3 Möglichkeiten, kubische Gleichungen zu lösen

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-01-16 19:19

Wenn Sie zum ersten Mal die kubische Gleichung (die die Form ax. hat) finden ³ + bx ² + cx + d = 0), denken Sie vielleicht, dass das Problem schwer zu lösen sein wird. Aber wissen Sie, dass das Lösen kubischer Gleichungen schon seit Jahrhunderten existiert! Diese Lösung, die im 16. Jahrhundert von den italienischen Mathematikern Niccolò Tartaglia und Gerolamo Cardano entdeckt wurde, ist eine der ersten im antiken Griechenland und Rom bekannten Formeln. Das Lösen kubischer Gleichungen mag etwas schwierig sein, aber mit dem richtigen Ansatz (und ausreichenden Kenntnissen) können selbst die schwierigsten kubischen Gleichungen gelöst werden.

Schritt

Methode 1 von 3: Lösen mit quadratischen Gleichungen

Schritt 1. Überprüfen Sie, ob Ihre kubische Gleichung eine Konstante hat

Wie oben erwähnt, ist die Form der kubischen Gleichung ax ³ + bx ² + cx + d = 0. b, c und der Wert von d können 0 sein, ohne die Form dieser kubischen Gleichung zu beeinflussen; das bedeutet im Grunde, dass die kubische Gleichung nicht immer den Wert von bx. enthalten muss ², cx oder d eine kubische Gleichung sein. Um mit dieser relativ einfachen Lösung kubischer Gleichungen zu beginnen, überprüfen Sie, ob Ihre kubische Gleichung eine Konstante (oder einen Wert von d) hat. Wenn Ihre Gleichung keine Konstante oder keinen Wert für d hat, können Sie nach wenigen Schritten eine quadratische Gleichung verwenden, um die Antwort auf die kubische Gleichung zu finden.

Wenn Ihre Gleichung hingegen einen konstanten Wert hat, benötigen Sie eine andere Lösung. Siehe die Schritte unten für andere Ansätze

Schritt 2. Faktorisieren Sie den x-Wert aus der kubischen Gleichung

Da Ihre Gleichung keinen konstanten Wert hat, haben alle Komponenten darin die Variable x. Dies bedeutet, dass dieser Wert von x zur Vereinfachung aus der Gleichung herausgerechnet werden kann. Führen Sie diesen Schritt aus und schreiben Sie Ihre kubische Gleichung in der Form x (ax ² + bx + c).

Nehmen wir zum Beispiel an, dass die ursprüngliche kubische Gleichung hier 3 x. ist ³ + -2 x ² + 14 x = 0. Durch Faktorisieren einer Variablen x aus dieser Gleichung erhalten wir die Gleichung x (3 x ² + -2 x + 14) = 0.

Schritt 3. Verwenden Sie quadratische Gleichungen, um die Gleichungen in Klammern zu lösen

Möglicherweise stellen Sie fest, dass einige Ihrer neuen Gleichungen, die in Klammern stehen, die Form einer quadratischen Gleichung haben (ax ² + bx + c). Dies bedeutet, dass wir den Wert finden können, der erforderlich ist, um diese Gleichung gleich Null zu machen, indem wir a, b und c in die quadratische Gleichungsformel ({- b +/-√ (b ²- 4 ac)}/2 a). Führen Sie diese Berechnungen durch, um zwei Antworten auf Ihre kubische Gleichung zu finden.

• Setzen Sie in unserem Beispiel die Werte von a, b und c (3, -2 bzw. 14) wie folgt in die quadratische Gleichung ein:

  {- b +/-√ (b ²- 4 ac)}/2 a

  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)

  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6

  {2 +/-√ (4 - (168)}/6

  {2 +/-√ (-164)}/6

• Antwort 1:

  {2 + √(-164)}/6

  {2 + 12,8 i}/6

• Antwort 2:

  {2 - 12,8 i}/6

Schritt 4. Verwenden Sie Nullen und Ihre Antwort auf Ihre quadratische Gleichung als Ihre Antwort auf Ihre kubische Gleichung

Quadratische Gleichungen haben zwei Antworten, während kubische Gleichungen drei Antworten haben. Sie kennen bereits zwei von drei Antworten; die Sie aus dem "quadratischen" Teil der Gleichung in Klammern erhalten. Wenn Ihre kubische Gleichung durch "Faktorisierung" wie folgt gelöst werden kann, lautet Ihre dritte Antwort fast immer 0. Sicher! Sie haben gerade eine kubische Gleichung gelöst.

