Magische Quadrate sind mit der Erfindung von mathematischen Spielen wie Sudoku populär geworden. Ein magisches Quadrat ist eine Anordnung von Zahlen in einem Quadrat, bei der die Summe jeder Reihe, Spalte und Diagonale einer festen Zahl entspricht, die als "magische Konstante" bezeichnet wird. In diesem Artikel erfahren Sie, wie Sie alle Arten von magischen Quadraten lösen können, sowohl ungerade Ordnung, gerade Ordnung, nicht Vielfaches von vier, als auch gerade Ordnung, Vielfaches von vier.
Schritt
Methode 1 von 3: Magische Quadrate ungerader Ordnung lösen
Schritt 1. Berechnen Sie die magische Konstante
Sie finden diese Zahl mit einer einfachen mathematischen Formel, wobei n = die Anzahl der Zeilen oder Spalten im magischen Quadrat ist. Zum Beispiel für ein magisches 3x3-Quadrat, dann n = 3. Magische Konstante = [n * (n * n + 1)] / 2. Also im Beispiel mit einem 3x3-Quadrat:
- Summe = [3*(3*3+1)]/2
- Summe = [3 * (9 + 1)] / 2
- Menge = (3 * 10) / 2
- Menge = 30/2
- Die magische Konstante für ein magisches 3x3-Quadrat ist 30/2, also 15.
- Alle Reihen, Spalten und Diagonalen müssen diese Zahl ergeben.
Schritt 2. Platzieren Sie die Zahl 1 im mittleren Quadrat in der oberen Reihe
Hier beginnen Sie immer für magische Quadrate ungerader Ordnung, egal wie groß oder klein die magischen Quadrate sind. Wenn Sie also ein magisches 3x3-Quadrat haben, platzieren Sie 1 in Feld 2 (zweites Quadrat von links oder rechts). Ein anderes Beispiel für ein magisches 15x15-Quadrat, platzieren Sie die Zahl 1 in Feld 8 (das achte Feld von links oder rechts).
Schritt 3. Geben Sie die verbleibenden Zahlen nach dem Muster "ein Quadrat nach oben, ein Quadrat nach rechts" ein
Sie geben die Zahlen immer nacheinander ein (1, 2, 3, 4 usw.), indem Sie eine Zeile nach oben und dann eine Spalte nach rechts gehen. Bald werden Sie feststellen, dass Sie sich zum Platzieren der Zahl 2 über die oberste Reihe hinaus aus dem magischen Quadrat bewegen. Es spielt keine Rolle, denn obwohl Sie Zahlen immer ein Feld höher eingeben, gibt es rechts von diesem einen Feld drei Ausnahmen, die ebenfalls gemusterte und vorhersehbare Regeln haben:
- Wenn die Bewegung der Zahlenfüllung Sie zu einem Kästchen führt, das durch die obere Reihe des magischen Quadrats verläuft, bleiben Sie in der Spalte dieses Quadrats, platzieren Sie die Zahl jedoch in der unteren Reihe dieser Spalte.
- Wenn die Bewegung der Nummerierung Sie zu einem Kästchen führt, das durch die ganz rechte Spalte des magischen Quadrats verläuft, bleiben Sie in der Reihe dieses Quadrats, aber platzieren Sie die Zahlen in der Spalte ganz links dieser Reihe.
- Wenn Sie durch die Bewegung der Füllzahlen zu einem gefüllten Feld gehen, kehren Sie zum vorherigen gefüllten Feld zurück und platzieren Sie die nächste Zahl unter diesem Feld.
Methode 2 von 3: Magische Quadrate gerader Ordnung lösen, nicht Vielfache von Vier
Schritt 1. Verstehe, was mit einem magischen Quadrat gerader Ordnung und nicht einem Vielfachen von vier gemeint ist
Jeder weiß, dass gerade Zahlen durch zwei teilbar sind, aber in magischen Quadraten gibt es verschiedene Methoden zum Lösen von Quadraten gerader Ordnung, die kein Vielfaches von vier sind (einfach gerades magisches Quadrat) und solche, die ein Vielfaches von vier sind (zweifach gerades magisches Quadrat)..
- Quadrate gerader Ordnung, die kein Vielfaches von vier sind, haben auf jeder Seite eine Anzahl von Quadraten, die durch zwei, aber nicht durch vier teilbar sind.
- Magische Quadrate gerader Ordnung, die kein Vielfaches von vier sind, sind das kleinste 6x6, da 2x2 magische Quadrate nicht erzeugt werden können.
Schritt 2. Berechnen Sie die magische Konstante
Verwenden Sie die gleiche Methode wie bei einem magischen Quadrat ungerader Ordnung: die magische Konstante = [n * (n * n + 1)] / 2, wobei n = die Anzahl der Quadrate auf jeder Seite. Im Beispiel eines magischen 6x6-Quadrats:
- Summe = [6*(6*6+1)]/2
- Summe = [6 * (36 + 1)] / 2
- Menge = (6 * 37) / 2
- Menge = 222 / 2
- Die magische Konstante für ein magisches 6x6-Quadrat ist 222/2, also 111.
