ihres c-Werts ist, kann Ihre Gleichung zu (x + (root(c))) faktorisiert werden.².

Zum Beispiel die Gleichung x² +6x+9 hat diese Form. 3² ist 9 und 3 × 2 ist 6. Wir wissen also, dass die Faktorform dieser Gleichung (x + 3) (x + 3) oder (x + 3) ist².

Schritt 5. Verwenden Sie Faktoren, um quadratische Gleichungen zu lösen

Unabhängig davon, wie Sie Ihre quadratische Gleichung faktorisiert haben, können Sie nach dem Faktorisieren der Gleichung mögliche Antworten auf den Wert von x finden, indem Sie jeden Faktor gleich Null setzen und sie lösen. Da Sie nach dem Wert von x suchen, der Ihre Gleichung gleich Null macht, ist der Wert von x, der jeden Faktor gleich Null macht, eine mögliche Antwort auf Ihre quadratische Gleichung.

Gehen wir zurück zu Gleichung x² + 5x + 6 = 0. Diese Gleichung wird in (x + 3)(x + 2) = 0 eingerechnet. Wenn einer der Faktoren gleich 0 ist, sind alle Gleichungen gleich 0, also sind unsere möglichen Antworten für x Zahlen – eine Zahl, die (x + 3) und (x + 2) sind gleich 0. Diese Zahlen sind -3 bzw. -2.

Schritt 6. Überprüfen Sie Ihre Antworten – einige der Antworten können irreführend sein

Wenn Sie mögliche Antworten für x finden, setzen Sie sie wieder in Ihre ursprüngliche Gleichung ein, um zu sehen, ob die Antwort richtig ist. Manchmal machen die Antworten, die Sie finden, die ursprüngliche Gleichung bei der erneuten Eingabe nicht gleich Null. Wir nennen diese Antwort abweichend und ignorieren sie.

• Setzen wir -2 und -3 in x² + 5x + 6 = 0. Zuerst -2:

  • (-2)² + 5(-2) + 6 = 0
  • 4 + -10 + 6 = 0
  • 0 = 0. Diese Antwort ist richtig, also ist -2 die richtige Antwort.

• Versuchen wir es nun mit -3:

  • (-3)² + 5(-3) + 6 = 0
  • 9 + -15 + 6 = 0
  • 0 = 0. Diese Antwort ist auch richtig, also ist -3 die richtige Antwort.

Methode 3 von 3: Faktorisieren anderer Gleichungen

Schritt 1. Wenn die Gleichung in der Form a. ausgedrückt wird²-B², Faktor in (a+b)(a-b).

Gleichungen mit zwei Variablen haben andere Faktoren als die quadratische Grundgleichung. Für Gleichung a²-B² alles, wo a und b ungleich 0 sind, sind die Faktoren der Gleichung (a+b)(a-b).

Zum Beispiel die Gleichung 9x² - 4 Jahre² = (3x + 2y)(3x - 2y).

Schritt 2. Wenn die Gleichung in der Form a. ausgedrückt wird²+2ab+b², Faktor in (a+b)².

Beachten Sie, dass, wenn das Trinom die Form a. hat²-2ab+b², die Formfaktoren sind etwas anders: (a-b)².

4x. Gleichung² + 8xy + 4y² kann als 4x. umgeschrieben werden² + (2 × 2 × 2)xy + 4y². Jetzt können wir sehen, dass die Form korrekt ist, also können wir sicher sein, dass die Faktoren unserer Gleichung (2x + 2y)²

Schritt 3. Wenn die Gleichung in der Form a. ausgedrückt wird³-B³, Faktor in (a-b)(a²+ab+b²).

Schließlich wurde bereits erwähnt, dass kubische Gleichungen und sogar höhere Potenzen faktorisiert werden können, obwohl der Faktorisierungsprozess schnell sehr kompliziert wird.

Zum Beispiel 8x³ - 27 Jahre³ berücksichtigt (2x - 3y)(4x² + ((2x)(3y)) + 9y²)

Tipps

• ein²-B² kann faktorisiert werden, a²+b² kann nicht faktorisiert werden.
• Denken Sie daran, wie man eine Konstante faktorisiert. Dies könnte helfen.
• Seien Sie beim Factoring-Prozess vorsichtig mit Brüchen und arbeiten Sie korrekt und sorgfältig mit Brüchen.
• Wenn Sie ein Trinom der Form x. haben²+bx+ (b/2)², der Formfaktor ist (x+(b/2))². (Diese Situation kann beim Vervollständigen des Quadrats auftreten.)
• Denken Sie daran, dass a0=0 (die Eigenschaft des Produkts von Null).