So bestimmen Sie die Determinante einer 3X3-Matrix – wikiHow

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-01-15 08:12

Die Determinante von Matrizen wird oft in der Analysis, der linearen Algebra und der Geometrie auf einer höheren Ebene verwendet. Außerhalb der akademischen Welt verwenden Computergrafikingenieure und Programmierer ständig Matrizen und ihre Determinanten. Wenn Sie bereits wissen, wie man die Determinante einer Matrix der Ordnung 2x2 bestimmt, müssen Sie nur lernen, wann man Addition, Subtraktion und Zeiten verwendet, um die Determinante einer Matrix der Ordnung 3x3 zu bestimmen.

Schritt

Teil 1 von 2: Bestimmung der Determinanten

Schreiben Sie Ihre 3 x 3 Ordnungsmatrix. Wir beginnen mit einer Matrix A der Ordnung 3x3 und versuchen die Determinante |A| zu finden. Nachfolgend finden Sie die allgemeine Form der Matrixnotation, die wir verwenden werden, und ein Beispiel für unsere Matrix:

		ein11	ein12	ein13		1	5	3
m	=	ein21	ein22	ein23	=	2	4	7
		ein31	ein32	ein33		4	6	2

Schritt 1. Wählen Sie eine Zeile oder Spalte aus

Machen Sie Ihre Auswahl zur Referenzzeile oder -spalte. Egal, wofür Sie sich entscheiden, Sie erhalten immer noch dieselbe Antwort. Wählen Sie vorübergehend die erste Zeile aus. Im nächsten Abschnitt geben wir Ihnen einige Vorschläge zur Auswahl der am einfachsten zu berechnenden Option.

Wählen Sie die erste Zeile der Beispielmatrix A aus. Kreisen Sie die Zahl 1 5 ein 3. Kreisen Sie in üblicher Schreibweise a. ein₁₁ ein₁₂ ein₁₃.

Schritt 2. Streichen Sie die Zeile und Spalte Ihres ersten Elements durch

Sehen Sie sich die eingekreiste Zeile oder Spalte an und wählen Sie das erste Element aus. Streiche die Zeilen und Spalten durch. Es bleiben nur 4 Zahlen unberührt. Machen Sie diese 4 Zahlen zu einer 2 x 2 Ordnungsmatrix.

• In unserem Beispiel ist unsere Referenzzeile 1 5 3. Das erste Element befindet sich in der 1. Zeile und 1. Spalte. Streichen Sie die gesamte 1. Reihe und 1. Spalte durch. Schreiben Sie die restlichen Elemente in eine 2 x 2-Matrix:
• 1 5 3
• 2 4 7
• 4 6 2

Schritt 3. Bestimmen Sie die Determinante der Matrix 2 x 2 Ordnung

Denken Sie daran, die Determinante der Matrix zu bestimmen [^{ein_C B_D] von ad - bc. Möglicherweise haben Sie auch gelernt, die Determinante einer Matrix zu bestimmen, indem Sie zwischen einer 2 x 2 Matrix ein X ziehen. Multiplizieren Sie die beiden Zahlen, die durch die Gerade / von X verbunden sind. sind. Verwenden Sie diese Formel, um die Determinante einer 2 x 2 Matrix zu berechnen.}

• Im Beispiel ist die Determinante der Matrix [^{4₆ 7₂}] = 4*2 - 7*6 = - 34.
• Diese Determinante heißt unerheblich der Elemente, die Sie in der Anfangsmatrix ausgewählt haben. In diesem Fall haben wir gerade den Moll von a. gefunden₁₁.

Schritt 4. Multiplizieren Sie die gefundene Zahl mit dem ausgewählten Element

Denken Sie daran, dass Sie Elemente aus der Referenzzeile (oder -spalte) ausgewählt haben, als Sie entschieden haben, welche Zeilen und Spalten durchgestrichen werden sollen. Multiplizieren Sie dieses Element mit der Determinante der 2 x 2-Matrix, die Sie gefunden haben.

Im Beispiel wählen wir a₁₁ das ist 1. Multiplizieren Sie diese Zahl mit -34 (der Determinante der 2 x 2-Matrix), um 1 * -34 = zu erhalten - 34.

Schritt 5. Bestimmen Sie das Symbol Ihrer Antwort

Der nächste Schritt ist, dass Sie Ihre Antwort mit 1 oder -1 multiplizieren müssen, um zu erhalten Cofaktor des ausgewählten Elements. Das verwendete Symbol hängt davon ab, wo sich die Elemente in der 3 x 3 Matrix befinden. Denken Sie daran, dass diese Symboltabelle verwendet wird, um den Multiplikator Ihres Elements zu bestimmen:

• + - +
• - + -
• + - +
• Weil wir uns für eine entscheiden₁₁ die mit + gekennzeichnet ist, multiplizieren wir die Zahl mit +1 (oder ändern Sie sie nicht). Die angezeigte Antwort wird dieselbe sein, nämlich - 34.
• Eine andere Möglichkeit, ein Symbol zu definieren, ist die Verwendung der Formel (-1) ^{i+j wobei i und j Zeilen- und Spaltenelemente sind.}

Schritt 6. Wiederholen Sie diesen Vorgang für das zweite Element in Ihrer Referenzzeile oder -spalte

Kehren Sie zur ursprünglichen 3 x 3-Matrix zurück, in der Sie die Zeile oder Spalte zuvor eingekreist haben. Wiederholen Sie den gleichen Vorgang mit dem Element:

• Streichen Sie die Zeile und Spalte des Elements durch.

  Wählen Sie in diesem Fall das Element a₁₂ (was 5 wert ist). Streichen Sie die 1. Reihe (1 5 3) und die 2. Spalte (5 4 6) durch.