- Alle Reihen, Spalten und Diagonalen müssen diese Zahl ergeben.
Schritt 3. Teilen Sie das magische Quadrat in vier gleich große Quadranten
Markieren Sie sie mit A (oben links), C (oben rechts), D (unten links) und B (unten rechts). Um herauszufinden, wie groß jeder Quadrant sein sollte, teilen Sie einfach die Anzahl der Quadrate in jeder Zeile oder Spalte durch zwei.
Für ein 6x6-Quadrat beträgt die Größe jedes Quadranten also 3x3 Quadrate
Schritt 4. Geben Sie jedem Quadranten einen Zahlenbereich
Quadrant A erhält ein Viertel der ersten Zahlen, Quadrant B ist ein Viertel der zweiten Zahlen, Quadrant C ist ein Viertel der dritten Zahlen und Quadrant D ist das letzte Viertel des gesamten Zahlenbereichs für ein 6x6 magisches Quadrat.
Im 6x6-Quadrat-Beispiel wird Quadrant A von 1 bis 9 nummeriert, Quadrant B mit 10 bis 18, Quadrant C mit 19 bis 27 und Quadrant D mit 28 bis 36
Schritt 5. Lösen Sie jeden Quadranten mit der Methodik für magische Quadrate ungerader Ordnung
Quadrant A wird leicht zu füllen sein, da er mit der Zahl 1 beginnt, genau wie ein magisches Quadrat im Allgemeinen. Aber für die Quadranten B bis D beginnen wir in diesem Beispiel mit den ungewöhnlichen Zahlen 10, 19 und 28.
- Stellen Sie sich die erste Zahl in jedem Quadranten so vor, als ob es eine wäre. Legen Sie es in das mittlere Feld in der obersten Reihe jedes Quadranten.
- Stellen Sie sich jeden Quadranten so vor, als ob er sein eigenes magisches Quadrat wäre. Auch wenn sich eine Box in einem angrenzenden Quadranten befindet, ignorieren Sie die Box und gehen Sie nach der situationsgerechten „Ausnahme“-Regel vor.
Schritt 6. Erstellen Sie die Highlights A und D
Wenn Sie an dieser Stelle versuchen, die Spalten, Zeilen und Diagonalen zu addieren, werden Sie feststellen, dass sie noch nicht der magischen Konstante entsprechen. Sie müssen ein paar Quadrate zwischen dem oberen linken und unteren linken Quadranten vertauschen, um das magische Quadrat zu vervollständigen. Wir werden diese vertauschten Bereiche als Highlights A und Highlights D bezeichnen. (Anmerkungen:
die Erklärungen in diesem und im nächsten Schritt beziehen sich spezieller auf 6x6 magische Quadrate, die für größere magische Quadrate möglicherweise nicht geeignet sind).
- Markieren Sie mit einem Bleistift alle Kästchen in der oberen Reihe, bis Sie die mittlere Kästchenposition von Quadrant A erreichen. (Hinweis: Der Median ergibt sich aus der Formel n = (4 * m) + 2, mit m als Median). In einem 6x6-Quadrat würden Sie also nur Feld 1 markieren (das die Zahl 8 in der Box enthält), aber in einem 10x10-Feld würden Sie die Felder 1 und 2 markieren (die die Zahlen 17 bzw. 24 in beiden Feldern enthalten.)).).
- Markieren Sie einen Bereich als Quadrat, indem Sie die Kästchen verwenden, die als oberste Reihe markiert wurden. Wenn Sie nur ein Kästchen markieren, ist Ihr Quadrat nur dieses eine Kästchen. Wir werden diesen Bereich als Highlight A-1 bezeichnen.
- Für ein magisches 10x10-Quadrat würde Highlight A-1 also aus den Quadraten 1 und 2 in den Reihen 1 und 2 bestehen, die ein 2x2-Quadrat oben links im Quadranten bilden.
- Überspringen Sie in der Zeile unter Highlight A-1 die Quadrate in der ersten Spalte und markieren Sie dann die Quadrate in der Mitte des Quadranten. Wir nennen diese mittlere Reihe Highlight A-2.
- Highlight A-3 ist ein Quadrat, das mit A-1 identisch ist, jedoch in der unteren linken Ecke des Quadranten.
- Die Highlights A-1, A-2 und A-3 bilden zusammen Highlight A.
- Wiederholen Sie diesen Vorgang in Quadrant D und erstellen Sie identische Hervorhebungsbereiche, die als D-Highlights bezeichnet werden.
