Die Asymptote eines Polynoms ist jede gerade Linie, die sich einem Graphen nähert, ihn aber nie berührt. Die Asymptote kann vertikal oder horizontal sein oder eine schräge Asymptote – eine Asymptote mit einer Kurve. Die schiefe Asymptote eines Polynoms wird gefunden, wenn der Grad des Zählers höher ist als der Grad des Nenners.
Schritt
Schritt 1. Überprüfen Sie Zähler und Nenner Ihres Polynoms
Stellen Sie sicher, dass der Grad des Zählers (also der höchste Exponent im Zähler) größer ist als der Grad des Nenners. Ist sie größer, liegt eine schräge Asymptote vor und die Asymptote kann gesucht werden.
Betrachten Sie zum Beispiel das Polynom x ^2 + 5 x + 2 / x + 3. Der Grad des Zählers ist größer als der Grad des Nenners, da der Zähler die Potenz von 2 (x ^2) hat, während der Nenner nur hat die Macht von 1.. Der Graph dieses Polynoms ist in Abb
Schritt 2. Schreiben Sie eine lange Divisionsaufgabe
Setzen Sie den Zähler (der teilt) in das Teilungsfeld und den Nenner (der teilt) außerhalb.
Stellen Sie für das obige Beispiel ein langes Divisionsproblem mit x ^2 + 5 x + 2 als Teilungsausdruck und x + 3 als Teilerausdruck auf
Schritt 3. Finden Sie den ersten Faktor
Finden Sie einen Faktor, der, wenn er mit dem Term mit der höchsten Ordnung im Nenner multipliziert wird, denselben Term wie den Term mit der höchsten Ordnung im geteilten Ausdruck ergibt. Schreiben Sie den Faktor über das Divisionskästchen.
Im obigen Beispiel suchen Sie nach einem Faktor, der, wenn er mit x multipliziert wird, denselben Term wie der höchste Grad x ^2 ergibt. In diesem Fall ist der Faktor x. Schreiben Sie x über das Teilungsfeld
Schritt 4. Bestimmen Sie das Produkt des Faktors durch alle Teilerausdrücke
Multiplizieren Sie, um Ihr Produkt zu erhalten, und schreiben Sie das Ergebnis unter den geteilten Ausdruck.
Im obigen Beispiel ist das Produkt von x und x + 3 x ^2 + 3 x. Schreiben Sie das Ergebnis wie gezeigt unter den geteilten Ausdruck
Schritt 5. Subtrahieren
Nehmen Sie den unteren Ausdruck unter dem Divisionskästchen und subtrahieren Sie ihn vom oberen Ausdruck. Zeichnen Sie eine Linie und schreiben Sie Ihr Subtraktionsergebnis darunter.
Ziehen Sie im obigen Beispiel x ^2 + 3 x von x ^2 + 5 x + 2 ab. Zeichnen Sie eine Linie und schreiben Sie das Ergebnis 2 x + 2 wie gezeigt unter die Linie
Schritt 6. Fahren Sie mit dem Teilen fort
Wiederholen Sie diese Schritte und verwenden Sie das Ergebnis Ihres Subtraktionsproblems als geteilten Ausdruck.
Beachten Sie im obigen Beispiel, dass Sie, wenn Sie 2 mit dem höchsten Term im Divisor (x) multiplizieren, den Term mit dem höchsten Ordnungsgrad im geteilten Ausdruck erhalten, der jetzt 2 x + 2 ist. Schreiben Sie 2 über Divisionsbox, indem Sie es zuerst zum Faktor addieren, machen Sie es zu x + 2. Schreiben Sie das Produkt des Faktors und seines Divisors unter den geteilten Ausdruck und subtrahieren Sie es dann erneut, wie gezeigt
Schritt 7. Stoppen Sie, wenn Sie die Gleichung der Linie erhalten
Sie müssen nicht lange bis zum Ende dividieren. Fahren Sie einfach fort, bis Sie die Geradengleichung in der Form ax + b erhalten, wobei a und b eine beliebige Zahl sind.
Im obigen Beispiel können Sie jetzt aufhören. Die Gleichung deiner Linie ist x + 2
Schritt 8. Zeichnen Sie eine Linie entlang des Polynomgraphen
Zeichnen Sie Ihr Liniendiagramm, um sicherzustellen, dass die Linie wirklich eine Asymptote ist.
Im obigen Beispiel müssten Sie den Graphen von x + 2 zeichnen, um zu sehen, ob sich die Linie entlang des Graphen Ihres Polynoms erstreckt, ihn jedoch nie berührt, wie unten gezeigt. Also ist x + 2 wirklich eine schiefe Asymptote Ihres Polynoms
Tipps
- Die Längen Ihrer x-Achse sollten nahe beieinander liegen, damit Sie deutlich sehen können, dass die Asymptoten Ihr Polynom nicht berühren.
- Im Maschinenbau sind Asymptoten sehr hilfreich, da Asymptoten leicht zu analysierende Schätzungen des linearen Verhaltens für nichtlineares Verhalten bilden.
