Das Vervollständigen von Quadraten ist eine nützliche Technik, um quadratische Gleichungen in eine saubere Form zu bringen, die es leicht macht, sie zu sehen oder sogar zu lösen. Sie können Quadrate vervollständigen, um komplexere quadratische Formeln zu erstellen oder sogar quadratische Gleichungen zu lösen. Wenn Sie wissen möchten, wie es geht, befolgen Sie diese Schritte.
Schritt
Teil 1 von 2: Gewöhnliche Gleichungen in quadratische Funktionen umwandeln
Schritt 1. Schreiben Sie die Gleichung auf
Angenommen, Sie möchten die folgende Gleichung lösen: 3x2 - 4x + 5.
Schritt 2. Entnehmen Sie die Koeffizienten der quadratischen Variablen aus den ersten beiden Teilen
Um die Nummer 3 aus den ersten beiden Teilen zu erhalten, nehmen Sie einfach die Nummer 3 heraus und setzen Sie sie außerhalb der Klammern, indem Sie jeden Teil durch 3 teilen. 3x2 geteilt durch 3 ist x2 und 4x geteilt durch 3 ist 4/3x. Die neue Gleichung wird also: 3(x2 - 4/3x) + 5. Die Zahl 5 bleibt außerhalb der Gleichung, da sie nicht durch die Zahl 3 geteilt wird.
Schritt 3. Teilen Sie den zweiten Teil durch 2 und quadrieren Sie ihn
Der zweite Teil oder das sogenannte b in der Gleichung ist 4/3. Durch zwei teilen. 4/3 2 oder 4/3 x 1/2 entspricht 2/3. Nun quadrieren Sie diesen Abschnitt, indem Sie Zähler und Nenner des Bruchs quadrieren. (2/3)2 = 4/9. Schreib es auf.
Schritt 4. Addieren und subtrahieren Sie diese Teile von der Gleichung
Sie benötigen diesen zusätzlichen Teil, um die Gleichung wieder auf ein perfektes Quadrat zu bringen. Sie müssen sie jedoch vom Rest der Gleichung abziehen, um sie zu addieren. Es sieht jedoch so aus, als ob Sie zu Ihrer ursprünglichen Gleichung zurückkehren würden. Ihre Gleichung sieht so aus: 3(x2 - 4/3 x + 4/9 - 4/9) + 5.
Schritt 5. Entfernen Sie den Teil, den Sie von den Klammern abgezogen haben
Da Sie einen Koeffizienten von 3 außerhalb der Klammern haben, können Sie nicht einfach -4/9 ausgeben. Du musst es zuerst mit 3 multiplizieren. -4/9 x 3 = -12/9 oder -4/3. Wenn Sie im Abschnitt x einen Koeffizienten von 1 haben2, dann können Sie diesen Schritt überspringen.
Schritt 6. Ändern Sie den Teil in den Klammern in ein perfektes Quadrat
Nun gibt es 3(x2 -4/3x +4/9) in Klammern. Sie haben bereits versucht, 4/9 zu erreichen, was eigentlich eine andere Möglichkeit ist, das Quadrat zu vervollständigen. Sie können es also umschreiben als: 3(x - 2/3)2. Alles, was Sie tun müssen, ist die zweite Hälfte zu teilen und die dritte zu eliminieren. Sie können Ihre Arbeit überprüfen, indem Sie sie multiplizieren und die ersten drei Teile der Gleichung aufstellen.
-
3(x - 2/3)2 =
Vervollständigen Sie den quadratischen Schritt 6Bullet1 - 3(x - 2/3)(x -2/3) =
- 3[(x2 -2/3x -2/3x + 4/9)]
- 3(x2 - 4/3x + 4/9)
Schritt 7. Kombinieren Sie die Konstanten
Jetzt gibt es zwei Konstanten oder Zahlen, die keine Variablen haben. Jetzt haben Sie 3(x - 2/3)2 - 4/3 + 5. Alles, was Sie tun müssen, ist -4/3 und 5 zu addieren, um 11/3 zu erhalten. Sie addieren sie, indem Sie die Nenner gleichsetzen: -4/3 und 15/3 und dann die Zahlen so addieren, dass Sie 11 erhalten und den Nenner 3 lassen.
-
-4/3 + 15/3 = 11/3.
Schließen Sie den quadratischen Schritt ab 7Bullet1
Schritt 8. Schreiben Sie die Gleichung in quadratischer Form
Du hast gemacht. Die endgültige Gleichung ist 3(x - 2/3)2 +11/3. Sie können den Koeffizienten von 3 eliminieren, indem Sie beide Seiten der Gleichung teilen, um (x - 2/3) zu erhalten.2 +11/9. Sie haben die Gleichung erfolgreich in quadratische Form geschrieben, nämlich a(x-h)2 +k, wobei k eine Konstante darstellt.