Schritt 7. Vertauschen Sie die Highlights A und D
Dies ist ein Austausch nach dem anderen. Verschieben und wechseln Sie die Kästchen zwischen Quadrant A und Quadrant D, ohne die Reihenfolge zu ändern (siehe Abbildung). Wenn Sie das getan haben, sollten alle Zeilen, Spalten und Diagonalen im magischen Quadrat die von Ihnen berechnete magische Konstante ergeben.
Methode 3 von 3: Magische Quadrate von Vielfachen von vier gerader Ordnung lösen
Schritt 1. Verstehen Sie, was mit einem magischen Quadrat eines geraden Vielfachen von vier gemeint ist
Ein magisches Quadrat gerader Ordnung, das kein Vielfaches von vier ist, hat auf jeder Seite eine Anzahl von Quadraten, die durch zwei, aber nicht durch vier teilbar sind. Ein magisches Quadrat mit einem Vielfachen von vier gerader Ordnung hat die Anzahl der Quadrate auf jeder Seite, die durch vier teilbar ist.
Das kleinste Vielfache gerader Ordnung von vier, das gemacht werden kann, ist 4x4
Schritt 2. Berechnen Sie die magische Konstante
Verwenden Sie die gleiche Methode wie bei einem magischen Quadrat ungerader Ordnung: die magische Konstante = [n * (n * n + 1)] / 2, wobei n = die Anzahl der Quadrate auf jeder Seite. Im Beispiel eines magischen 4x4-Quadrats:
- Summe = [4*(4*4+1)]/2
- Summe = [4 * (16 + 1)] / 2
- Menge = (4 * 17) / 2
- Menge = 68 / 2
- Die magische Konstante für ein magisches 4x4-Quadrat ist 68/2, also 34.
- Alle Reihen, Spalten und Diagonalen müssen diese Zahl ergeben.
Schritt 3. Erstellen Sie die Highlights A bis D
Markieren Sie an jeder Ecke des magischen Quadrats ein Miniquadrat mit der Seitenlänge n/4, wobei n = Seitenlänge des magischen Quadrats ist. Beschriften Sie mit den Highlights A, B, C und D gegen den Uhrzeigersinn.
- In einem 4x4-Quadrat markieren Sie nur die vier Ecken des Quadrats.
- In einem 8x8-Quadrat ist jedes Highlight ein 2x2-Bereich in seiner Ecke.
- In einem 12x12-Quadrat ist jedes Highlight ein 3x3-Bereich in seiner Ecke und so weiter.
Schritt 4. Erstellen Sie eine zentrale Hervorhebung
Markiere alle Quadrate in der Mitte des magischen Quadrats im quadratischen Bereich der Länge n/2, wobei n = Seitenlänge des magischen Quadrats. Die Center-Highlights sollten die Highlights A bis D überhaupt nicht treffen, sondern sich nur in der Ecke mit jedem von ihnen schneiden.
- In einem 4x4-Quadrat ist das Center Highlight ein 2x2-Bereich in der Mitte.
- In einem 8x8-Quadrat ist das Center Highlight der 4x4-Bereich in der Mitte und so weiter.
Schritt 5. Füllen Sie das magische Quadrat aus, jedoch nur in den hervorgehobenen Bereichen
Beginnen Sie, die Zahl im magischen Quadrat von links nach rechts einzugeben, aber geben Sie die Zahl nur dann ein, wenn sich das Quadrat im Markierungsfeld befindet. Für ein 4x4-Raster würden Sie also die folgenden Felder ausfüllen:
- Nummer 1 in der oberen linken Box und 4 in der oberen rechten Box.
- Zahlen 6 und 7 in den mittleren Quadraten der zweiten Reihe.
- Die Zahlen 10 und 11 stehen in den mittleren Quadraten der dritten Reihe.
- Die Zahl ist 13 im unteren linken Kästchen und 16 im unteren rechten Kästchen.
Schritt 6. Füllen Sie die restlichen Quadrate des magischen Quadrats in umgekehrter Zählreihenfolge aus
Dieser Schritt ist im Grunde die Umkehrung des vorherigen Schritts. Beginnen Sie erneut mit dem oberen linken Feld, aber überspringen Sie diesmal alle Quadrate im markierten Bereich und füllen Sie die nicht markierten Quadrate in umgekehrter Zählreihenfolge aus. Beginnen Sie mit der größten Zahl in Ihrem Nummernkreis. Für ein magisches 4x4-Quadrat würden Sie also die folgenden Felder ausfüllen:
- Die Zahlen 15 und 14 befinden sich in den mittleren Quadraten der ersten Reihe.
- Die Zahl 12 im linken Feld und 9 im rechten Feld in der zweiten Reihe.
- Nummern 8 im Feld ganz links und 5 im Feld ganz rechts in der dritten Reihe.
- Nummern 3 und 2 in den mittleren Quadraten der vierten Reihe.
- An diesem Punkt sollten sich alle Spalten, Zeilen und Diagonalen zu der von Ihnen berechneten magischen Konstante addieren.
