Mathematische Gleichungen vereinfachen – wikiHow

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-01-15 08:12

Mathematikstudenten werden oft gebeten, ihre Antworten in ihrer einfachsten Form aufzuschreiben, also die Antworten so elegant wie möglich aufzuschreiben. Obwohl lange, steife und kurze sowie elegante Gleichungen technisch dasselbe sind, gilt eine mathematische Aufgabe oft als nicht vollständig, wenn die endgültige Antwort nicht auf ihre einfachste Form reduziert wird. Außerdem ist die Antwort in ihrer einfachsten Form fast immer die einfachste Gleichung, mit der man arbeiten kann. Aus diesem Grund ist das Erlernen der Vereinfachung von Gleichungen eine wichtige Fähigkeit für Mathematiker.

Schritt

Methode 1 von 2: Verwenden der Operationssequenz

Schritt 1. Kennen Sie die Reihenfolge der Operationen

Wenn Sie mathematische Ausdrücke vereinfachen, können Sie nicht einfach von links nach rechts arbeiten, multiplizieren, addieren, subtrahieren usw. von links nach rechts. Einige mathematische Operationen müssen Vorrang vor anderen haben und zuerst ausgeführt werden. Tatsächlich kann die Verwendung der falschen Reihenfolge der Operationen die falsche Antwort geben. Die Reihenfolge der Operationen ist: der Teil in Klammern, der Exponent, die Multiplikation, die Division, die Addition und schließlich die Subtraktion. Ein Akronym, an das Sie sich erinnern können, ist Weil Mutter nicht gut, böse und arm ist.

Beachten Sie, dass, während ein grundlegendes Wissen über die Reihenfolge von Operationen die grundlegendsten Gleichungen vereinfachen kann, spezielle Techniken erforderlich sind, um viele variable Gleichungen, einschließlich fast aller Polynome, zu vereinfachen. Weitere Informationen finden Sie in der folgenden zweiten Methode

Schritt 2. Füllen Sie zunächst alle Abschnitte in Klammern aus

In der Mathematik geben Klammern an, dass der innere Teil getrennt von dem Ausdruck außerhalb der Klammern berechnet werden muss. Unabhängig davon, welche Operationen in Klammern stehen, stellen Sie sicher, dass Sie zuerst den Teil in den Klammern vervollständigen, wenn Sie versuchen, eine Gleichung zu vereinfachen. In Klammern müssen Sie beispielsweise multiplizieren, bevor Sie addieren, subtrahieren usw.

• Versuchen wir zum Beispiel, die Gleichung 2x + 4(5 + 2) + 3. zu vereinfachen² - (3 + 4/2). In dieser Gleichung müssen wir zuerst den Teil innerhalb der Klammern lösen, nämlich 5 + 2 und 3 + 4/2. 5 + 2 =

  Schritt 7.. 3 + 4/2 = 3 + 2

  Schritt 5

  Der Teil in der zweiten Klammer wird auf 5 vereinfacht, da wir entsprechend der Reihenfolge der Operationen zuerst 4/2 in den Klammern teilen. Wenn wir nur von links nach rechts arbeiten, addieren wir zuerst 3 und 4 und teilen dann durch 2, was die falsche Antwort 7/2 ergibt

• Hinweis – Wenn mehrere Klammern in Klammern stehen, vervollständigen Sie den Abschnitt in der innersten Klammer, dann in der zweitinnersten usw.

Schritt 3. Lösen Sie den Exponenten auf

Nachdem Sie die Klammern ausgefüllt haben, lösen Sie als nächstes den Exponenten Ihrer Gleichung. Dies ist leicht zu merken, da in Exponenten die Basiszahl und die Potenz hoch nebeneinander stehen. Finden Sie die Antwort auf jeden Teil des Exponenten und setzen Sie dann Ihre Antwort in die Gleichung ein, um den Exponententeil zu ersetzen.

