In einem „Gleichungssystem“müssen Sie zwei oder mehr Gleichungen gleichzeitig lösen. Wenn die beiden Gleichungen zwei verschiedene Variablen haben, zum Beispiel x und y, kann die Lösung zunächst schwierig erscheinen. Zum Glück können Sie, sobald Sie wissen, was Sie tun müssen, einfach Ihre algebraischen Fähigkeiten (und die Wissenschaft der Berechnung von Brüchen) verwenden, um das Problem zu lösen. Lernen Sie auch, diese beiden Gleichungen zu zeichnen, wenn Sie ein visueller Lerner sind oder vom Lehrer gefordert werden. Zeichnungen helfen Ihnen, den Gegenstand zu identifizieren oder die Ergebnisse Ihrer Arbeit zu überprüfen. Diese Methode ist jedoch langsamer als die anderen Methoden und kann nicht für alle Gleichungssysteme verwendet werden.
Schritt
Methode 1 von 3: Verwenden der Substitutionsmethode
Schritt 1. Verschieben Sie die Variablen auf die gegenüberliegende Seite der Gleichung
Die Substitutionsmethode beginnt mit dem „Finden des Wertes von x“(oder einer anderen Variablen) in einer der Gleichungen. Angenommen, die Gleichung des Problems lautet 4x + 2y = 8 und 5x + 3y = 9. Beginnen Sie mit der Arbeit an der ersten Gleichung. Ordnen Sie die Gleichung um, indem Sie auf beiden Seiten 2y subtrahieren. So erhalten Sie 4x = 8 - 2y.
Bei dieser Methode werden am Ende oft Brüche verwendet. Wenn Sie Brüche nicht zählen möchten, versuchen Sie es mit der folgenden Eliminierungsmethode
Schritt 2. Teilen Sie beide Seiten der Gleichung, um "den Wert von x zu finden"
Sobald der Term x (oder die von Ihnen verwendete Variable) allein auf einer Seite der Gleichung steht, dividieren Sie beide Seiten der Gleichung durch die Koeffizienten, sodass nur die Variable übrig bleibt. Als Beispiel:
- 4x = 8 - 2y
- (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
- x = 2 - y
Schritt 3. Setzen Sie den x-Wert aus der ersten Gleichung in die zweite Gleichung ein
Stellen Sie sicher, dass Sie es in die zweite Gleichung einsetzen, anstatt in die, an der Sie gerade gearbeitet haben. Ersetzen (ersetzen) Sie die Variable x in der zweiten Gleichung. Somit hat die zweite Gleichung jetzt nur noch eine Variable. Als Beispiel:
- Ist bekannt x = 2 - y.
- Ihre zweite Gleichung ist 5x + 3y = 9.
- Nachdem wir die x-Variable in der zweiten Gleichung mit dem x-Wert aus der ersten Gleichung getauscht haben, erhalten wir "2 - y": 5(2 - y) + 3y = 9.
Schritt 4. Lösen Sie die verbleibenden Variablen
Nun hat Ihre Gleichung nur eine Variable. Berechnen Sie die Gleichung mit gewöhnlichen algebraischen Operationen, um den Wert der Variablen zu finden. Wenn sich die beiden Variablen gegenseitig aufheben, fahren Sie direkt mit dem letzten Schritt fort. Andernfalls erhalten Sie einen Wert für eine der Variablen:
- 5(2 - y) + 3y = 9
- 10 – (5/2)y + 3y = 9
- 10 – (5/2)y + (6/2)y = 9 (Wenn Sie diesen Schritt nicht verstehen, erfahren Sie, wie Sie Brüche hinzufügen.)
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
Schritt 5. Verwenden Sie die erhaltene Antwort, um den wahren Wert von x in der ersten Gleichung zu finden
Hören Sie noch nicht auf, weil Ihre Berechnungen noch nicht abgeschlossen sind. Sie müssen die erhaltene Antwort in die erste Gleichung einsetzen, um den Wert der verbleibenden Variablen zu ermitteln:
- Ist bekannt y = -2
- Eine der Gleichungen in der ersten Gleichung ist 4x + 2y = 8. (Sie können beide verwenden.)