Der Grund, warum diese Methode funktioniert, ist die grundlegende Tatsache, dass "jede Zahl, die mit Null multipliziert wird, gleich Null ist". Wenn Sie Ihre Gleichung in die Form x (ax ² + bx + c) = 0, Sie teilen es im Grunde nur in zwei "Teile" auf; ein Teil ist die x-Variable auf der linken Seite und der andere Teil ist die quadratische Gleichung in Klammern. Wenn einer dieser beiden Teile null ist, dann ist auch die gesamte Gleichung null. Somit sind die beiden Antworten auf die quadratische Gleichung in Klammern, die sie zu Null machen würde, die Antworten auf die kubische Gleichung sowie 0 selbst - was den Teil auf der linken Seite ebenfalls zu Null machen würde.

Methode 2 von 3: Ganzzahlige Antworten mithilfe einer Faktorenliste finden

Schritt 1. Stellen Sie sicher, dass Ihre kubische Gleichung einen konstanten Wert hat

Obwohl die oben beschriebenen Methoden ziemlich einfach zu verwenden sind, weil Sie keine neue Berechnungstechnik erlernen müssen, um sie zu verwenden, helfen sie Ihnen nicht immer, kubische Gleichungen zu lösen. Wenn Ihre kubische Gleichung die Form ax. hat ³ + bx ² + cx + d = 0, wobei der Wert von d ungleich Null ist, funktioniert die obige "Faktorisierungsmethode" nicht, daher müssen Sie eine der Methoden in diesem Abschnitt verwenden, um dies zu lösen.

Nehmen wir zum Beispiel an, wir haben die Gleichung 2 x ³ + 9 x ² +13x = -6. Um in diesem Fall Null auf der rechten Seite der Gleichung zu erhalten, müssen wir auf beiden Seiten 6 hinzufügen. Danach erhalten wir eine neue Gleichung 2 x ³ + 9 x ² + 13 x + 6 = 0, mit einem Wert von d = 6, daher können wir die "Faktorisierungsmethode" nicht wie bei der vorherigen Methode verwenden.

Schritt 2. Finden Sie die Faktoren von a und d

Um Ihre kubische Gleichung zu lösen, finden Sie zunächst den Faktor von a (der Koeffizient von x ³) und d (der konstante Wert am Ende der Gleichung). Denken Sie daran, dass Faktoren Zahlen sind, die miteinander multipliziert werden können, um eine bestimmte Zahl zu erhalten. Da Sie beispielsweise 6 erhalten, indem Sie 6 × 1 und 2 × 3 multiplizieren, sind 1, 2, 3 und 6 Faktoren von 6.

• In dem von uns verwendeten Beispielproblem sind a = 2 und d = 6. Der Faktor 2 ist 1 und 2. Während der Faktor 6 1, 2, 3 und 6.

Schritt 3. Dividieren Sie den Faktor a durch den Faktor d

Als nächstes listen Sie die Werte auf, die Sie erhalten, indem Sie jeden Faktor von a durch jeden Faktor von d teilen. Diese Berechnung führt in der Regel zu vielen Bruchwerten und mehreren ganzen Zahlen. Der ganzzahlige Wert zum Lösen Ihrer kubischen Gleichung ist eine der ganzen Zahlen, die Sie aus der Berechnung erhalten.

Teilen Sie in unserer Gleichung den Faktorwert von a (1, 2) durch den Faktor von d (1, 2, 3, 6) und erhalten Sie die folgenden Ergebnisse: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2, und 2/3. Als nächstes fügen Sie der Liste negative Werte hinzu und wir erhalten: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 und -2/3. Die Antwort auf die kubische Gleichung – eine ganze Zahl – steht auf der Liste.

Schritt 4. Verwenden Sie die synthetische Division, um Ihre Antworten manuell zu überprüfen

Sobald Sie eine Liste von Werten wie die obige haben, können Sie die ganzzahligen Werte, die die Antworten auf Ihre kubische Gleichung sind, nachschlagen, indem Sie jede ganze Zahl manuell eingeben, und herausfinden, welcher Wert Null zurückgibt. Wenn Sie jedoch keine Zeit damit verbringen möchten, gibt es eine Möglichkeit, dies schneller zu erledigen, nämlich mit einer Berechnung namens synthetische Division. Grundsätzlich würden Sie Ihren ganzzahligen Wert durch die ursprünglichen Koeffizienten von a, b, c und d in Ihrer kubischen Gleichung teilen. Wenn der Rest null ist, ist dieser Wert eine der Antworten auf Ihre kubische Gleichung.

• Die synthetische Teilung ist ein komplexes Thema – siehe den Link unten für weitere Informationen. Hier ist ein Beispiel dafür, wie Sie eine der Antworten auf Ihre kubische Gleichung mit synthetischer Division finden:

  -1 | 2 9 13 6

  _| -2-7-6

  _| 2 7 6 0

  Da wir das Endergebnis gleich 0 erhalten, wissen wir, dass eine der ganzzahligen Antworten auf unsere kubische Gleichung - 1.