Nachdem wir den Teil in Klammern vervollständigt haben, wird unsere Beispielgleichung nun 2x + 4(7) + 3² - 5. Die einzige Exponentialfunktion in unserem Beispiel ist 3², was gleich 9 ist. Fügen Sie dieses Ergebnis zu Ihrer Gleichung hinzu, um 3. zu ersetzen² was zu 2x + 4(7) + 9 - 5 führt.

Schritt 4. Lösen Sie das Multiplikationsproblem in Ihrer Gleichung

Als nächstes machen Sie die Multiplikation, die in Ihrer Gleichung benötigt wird. Denken Sie daran, dass Multiplikation auf verschiedene Weise geschrieben werden kann. Der ×-Punkt oder das Sternchensymbol ist eine Möglichkeit, die Multiplikation anzuzeigen. Eine Zahl neben Klammern oder eine Variable (z. B. 4(x)) stellt jedoch auch eine Multiplikation dar.

• Die Multiplikation in unserem Problem besteht aus zwei Teilen: 2x (2x ist 2 × x) und 4(7). Wir kennen den Wert von x nicht, also belassen wir ihn einfach bei 2x. 4(7) = 4 × 7 =

  Schritt 28.. Wir können unsere Gleichung in 2x + 28 + 9 - 5 umschreiben.

Schritt 5. Fahren Sie mit der Division fort

Wenn Sie in Ihren Gleichungen nach Divisionsproblemen suchen, denken Sie daran, dass die Division wie die Multiplikation auf verschiedene Weise geschrieben werden kann. Eines davon ist das Symbol, aber denken Sie daran, dass Schrägstriche und Bindestriche wie in Brüchen (zB 3/4) auch eine Teilung anzeigen.

Denn die Aufteilung (4/2) haben wir schon gemacht, als wir die Teile in Klammern fertig gestellt haben. In unserem Beispiel gibt es noch kein Divisionsproblem, daher überspringen wir diesen Schritt. Dies zeigt einen wichtigen Punkt – Sie müssen nicht alle Operationen ausführen, wenn Sie einen Ausdruck vereinfachen, sondern nur die Operationen, die in Ihrem Problem enthalten sind

Schritt 6. Als nächstes fügen Sie alles hinzu, was in Ihrer Gleichung steht

Sie können von links nach rechts arbeiten, aber es ist einfacher, zuerst die einfach hinzuzufügenden Zahlen zu addieren. In der Aufgabe 49 + 29 + 51 + 71 ist es beispielsweise einfacher, 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100 und 100 + 100 = 200 zu addieren, als 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129, und 129 + 71 = 200.

Unsere Beispielgleichung wurde teilweise auf 2x + 28 + 9 – 5 vereinfacht. Jetzt müssen wir die Zahlen addieren, die wir addieren können – schauen wir uns jedes Additionsproblem von links nach rechts an. Wir können 2x und 28 nicht addieren, weil wir den Wert von x nicht kennen, also überspringen wir es einfach. 28 + 9 = 37, kann als 2x + 37 - 5 umgeschrieben werden.

Schritt 7. Der letzte Schritt der Operationsfolge ist die Subtraktion

Setzen Sie Ihr Problem fort, indem Sie die verbleibenden Subtraktionsaufgaben lösen. Sie können sich die Subtraktion in diesem Schritt vielleicht als Addition negativer Zahlen vorstellen oder die gleichen Schritte wie bei einer regulären Additionsaufgabe verwenden – Ihre Wahl hat keinen Einfluss auf Ihre Antwort.

• In unserem Problem 2x + 37 - 5 gibt es nur ein Subtraktionsproblem. 37 – 5 =

  Schritt 32.

Schritt 8. Überprüfen Sie Ihre Gleichung

Nach dem Lösen mit der Reihenfolge der Operationen sollte Ihre Gleichung auf die einfachste Form vereinfacht werden. Wenn Ihre Gleichung jedoch eine oder mehrere Variablen enthält, müssen Sie verstehen, dass Ihre Variablen nicht bearbeitet werden müssen. Um eine Variable zu vereinfachen, müssen Sie entweder den Wert Ihrer Variablen ermitteln oder spezielle Techniken verwenden, um den Ausdruck zu vereinfachen (siehe Schritt unten).

