Eine rationale Gleichung ist ein Bruch mit einer oder mehreren Variablen im Zähler oder Nenner. Eine rationale Gleichung ist jeder Bruch, der mindestens eine rationale Gleichung beinhaltet. Wie gewöhnliche algebraische Gleichungen werden rationale Gleichungen gelöst, indem auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Operation durchgeführt wird, bis die Variablen auf beide Seiten der Gleichung übertragen werden können. Zwei spezielle Techniken, die Kreuzmultiplikation und das Finden des kleinsten gemeinsamen Nenners, sind sehr nützliche Methoden, um Variablen zu verschieben und rationale Gleichungen zu lösen.
Schritt
Methode 1 von 2: Kreuzmultiplikation
Schritt 1. Wenn nötig, ordnen Sie Ihre Gleichung um, um einen Bruch auf einer Seite der Gleichung zu erhalten
Kreuzmultiplikation ist eine schnelle und einfache Möglichkeit, rationale Gleichungen zu lösen. Leider kann diese Methode nur für rationale Gleichungen verwendet werden, die auf jeder Seite der Gleichung mindestens eine rationale Gleichung oder einen Bruch enthalten. Wenn Ihre Gleichung diese produktübergreifenden Anforderungen nicht erfüllt, müssen Sie möglicherweise algebraische Operationen verwenden, um die Teile an die richtigen Stellen zu verschieben.
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Zum Beispiel kann die Gleichung (x + 3)/4 - x/(-2) = 0 leicht in Kreuzproduktform gebracht werden, indem man x/(-2) zu beiden Seiten der Gleichung addiert, so dass sie zu (x + 3)/4 = x/(-2).
Beachten Sie, dass Dezimal- und ganze Zahlen in Brüche umgewandelt werden können, indem Sie den Nenner 1 angeben. (x + 3)/4 – 2, 5 = 5, zum Beispiel kann umgeschrieben werden als (x + 3)/4 = 7, 5/ 1, wodurch es die Kreuzmultiplikationsbedingung erfüllt
- Einige rationale Gleichungen lassen sich nicht ohne weiteres auf eine Form mit einem Bruch oder einer rationalen Gleichung auf jeder Seite reduzieren. Verwenden Sie in solchen Fällen denselben Ansatz mit dem kleinsten Nenner.
Schritt 2. Kreuzen Sie multiplizieren
Kreuzmultiplizieren bedeutet, einen der Zähler eines Bruchs mit dem Nenner eines anderen Bruchs zu multiplizieren und umgekehrt. Multipliziere den Zähler des linken Bruchs mit dem Nenner des rechten Bruchs. Wiederholen Sie mit dem rechten Nenner mit dem linken Nenner.
Die Kreuzmultiplikation funktioniert nach algebraischen Grundprinzipien. Rationale Gleichungen und andere Brüche können durch Multiplikation mit dem Nenner in Nicht-Brüche umgewandelt werden. Das Kreuzprodukt ist im Grunde eine schnelle Möglichkeit, beide Seiten einer Gleichung mit beiden Nennern zu multiplizieren. Glaube nicht? Probieren Sie es aus – Sie erhalten das gleiche Ergebnis, wenn Sie es vereinfachen
Schritt 3. Machen Sie die beiden Produkte gleich
Nach der Kreuzmultiplikation erhalten Sie zwei Multiplikationsergebnisse. Machen Sie sie einander gleich und vereinfachen Sie, um die Gleichung so einfach wie möglich zu machen.
Wenn Ihre ursprüngliche rationale Gleichung beispielsweise (x+3)/4 = x/(-2) war, wird Ihre neue Gleichung nach der Kreuzmultiplikation -2(x+3) = 4x. Wenn Sie möchten, können Sie es auch als -2x - 6 = 4x schreiben
Schritt 4. Finden Sie den Wert Ihrer Variablen
Verwenden Sie algebraische Operationen, um den Wert der Variablen Ihrer Gleichung zu ermitteln. Denken Sie daran, dass Sie x von beiden Seiten der Gleichung addieren oder subtrahieren müssen, wenn x auf beiden Seiten der Gleichung erscheint, damit x nur auf einer Seite der Gleichung verbleibt.
In unserem Beispiel können wir beide Seiten der Gleichung durch -2 teilen, also x+3 = -2x. Subtrahieren von x von beiden Seiten ergibt 3 = -3x. Durch Division beider Seiten durch -3 schließlich wird das Ergebnis -1 = x, was als x = -1 geschrieben werden kann. Wir haben den Wert von x gefunden und unsere rationale Gleichung gelöst
Methode 2 von 2: Den kleinsten gemeinsamen Nenner finden
Schritt 1. Kennen Sie die genaue Zeit, um denselben kleinsten Nenner zu verwenden
Derselbe kleinste Nenner kann verwendet werden, um rationale Gleichungen zu vereinfachen, sodass sie nach Variablenwerten durchsucht werden können. Den kleinsten gemeinsamen Nenner zu finden ist eine gute Idee, wenn Ihre rationale Gleichung nicht einfach in Form eines Bruchs (und nur eines Bruchs) auf jeder Seite der Gleichung geschrieben werden kann. Um rationale Gleichungen mit drei oder mehr Teilen zu lösen, ist der kleinste gemeinsame Nenner hilfreich. Um eine rationale Gleichung mit nur zwei Teilen zu lösen, ist es jedoch schneller, ein Kreuzprodukt zu verwenden.
Schritt 2. Überprüfen Sie den Nenner jedes Bruchs
Bestimme die kleinste Zahl, die jeder Nenner teilen kann und erzeuge eine ganze Zahl. Diese Zahl ist der kleinste gemeinsame Nenner für Ihre Gleichung.