- Ersetzen Sie die Variable y durch -2: 4x + 2(-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
Schritt 6. Wissen Sie, was zu tun ist, wenn sich die beiden Variablen gegenseitig aufheben
Wenn Du eintrittst x=3y+2 oder eine ähnliche Antwort auf die zweite Gleichung, was bedeutet, dass Sie versuchen, eine Gleichung zu erhalten, die nur eine Variable hat. Manchmal bekommst du nur die Gleichung ohne Variable. Überprüfen Sie Ihre Arbeit noch einmal und stellen Sie sicher, dass Sie Gleichung eins in Gleichung zwei eingefügt (umgeordnet) haben, anstatt zur ersten Gleichung zurückzukehren. Wenn Sie sicher sind, dass Sie nichts falsch gemacht haben, schreiben Sie eines der folgenden Ergebnisse:
- Wenn die Gleichung keine Variablen hat und nicht wahr ist (zum Beispiel 3 = 5), ist dieses Problem habe keine antwort. (Wenn dies grafisch dargestellt wird, sind diese beiden Gleichungen parallel und treffen sich nie.)
- Wenn die Gleichung keine Variablen hat und Richtig, (zB 3 = 3), was bedeutet, dass die Frage unbegrenzte Antworten. Gleichung eins ist genau die gleiche wie Gleichung zwei. (Bei der grafischen Darstellung sind diese beiden Gleichungen dieselbe Linie.)
Methode 2 von 3: Verwenden der Eliminationsmethode
Schritt 1. Finden Sie die sich gegenseitig ausschließenden Variablen
Manchmal ist die Gleichung im Problem bereits stornieren sich gegenseitig wenn aufsummiert. Wenn Sie zum Beispiel die Gleichung 3x + 2y = 11 und 5x - 2y = 13, heben sich die Ausdrücke "+2y" und "-2y" gegenseitig auf und entfernen die Variable "y" aus der Gleichung. Sehen Sie sich die Gleichung in der Aufgabe an und sehen Sie, ob es Variablen gibt, die sich gegenseitig aufheben, wie im Beispiel. Wenn nicht, fahren Sie mit dem nächsten Schritt fort.
Schritt 2. Multiplizieren Sie die Gleichung mit eins, sodass eine Variable entfernt wird
(Überspringen Sie diesen Schritt, wenn sich die Variablen bereits gegenseitig aufheben.) Wenn die Gleichung keine Variablen enthält, die sich selbst aufheben, ändern Sie eine der Gleichungen, damit sie sich gegenseitig aufheben können. Schauen Sie sich die folgenden Beispiele an, damit Sie sie leicht verstehen:
- Die Gleichungen im Problem sind 3x - y = 3 und - x + 2y = 4.
- Ändern wir die erste Gleichung so, dass die Variable ja heben sich gegenseitig auf. (Sie können die Variable verwenden x. Die erhaltene endgültige Antwort wird dieselbe sein.)
- Variable - ja in der ersten Gleichung muss eliminiert werden durch + 2 Jahre in der zweiten Gleichung. Wie, multiplizieren - ja mit 2.
- Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung wie folgt mit 2: 2(3x - y)=2(3), so 6x - 2y = 6. Nun, Stamm - 2 Jahre werden sich gegenseitig aufheben mit +2j in der zweiten Gleichung.
Schritt 3. Kombinieren Sie die beiden Gleichungen
Der Trick besteht darin, die rechte Seite der ersten Gleichung zur rechten Seite der zweiten Gleichung hinzuzufügen und die linke Seite der ersten Gleichung zur linken Seite der zweiten Gleichung hinzuzufügen. Wenn es richtig gemacht wird, wird sich eine der Variablen gegenseitig aufheben. Versuchen wir, die Berechnung aus dem vorherigen Beispiel fortzusetzen:
- Ihre beiden Gleichungen sind 6x - 2y = 6 und - x + 2y = 4.
- Addiere die linken Seiten der beiden Gleichungen: 6x - 2y - x + 2y = ?
- Addiere die rechten Seiten der beiden Gleichungen: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
Schritt 4. Rufen Sie den letzten Variablenwert ab
Vereinfachen Sie Ihre zusammengesetzte Gleichung und arbeiten Sie mit Standardalgebra, um den Wert der letzten Variablen zu erhalten. Wenn die Gleichung nach der Vereinfachung keine Variablen enthält, fahren Sie mit dem letzten Schritt in diesem Abschnitt fort.
Andernfalls erhalten Sie einen Wert für eine der Variablen. Als Beispiel:
- Ist bekannt 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- Gruppenvariablen x und ja zusammen: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- Vereinfachen Sie die Gleichung: 5x = 10
- Finden Sie den x-Wert: (5x)/5 = 10/5, erhalten x = 2.