Methode 3 von 3: Verwendung des diskriminierenden Ansatzes

Schritt 1. Schreiben Sie die Gleichungen a, b, c und d auf

Um auf diese Weise die Antwort auf die kubische Gleichung zu finden, werden wir viele Berechnungen mit den Koeffizienten in unserer Gleichung durchführen. Aus diesem Grund ist es eine gute Idee, die Werte von a, b, c und d zu notieren, bevor Sie einen der Werte vergessen.

Für die Gleichung x ³ - 3 x ² + 3 x - 1, notiere es als a = 1, b = -3, c = 3 und d = -1. Vergessen Sie nicht, dass, wenn die Variable x keinen Koeffizienten hat, ihr Wert 1 ist.

Schritt 2. Berechne 0 = b ² - 3 Klimaanlagen.

Der diskriminante Ansatz zum Finden von Antworten auf kubische Gleichungen erfordert komplexe Berechnungen, aber wenn Sie die Schritte sorgfältig befolgen, kann er sehr nützlich sein, um kubische Gleichungen zu lösen, die auf andere Weise schwer zu lösen sind. Finden Sie zunächst den Wert 0, den ersten signifikanten Wert von mehreren, die wir benötigen, und setzen Sie den entsprechenden Wert in die Formel b. ein ² - 3 Klimaanlagen.

• In dem von uns verwendeten Beispiel lösen wir es wie folgt:

  B ² - 3 Wechselstrom

  (-3)² - 3(1)(3)

  9 - 3(1)(3)

  9 - 9 = 0 = 0

Schritt 3. Berechnen Sie 1= 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² D.

Der nächste signifikante Wert, den wir benötigen, 1, erfordert eine längere Berechnung, kann aber auf die gleiche Weise wie 0 gefunden werden. Setze den entsprechenden Wert in die Formel 2 ein b ³ - 9 abc + 27 a ² d um den Wert 1 zu erhalten.

• In diesem Beispiel lösen wir es wie folgt:

  2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)

  2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

  -54 + 81 - 27

  81 - 81 = 0 = 1

Schritt 4. Berechnen = 1² - 4Δ0³) -27 a ².

Als nächstes berechnen wir den "Diskriminantenwert" der Werte 0 und 1. Die Diskriminante ist eine Zahl, die Ihnen Informationen über die Wurzel des Polynoms gibt (Sie haben möglicherweise unbewusst die quadratische Diskriminanzformel auswendig gelernt: b ² - 4 Klimaanlagen). Im Fall einer kubischen Gleichung, wenn der Wert der Diskriminante positiv ist, hat die Gleichung drei reelle Zahlenantworten. Wenn der Diskriminanzwert gleich Null ist, hat die Gleichung eine oder zwei Antworten mit reellen Zahlen, und einige der Antworten haben denselben Wert. Wenn der Wert negativ ist, hat die Gleichung nur eine reelle Zahl als Antwort, da der Graph der Gleichung die x-Achse immer mindestens einmal schneidet.)

• Da in diesem Beispiel sowohl 0 als auch 1 = 0 ist, ist es sehr einfach, den Wert von zu finden. Wir müssen es nur wie folgt berechnen:

  1² - 4Δ0³) -27 a ²

  (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²

  0 - 0 ÷ 27

  0 =, also hat unsere Gleichung 1 oder 2 Antworten.

Schritt 5. Berechnen Sie C = ³(√((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2).

Der letzte Wert, der für uns wichtig ist, ist der Wert von C. Dieser Wert ermöglicht es uns, alle drei Wurzeln unserer kubischen Gleichung zu erhalten. Löse wie gewohnt und setze die Werte 1 und 0 in die Formel ein.

• In diesem Beispiel erhalten wir den Wert von C durch:

  ³(√((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2)

  ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)

  ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

  0 = C

Schritt 6. Berechnen Sie die drei Wurzeln der Gleichung mit Ihrer Variablen

Die Wurzel (Antwort) Ihrer kubischen Gleichung wird durch die Formel bestimmt (b + u C + (Δ0/u C)) / 3 a, wobei u = (-1 + (-3))/2 und n gleich 1, 2 oder 3 ist. Setzen Sie Ihre Werte in die Formel ein, um sie zu lösen - es können einige Berechnungen erforderlich sein, aber Sie sollten alle drei Antworten auf Ihre kubischen Gleichungen erhalten!

• In diesem Beispiel könnten wir es lösen, indem wir die Antworten überprüfen, wenn n gleich 1, 2 und 3 ist. Die Antwort, die wir aus dieser Berechnung erhalten, ist die mögliche Antwort auf unsere kubische Gleichung - jeder Wert, den wir in die kubische Gleichung einsetzen, und es ergibt die gleiches Ergebnis mit 0 ist die richtige Antwort. Wenn wir beispielsweise in einem unserer Berechnungsexperimente eine Antwort gleich 1 erhalten, setzen wir den Wert 1 in die Gleichung x ³ - 3 x ² + 3 x - 1 ergibt das Endergebnis gleich 0. Somit

  Schritt 1. ist eine der Antworten auf unsere kubische Gleichung.