Unsere endgültige Antwort lautet 2x + 32. Wir können diese letzte Addition nur lösen, wenn wir den Wert von x kennen, aber wenn wir seinen Wert kennen, wäre diese Gleichung viel einfacher zu lösen als unsere lange ursprüngliche Gleichung

Methode 2 von 2: Komplexe Gleichungen vereinfachen

Schritt 1. Addieren Sie die Teile, die dieselbe Variable haben

Denken Sie beim Lösen von Variablengleichungen daran, dass Teile, die dieselbe Variable und denselben Exponenten (oder dieselbe Variable) haben, wie normale Zahlen addiert und subtrahiert werden können. Dieser Teil muss dieselbe Variable und denselben Exponenten haben. Zum Beispiel können 7x und 5x hinzugefügt werden, aber 7x und 5x² kann nicht addiert werden.

• Diese Regel gilt auch für einige Variablen. Zum Beispiel 2xy² kann mit -3xy. summiert werden², kann aber nicht mit -3x. summiert werden²j oder -3y².
• Siehe Gleichung x² + 3x + 6 - 8x. In dieser Gleichung können wir 3x und -8x addieren, da sie dieselbe Variable und denselben Exponenten haben. Die einfache Gleichung wird x² - 5x + 6.

Schritt 2. Vereinfachen Sie Bruchzahlen, indem Sie die Faktoren dividieren oder durchstreichen

Brüche, deren Zähler und Nenner nur Zahlen (und keine Variablen) enthalten, können auf verschiedene Weise vereinfacht werden. Die erste und vielleicht einfachste ist, sich den Bruch als Divisionsproblem vorzustellen und den Nenner durch den Zähler zu dividieren. Außerdem kann jeder Multiplikationsfaktor, der im Zähler und Nenner auftaucht, durchgestrichen werden, da die Division der beiden Faktoren die Zahl 1 ergibt.

Betrachten Sie zum Beispiel den Bruch 36/60. Wenn wir einen Taschenrechner haben, können wir ihn teilen, um die Antwort zu erhalten 0, 6. Wenn wir jedoch keinen Taschenrechner haben, können wir ihn dennoch vereinfachen, indem wir die gleichen Faktoren durchstreichen. Eine andere Möglichkeit, sich 36/60 vorzustellen, ist (6 × 6)/(6 × 10). Dieser Bruch kann als 6/6 × 6/10 geschrieben werden. 6/6 = 1, also ist unser Bruch tatsächlich 1 × 6/10 = 6/10. Wir sind jedoch noch nicht fertig – sowohl 6 als auch 10 haben den gleichen Faktor, der 2 ist. Wiederholen Sie die obige Methode, wird das Ergebnis 3/5.

Schritt 3. Streichen Sie beim Variablenbruch alle Faktoren der Variablen durch

Variable Gleichungen in Bruchform haben eine einzigartige Art der Vereinfachung. Wie bei gewöhnlichen Brüchen können Sie mit variablen Brüchen Faktoren eliminieren, die Zähler und Nenner gemeinsam haben. In variablen Brüchen können diese Faktoren jedoch Zahlen und Gleichungen der tatsächlichen Variablen sein.

• Sagen wir die Gleichung (3x² + 3x)/(-3x² + 15x) Dieser Bruch kann geschrieben werden als (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x), 3x erscheint sowohl im Zähler als auch im Nenner. Durch Auskreuzen dieser Faktoren aus der Gleichung wird das Ergebnis (x + 1)/(5 - x). Wie in Ausdruck (2x² + 4x + 6)/2, da jeder Teil durch 2 teilbar ist, können wir die Gleichung schreiben als (2(x² + 2x + 3))/2 und dann zu x. vereinfachen² + 2x + 3.
• Beachten Sie, dass Sie nicht alle Abschnitte durchstreichen können – Sie können nur die Multiplikationsfaktoren streichen, die im Zähler und Nenner erscheinen. Beispielsweise kann im Ausdruck (x(x + 2))/x x sowohl im Zähler als auch im Nenner durchgestrichen werden, sodass es zu (x + 2)/1 = (x + 2) wird. (x + 2)/x kann jedoch nicht durch 2/1 = 2 durchgestrichen werden.