Schritt 5. Suchen Sie den Wert einer anderen Variablen
Sie haben den Wert einer Variablen gefunden, aber was ist mit der anderen? Setze deine Antwort in eine der Gleichungen ein, um den Wert der verbleibenden Variablen zu ermitteln. Als Beispiel:
- Ist bekannt x = 2, und eine der Gleichungen im Problem ist 3x - y = 3.
- Ersetzen Sie die x-Variable durch 2: 3(2) - y = 3.
- Finden Sie den Wert von y in der Gleichung: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y, so 6 = 3 + y
- 3 = ja
Schritt 6. Wissen Sie, was zu tun ist, wenn sich die beiden Variablen gegenseitig aufheben
Manchmal führt die Kombination zweier Gleichungen zu einer Gleichung, die keinen Sinn ergibt oder Ihnen nicht hilft, das Problem zu lösen. Überprüfen Sie Ihre Arbeit, und wenn Sie sicher sind, dass Sie nichts falsch gemacht haben, schreiben Sie eine der folgenden beiden Antworten:
- Wenn die kombinierte Gleichung keine Variablen hat und nicht wahr ist (z. B. 2 = 7), ist dieses Problem habe keine antwort. Diese Antwort gilt für beide Gleichungen. (Wenn dies grafisch dargestellt wird, sind diese beiden Gleichungen parallel und treffen sich nie.)
- Wenn die kombinierte Gleichung keine Variablen hat und Richtig, (zB 0 = 0), was bedeutet, dass die Frage unbegrenzte Antworten. Diese beiden Gleichungen sind identisch. (Bei der grafischen Darstellung sind diese beiden Gleichungen dieselbe Linie.)
Methode 3 von 3: Zeichnen Sie einen Gleichungsgraphen
Schritt 1. Führen Sie diese Methode nur aus, wenn Sie dazu aufgefordert werden
Sofern Sie keinen Computer oder einen Grafikrechner verwenden, kann diese Methode nur ungefähre Antworten liefern. Ihr Lehrer oder Ihr Lehrbuch empfiehlt Ihnen möglicherweise, diese Methode zu verwenden, um sich daran zu gewöhnen, Gleichungen als Linien zu zeichnen. Diese Methode kann auch verwendet werden, um die Antwort auf eine der oben genannten Methoden zu überprüfen.
Die Hauptidee ist, dass Sie die beiden Gleichungen beschreiben und ihren Schnittpunkt finden müssen. Der Wert von x und y an diesem Schnittpunkt ist die Lösung des Problems
Schritt 2. Finden Sie die y-Werte beider Gleichungen
Kombinieren Sie die beiden Gleichungen nicht und ändern Sie jede Gleichung so, dass das Format "y = _x + _" ist. Als Beispiel:
- Ihre erste Gleichung ist 2x + y = 5. Ändern y = -2x + 5.
- Deine erste Gleichung ist - 3x + 6y = 0. Ändern 6y = 3x + 0, und vereinfachen zu y = x + 0.
- Wenn Ihre beiden Gleichungen genau gleich sind, die gesamte Linie ist der "Schnittpunkt" der beiden Gleichungen. Schreiben unbegrenzte Antworten als Antwort.
Schritt 3. Zeichnen Sie die Koordinatenachsen
Zeichnen Sie eine vertikale „y-Achse“-Linie und eine horizontale „x-Achse“-Linie auf das Millimeterpapier. Beginnen Sie an dem Punkt, an dem sich die beiden Achsen schneiden (0, 0), schreiben Sie die Nummernbeschriftungen 1, 2, 3, 4 usw. auf, wobei Sie der Reihe nach auf der y-Achse nach oben und auf der x-Achse nach rechts zeigen. Schreiben Sie danach die Nummernbezeichnungen -1, -2 usw. auf, wobei Sie nacheinander auf der y-Achse nach unten und auf der x-Achse nach links zeigen.
- Wenn Sie kein Millimeterpapier haben, verwenden Sie ein Lineal, um sicherzustellen, dass der Abstand zwischen den einzelnen Zahlen genau gleich ist.
- Wenn Sie große Zahlen oder Dezimalzahlen verwenden, empfehlen wir, Ihr Diagramm zu skalieren (z. B. 10, 20, 30 oder 0, 1, 0, 2, 0, 3 statt 1, 2, 3).