• Verwandeln Sie die restlichen Elemente in eine 2x2-Matrix.

  In unserem Beispiel ist die 2x2-Ordnungsmatrix für das zweite Element [²₄ ⁷₂].

• Bestimmen Sie die Determinante dieser 2x2-Matrix.

  Verwenden Sie die ad-bc-Formel. (2*2 - 7*4 = -24)

• Multiplizieren Sie mit den Elementen Ihrer gewählten 3x3-Matrix.

  -24 * 5 = -120

• Entscheiden Sie, ob Sie das obige Ergebnis mit -1 multiplizieren oder nicht.

  Verwenden Sie eine Tabelle mit Symbolen oder Formeln (-1)^ij. Element auswählen a₁₂ symbolisiert – in der Symboltabelle. Ersetzen Sie unser Antwortsymbol durch: (-1)*(-120) = 120.

Schritt 7. Wiederholen Sie den gleichen Vorgang für das dritte Element

Sie haben einen weiteren Kofaktor, um die Determinante zu bestimmen. Zählen Sie i für das dritte Element in Ihrer Referenzzeile oder -spalte. So berechnen Sie schnell den Kofaktor a₁₃ in unserem Beispiel:

• Streichen Sie die 1. Reihe und 3. Spalte durch, um [²₄ ⁴₆].
• Die Determinante ist 2*6 - 4*4 = -4.
• Mit Element a. multiplizieren₁₃: -4 * 3 = -12.
• Element a₁₃ Symbol + in der Symboltabelle, also lautet die Antwort - 12.

Schritt 8. Addieren Sie die Ergebnisse Ihrer drei Zählungen

Dies ist der letzte Schritt. Sie haben drei Kofaktoren berechnet, einen für jedes Element in einer Zeile oder Spalte. Addieren Sie diese Ergebnisse und Sie finden die Determinante einer 3 x 3 Matrix.

Im Beispiel ist die Determinante der Matrix - 34 + 120 + - 12 = 74.

Teil 2 von 2: Problemlösung einfacher machen

Schritt 1. Wählen Sie die Referenzzeile oder -spalte mit den meisten Nullen aus

Denken Sie daran, dass Sie jede beliebige Zeile oder Spalte auswählen können. Wofür Sie sich auch entscheiden, die Antwort wird dieselbe sein. Wenn Sie eine Zeile oder Spalte mit der Zahl 0 auswählen, müssen Sie den Kofaktor nur mit Elementen berechnen, die nicht 0 sind, weil:

• Wählen Sie beispielsweise die 2. Zeile mit dem Element a₂₁, ein₂₂, Fonds₂₃. Um dieses Problem zu lösen, verwenden wir 3 verschiedene 2 x 2 Matrizen, sagen wir A₂₁, EIN₂₂, Du₂₃.
• Die Determinante der 3x3-Matrix ist a₂₁|A₂₁| - ein₂₂|A₂₂| + a₂₃|A₂₃|.
• Wenn eine₂₂ Fonds₂₃ Wert 0, die vorhandene Formel lautet a₂₁|A₂₁| - 0*|A₂₂| + 0*|A₂₃| = a₂₁|A₂₁| - 0 + 0 = a₂₁|A₂₁|. Daher berechnen wir nur den Kofaktor eines Elements.

Schritt 2. Verwenden Sie zusätzliche Zeilen, um Matrixprobleme zu vereinfachen

Wenn Sie die Werte aus einer Zeile nehmen und zu einer anderen Zeile hinzufügen, ändert sich die Determinante der Matrix nicht. Das gleiche gilt für Spalten. Sie können dies wiederholt tun oder mit einer Konstanten multiplizieren, bevor Sie sie hinzufügen, um so viele Nullen wie möglich in der Matrix zu erhalten. Dies kann viel Zeit sparen.

• Sie haben beispielsweise eine Matrix mit 3 Zeilen: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
• Um die Zahl 9 zu eliminieren, die sich in Position a. befindet₁₁, können Sie den Wert in der 2. Zeile mit -3 multiplizieren und das Ergebnis in die erste Zeile addieren. Die neue erste Zeile lautet nun [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
• Die neue Matrix hat Zeilen [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2]. Verwenden Sie den gleichen Trick auf Spalten, um a. zu machen₁₂ sei die Zahl 0.

Schritt 3. Verwenden Sie die Schnellmethode für Dreiecksmatrizen

In diesem speziellen Fall ist die Determinante das Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonalen von a₁₁ oben links zu a₃₃ unten rechts in der Matrix. Diese Matrix ist immer noch eine 3x3-Matrix, aber die "Dreieck"-Matrix hat ein spezielles Muster von Zahlen, die nicht 0 sind:

• Obere Dreiecksmatrix: Alle Elemente, die nicht 0 sind, liegen auf oder über der Hauptdiagonalen. Alle Zahlen unterhalb der Hauptdiagonale sind 0.
• Untere Dreiecksmatrix: Alle Elemente, die nicht 0 sind, liegen auf oder unter der Hauptdiagonale.
• Diagonalmatrix: Alle Elemente, die nicht 0 sind, befinden sich auf der Hauptdiagonalen (der Teilmenge der oben genannten Matrizentypen).

Tipps

• Wenn alle Elemente in einer Zeile oder Spalte 0 sind, ist die Determinante der Matrix 0.
• Dieses Verfahren kann für alle Größen quadratischer Matrizen verwendet werden. Wenn Sie diese Methode beispielsweise für eine Matrix der Ordnung 4x4 verwenden, hinterlässt Ihr "Strike" eine Matrix der Ordnung 3x3, deren Determinante durch Befolgen der obigen Schritte bestimmt werden kann. Denken Sie daran, dies kann langweilig sein!