- Manchmal ist der kleinste gemeinsame Nenner – also die kleinste Zahl, die alle Faktoren im Nenner hat – deutlich sichtbar. Wenn Ihre Gleichung beispielsweise x/3 + 1/2 = (3x+1)/6 lautet, ist es nicht schwer, die kleinste Zahl mit den Faktoren 3, 2 und 6 zu sehen, die die Zahl 6 ist.
- Der kleinste gemeinsame Nenner einer rationalen Gleichung ist jedoch oft nicht klar erkennbar. Versuchen Sie in einem solchen Fall, ein Vielfaches des größeren Nenners zu überprüfen, bis Sie eine Zahl finden, die einen Faktor aller anderen kleineren Nenner hat. Der kleinste gemeinsame Nenner ist oft das Produkt zweier Nenner. In der Gleichung x/8 + 2/6 = (x-3)/9 ist beispielsweise der kleinste gemeinsame Nenner 8*9 = 72.
- Wenn einer oder mehrere Nenner Ihres Bruchs Variablen haben, ist dieser Vorgang schwieriger, aber möglich. In einem solchen Fall ist der kleinste gemeinsame Nenner eine Gleichung (mit einer Variablen), die durch alle anderen Nenner teilbar ist. Zum Beispiel in der Gleichung 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) ist der kleinste gemeinsame Nenner 3x(x-1), weil jeder Nenner ihn teilen kann – eine Division durch (x-1) ergibt 3x, Division durch 3x ergibt (x-1) und Division durch x ergibt 3(x-1).
Schritt 3. Multiplizieren Sie jeden Bruch in der rationalen Gleichung mit 1
Jeden Teil mit 1 zu multiplizieren scheint sinnlos. Aber hier ist der Trick. 1 kann als eine beliebige Zahl definiert werden, die sowohl im Zähler als auch im Nenner gleich ist, z. B. -2/2 und 3/3, was die korrekte Schreibweise von 1 ist. Diese Methode nutzt die alternative Definition. Multiplizieren Sie jeden Bruch in Ihrer rationalen Gleichung mit 1 und schreiben Sie die Zahl 1 auf, die, wenn sie mit dem Nenner multipliziert wird, den kleinsten gemeinsamen Nenner ergibt.
- In unserem einfachen Beispiel multiplizieren wir x/3 mit 2/2, um 2x/6 zu erhalten, und multiplizieren 1/2 mit 3/3, um 3/6 zu erhalten. 2x + 1/6 hat bereits den gleichen kleinsten Nenner, der 6 ist, also können wir ihn mit 1/1 multiplizieren oder gleich lassen.
- In unserem Beispiel mit einer Variablen im Nenner des Bruchs ist der Vorgang etwas komplizierter. Da unser kleinster Nenner 3x(x-1) ist, multiplizieren wir jede rationale Gleichung mit etwas, das 3x(x-1) liefert. Wir multiplizieren 5/(x-1) mit (3x)/(3x), was 5(3x)/(3x)(x-1) ergibt, multiplizieren 1/x mit 3(x-1)/3(x- 1) was 3(x-1)/3x(x-1) ergibt, und die Multiplikation von 2/(3x) mit (x-1)/(x-1) ergibt 2(x-1)/3x(x- 1).
Schritt 4. Vereinfachen und finden Sie den Wert von x
Da jeder Teil Ihrer rationalen Gleichung den gleichen Nenner hat, können Sie den Nenner aus Ihrer Gleichung entfernen und nach dem Zähler auflösen. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung, um den Zählerwert zu erhalten. Verwenden Sie dann algebraische Operationen, um den Wert von x (oder einer beliebigen Variablen, die Sie lösen möchten) auf einer Seite der Gleichung zu finden.
- In unserem Basisbeispiel erhalten wir nach der Multiplikation aller Teile mit der alternativen Form 1 2x/6 + 3/6 = (3x+1)/6. Zwei Brüche können addiert werden, wenn sie den gleichen Nenner haben, also können wir diese Gleichung zu (2x+3)/6 = (3x+1)/6 vereinfachen, ohne den Wert zu ändern. Multiplizieren Sie beide Seiten mit 6, um den Nenner zu entfernen, so dass das Ergebnis 2x+3 = 3x+1 ist. Subtrahiere 1 von beiden Seiten, um 2x+2 = 3x zu erhalten, und subtrahiere 2x von beiden Seiten, um 2 = x zu erhalten, was als x = 2 geschrieben werden kann.
- In unserem Beispiel mit einer Variablen im Nenner wird unsere Gleichung nach der Multiplikation mit 1 zu 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x-1) + 2(x-1) /3x(x-1). Wenn wir alle Teile mit demselben kleinsten Nenner multiplizieren, wodurch wir den Nenner weglassen können, wird 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1). Dies gilt auch für 5x = 3x - 3 + 2x -2, was sich zu 15x = x - 5 vereinfacht. Subtrahiert man x von beiden Seiten, erhält man 14x = -5, was sich am Ende zu x = -5/14 vereinfacht.
Tipps
- Wenn Sie die Variable gelöst haben, überprüfen Sie Ihre Antwort, indem Sie den Wert der Variablen in die ursprüngliche Gleichung einsetzen. Wenn Ihr Variablenwert korrekt ist, können Sie Ihre ursprüngliche Gleichung in eine einfache Aussage vereinfachen, die immer 1 = 1 entspricht.
- Beachten Sie, dass Sie jedes Polynom als rationale Gleichung schreiben können; setze es über den Nenner 1. Also haben x+3 und (x+3)/1 denselben Wert, aber die zweite Gleichung kann als rationale Gleichung klassifiziert werden, da sie als Bruch geschrieben wird.