Schritt 4. Zeichnen Sie den y-Schnittpunkt für jede Gleichung
Hat die Gleichung die Form y = _x + _, können Sie mit dem Zeichnen eines Diagramms beginnen, indem Sie den Punkt festlegen, an dem sich die Gleichungslinie mit der y-Achse schneidet. Der Wert von y ist immer gleich der letzten Zahl in der Gleichung.
-
Fortsetzung des vorherigen Beispiels, die erste Zeile (y = -2x + 5) schneidet die y-Achse bei
Schritt 5.. zweite Reihe (y = x + 0) schneidet die y-Achse bei 0. (Diese Punkte werden in der Grafik als (0, 5) und (0, 0) geschrieben.)
- Zeichnen Sie nach Möglichkeit die erste und zweite Linie mit verschiedenfarbigen Stiften oder Bleistiften.
Schritt 5. Verwenden Sie die Steigung, um die Linie fortzusetzen
Im Gleichungsformat y = _x + _, die Zahl vor dem x gibt den „Steigungsgrad“der Linie an. Jedes Mal, wenn x um eins erhöht wird, erhöht sich der Wert von y um die Anzahl der Steigungsstufen. Verwenden Sie diese Informationen, um die Punkte für jede Linie im Diagramm zu finden, wenn x = 1. (Sie können auch x = 1 in jede Gleichung eingeben und den Wert von y ermitteln.)
- Fortsetzung des vorherigen Beispiels, die Zeile y = -2x + 5 hat eine Steigung von - 2. Im Punkt x = 1 bewegt sich die Linie Nieder um 2 vom Punkt x = 0. Zeichnen Sie eine Linie, die (0, 5) mit (1, 3) verbindet.
- Leitung y = x + 0 hat eine Steigung von ½. Bei x = 1 bewegt sich die Linie Fahrt ab dem Punkt x=0. Zeichne eine Linie, die (0, 0) mit (1,) verbindet.
- Wenn zwei Geraden die gleiche Steigung haben, die beiden werden sich nie überschneiden. Somit hat dieses Gleichungssystem keine Antwort. Schreiben keine Antwort als Antwort.
Schritt 6. Verbinden Sie die Linien weiter, bis sich die beiden Linien schneiden
Stoppen Sie die Arbeit und sehen Sie sich Ihre Grafik an. Wenn sich die beiden Linien gekreuzt haben, fahren Sie mit dem nächsten Schritt fort. Wenn nicht, treffen Sie eine Entscheidung basierend auf der Position Ihrer beiden Linien:
- Wenn sich die beiden Linien nähern, verbinden Sie die Punkte Ihrer Streifen weiter.
- Wenn sich die beiden Linien voneinander entfernen, gehen Sie zurück und verbinden Sie die Punkte in entgegengesetzte Richtungen, beginnend bei x = 1.
- Wenn die beiden Linien sehr weit auseinander liegen, versuchen Sie, darüber zu springen und die weiter entfernten Punkte zu verbinden, zum Beispiel x = 10.
Schritt 7. Finden Sie die Antwort am Schnittpunkt
Nachdem sich die beiden Linien schneiden, ist der Wert von x und y an diesem Punkt die Antwort auf Ihr Problem. Wenn Sie Glück haben, ist die Antwort eine ganze Zahl. In unserem Beispiel schneiden sich die beiden Geraden beispielsweise im Punkt (2, 1) also die antwort ist x = 2 und y = 1. In einigen Gleichungssystemen liegt der Punkt, an dem sich die Linie schneidet, zwischen zwei ganzen Zahlen, und wenn der Graph nicht sehr genau ist, ist es schwierig zu bestimmen, wo sich die x- und y-Werte am Schnittpunkt befinden. Falls zulässig, können Sie als Antwort „x ist zwischen 1 und 2“schreiben oder die Ersetzungs- oder Eliminationsmethode verwenden, um die Antwort zu finden.
Tipps
- Sie können Ihre Arbeit überprüfen, indem Sie die Antworten in die ursprüngliche Gleichung einsetzen. Wenn sich herausstellt, dass die Gleichung wahr ist (zB 3 = 3), bedeutet dies, dass Ihre Antwort richtig ist.
- Bei der Eliminationsmethode müssen Sie die Gleichung manchmal mit einer negativen Zahl multiplizieren, damit sich die Variablen gegenseitig aufheben können.