Schritt 4. Multiplizieren Sie den Teil in Klammern mit der Konstanten

Wenn Sie den Teil mit der Variablen in Klammern mit einer Konstanten multiplizieren, kann manchmal die Multiplikation jedes Teils in den Klammern mit einer Konstanten zu einer einfacheren Gleichung führen. Dies gilt für Konstanten, die nur aus Zahlen bestehen, und für Konstanten, die Variablen haben.

• Zum Beispiel Gleichung 3(x² + 8) kann auf 3x vereinfacht werden² + 24, wobei 3x(x² + 8) kann auf 3x vereinfacht werden³ + 24x.
• Beachten Sie, dass in einigen Fällen, z. B. bei variablen Brüchen, Konstanten um die Klammern herum durchgestrichen werden können, damit sie nicht mit dem Teil in den Klammern multipliziert werden müssen. In Brüchen (3(x² + 8))/3x zum Beispiel erscheint der Faktor 3 sowohl im Zähler als auch im Nenner, also können wir ihn durchstreichen und den Ausdruck zu (x² +8)/x. Dieser Ausdruck ist einfacher und leichter zu handhaben als (3x³ + 24x)/3x, was das Ergebnis ist, das wir erhalten, wenn wir es multiplizieren.

Schritt 5. Vereinfachen Sie durch Factoring

Faktorisieren ist eine Technik, die verwendet werden kann, um einige variable Ausdrücke, einschließlich Polynomen, zu vereinfachen. Stellen Sie sich das Faktorisieren als das Gegenteil der Multiplikation mit dem Teil in Klammern im obigen Schritt vor – manchmal kann man sich einen Ausdruck als zwei Teile vorstellen, die miteinander multipliziert werden, anstatt als einheitlicher Ausdruck. Dies gilt insbesondere, wenn Sie durch das Faktorisieren einer Gleichung einen ihrer Teile (wie bei Brüchen) streichen können. In bestimmten Fällen (oft bei quadratischen Gleichungen) können Sie durch Faktorisieren sogar die Lösung der Gleichung finden.

• Nehmen wir wieder den Ausdruck x² - 5x + 6. Dieser Ausdruck kann zu (x - 3)(x - 2) faktorisiert werden. Also, wenn x² - 5x + 6 ist der Zähler einer gegebenen Gleichung, bei der der Nenner einen dieser Faktoren hat, wie im Ausdruck (x² - 5x + 6)/(2(x - 2)), möchten wir es vielleicht in Faktorform schreiben, damit wir den Faktor mit dem Nenner durchstreichen können. Mit anderen Worten, in (x – 3)(x – 2)/(2(x – 2)) kann der Teil (x – 2) durchgestrichen werden, um (x – 3)/2 zu sein.

• Wie oben erwähnt, ist ein weiterer Grund, warum Sie Ihre Gleichungen möglicherweise faktorisieren möchten, der, dass Sie durch die Faktorisierung Antworten auf bestimmte Gleichungen erhalten können, insbesondere wenn sie gleich 0 geschrieben sind. Zum Beispiel Gleichung x² - 5x + 6 = 0. Faktorisieren ergibt (x - 3)(x - 2) = 0. Da jede mit Null multiplizierte Zahl gleich Null ist, wissen wir, dass, wenn ein Teil der Klammern gleich Null ist, alle Gleichungen links von das Gleichheitszeichen ist ebenfalls null. So dass

  Schritt 3. da

  Schritt 2. sind die beiden Antworten auf die Gleichung.