Teil 2 von 2: Quadratische Gleichungen lösen
Schritt 1. Schreiben Sie die Fragen auf
Angenommen, Sie möchten die folgende Gleichung lösen: 3x2 + 4x + 5 = 6
Schritt 2. Kombinieren Sie die vorhandenen Konstanten und platzieren Sie sie auf der linken Seite der Gleichung
Eine Konstante ist eine beliebige Zahl, die keine Variable hat. In diesem Problem ist die Konstante links 5 und rechts 6. Wenn Sie 6 nach links verschieben möchten, müssen Sie beide Seiten der Gleichung um 6 subtrahieren. Der Rest ist 0 auf der rechten Seite (6-6) und -1 auf der linken Seite (5-6). Die Gleichung wird: 3x2 + 4x - 1 = 0.
Schritt 3. Geben Sie den Koeffizienten der quadratischen Variablen aus
In diesem Problem ist 3 der Koeffizient von x2. Um die Zahl 3 zu erhalten, nimm einfach die Zahl 3 heraus und teile jeden Teil durch 3. Also, 3x2 3 = x2, 4x 3 = 4/3x und 1 3 = 1/3. Die Gleichung wird: 3(x2 + 4/3x - 1/3) = 0.
Schritt 4. Dividiere durch die soeben extrahierte Konstante
Dies bedeutet, dass Sie den Koeffizienten 3 entfernen können. Da Sie bereits jeden Teil durch 3 geteilt haben, können Sie die Zahl 3 entfernen, ohne die Gleichung zu beeinflussen. Ihre Gleichung wird x2 + 4/3x - 1/3 = 0
Schritt 5. Teilen Sie den zweiten Teil durch 2 und quadrieren Sie ihn
Als nächstes nimm den zweiten Teil, 4/3 oder Teil b und dividiere ihn durch 2. 4/3 2 oder 4/3 x 1/2, ergibt 4/6 oder 2/3. Und 2/3 im Quadrat zu 4/9. Sobald Sie es quadriert haben, müssen Sie es auf die linke und rechte Seite der Gleichung schreiben, da Sie einen neuen Teil hinzufügen. Sie müssen es auf beiden Seiten schreiben, um es auszugleichen. Die Gleichung wird x2 + 4/3 x + 2/32 - 1/3 = 2/32
Schritt 6. Verschieben Sie die Anfangskonstante auf die rechte Seite der Gleichung und addieren Sie sie zum Quadrat Ihrer Zahl
Verschieben Sie die Anfangskonstante -1/3 nach rechts, so dass sie 1/3 beträgt. Fügen Sie das Quadrat Ihrer Zahl hinzu, 4/9 oder 2/32. Finden Sie einen gemeinsamen Nenner, um 1/3 und 4/9 zu addieren, indem Sie die oberen und unteren Brüche von 1/3 mit 3 multiplizieren. 1/3 x 3/3 = 3/9. Addiere nun 3/9 und 4/9, um 7/9 auf der rechten Seite der Gleichung zu erhalten. Die Gleichung wird: x2 + 4/3 x + 2/32 = 4/9 + 1/3 dann x2 + 4/3 x + 2/32 = 7/9.
Schritt 7. Schreiben Sie die linke Seite der Gleichung als perfektes Quadrat auf
Da Sie die Formel bereits verwendet haben, um das fehlende Teil zu finden, wurde der schwierige Teil übersprungen. Alles, was Sie tun müssen, ist x und den halben Wert des zweiten Koeffizienten in Klammern zu setzen und zu quadrieren, zum Beispiel: (x + 2/3)2. Beachten Sie, dass die Faktorisierung eines perfekten Quadrats drei Teile ergibt: x2 + 4/3 x + 4/9. Die Gleichung wird: (x + 2/3)2 = 7/9.
Schritt 8. Quadratwurzel beider Seiten
Auf der linken Seite der Gleichung die Quadratwurzel von (x + 2/3)2 ist x + 2/3. Auf der rechten Seite der Gleichung erhalten Sie +/- (√7)/3. Die Quadratwurzel des Nenners 9 ist 3 und die Quadratwurzel von 7 ist 7. Denken Sie daran, +/- zu schreiben, da die Quadratwurzel positiv oder negativ sein kann.
Schritt 9. Verschieben Sie die Variablen
Um die Variable x zu verschieben, verschieben Sie einfach die Konstante 2/3 auf die rechte Seite der Gleichung. Jetzt haben Sie zwei mögliche Antworten für x: +/- (√7)/3 - 2/3. Das sind Ihre beiden Antworten. Sie können es in Ruhe lassen oder den Wert der Quadratwurzel von 7 ermitteln, wenn Sie eine Antwort ohne Quadratwurzel schreiben müssen.
Tipps
- Achten Sie darauf, an der entsprechenden Stelle +/- zu schreiben, sonst erhalten Sie nur eine Antwort.
- Auch nachdem Sie die quadratische Formel kennen, üben Sie regelmäßig, das Quadrat zu vervollständigen, indem Sie entweder die quadratische Formel beweisen oder einige Probleme lösen. Auf diese Weise vergessen Sie die Methode nicht, wenn Sie sie brauchen.
