Der Satz des Pythagoras beschreibt auf elegante und praktische Weise die Längen der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, so dass dieser Satz heute noch weit verbreitet ist. Dieser Satz besagt, dass für jedes rechtwinklige Dreieck die Summe der Quadrate der nicht abgewinkelten Seiten gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist. Mit anderen Worten, für ein rechtwinkliges Dreieck mit den senkrechten Seiten a und b und der Hypotenuse c gilt: ein2 + b2 = c2.
Der Satz des Pythagoras ist einer der Grundpfeiler der elementaren Geometrie. Es gibt unzählige Anwendungen, die dieses Theorem verwenden, um zum Beispiel den Abstand zwischen zwei Punkten auf einer Koordinatenebene einfach zu finden.
Schritt
Methode 1 von 2: Finden der Seiten eines rechten Dreiecks
Schritt 1. Stellen Sie sicher, dass Ihr Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck ist
Der Satz des Pythagoras gilt nur für rechtwinklige Dreiecke, daher ist es sehr wichtig, bevor Sie fortfahren, sicherzustellen, dass Ihre Dreiecke den Eigenschaften von rechtwinkligen Dreiecken entsprechen. Glücklicherweise gibt es einen Faktor, der darauf hinweisen kann, dass Ihr Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck ist. Ihr Dreieck sollte einen 90-Grad-Winkel haben.
Als Zeichen werden rechtwinklige Dreiecke oft mit kleinen Quadraten markiert, um 90-Grad-Winkel zu markieren, ohne gekrümmte "Kurven". Suchen Sie nach dieser besonderen Markierung in der Ecke Ihres Dreiecks
Schritt 2. Geben Sie die Variablen a, b und c für die Seiten Ihres Dreiecks an
Im Satz des Pythagoras repräsentieren die Variablen a und b die Seiten, die sich im rechtwinkligen Dreieck treffen, während die Variable c die Hypotenuse repräsentiert – die lange Seite gegenüber dem rechten Winkel. Markieren Sie also zunächst die kurzen Seiten Ihres Dreiecks mit den Variablen a und b (es spielt keine Rolle, ob Sie sie vertauschen) und markieren Sie die Hypotenuse mit der Variablen c.
Schritt 3. Entscheiden Sie, welche Seite des Dreiecks Sie lösen möchten
Der Satz des Pythagoras ermöglicht es Mathematikern, die Länge jeder Seite eines rechtwinkligen Dreiecks zu bestimmen, solange sie die Längen der anderen beiden Seiten kennen. Bestimmen Sie, welche Seite unbekannt ist – a, b und/oder c. Wenn die Länge einer Ihrer Seiten unbekannt ist, können Sie weitermachen.
- Zum Beispiel wissen wir, dass die Länge der Hypotenuse eines Dreiecks 5 und die Länge einer der anderen Seiten 3 beträgt, aber wir sind uns der Länge der dritten Seite nicht sicher. In diesem Fall wissen wir, dass wir nach der Länge der dritten Seite suchen, und da wir die Längen der anderen beiden kennen, können wir sie lösen! Wir werden dieses Problem mit den folgenden Schritten beheben.
- Wenn Sie die Längen von zwei Seiten nicht kennen, müssen Sie eine der Seiten kennen, um den Satz des Pythagoras anwenden zu können. Grundlegende trigonometrische Funktionen können Ihnen helfen, wenn Sie eine Seite eines Dreiecks kennen, die nicht geneigt ist.
Schritt 4. Setzen Sie die zweiseitigen Werte, die Sie bereits kennen, in die Gleichung ein
Setze die Längen der Seiten deines Dreiecks in die Gleichung a. ein2 + b2 = c2. Denken Sie daran, dass a und b nicht geneigte Seiten sind, während c die Hypotenuse ist.
In unserem Beispiel kennen wir die Länge einer der Seiten und die Hypotenuse (3 & 5), also lautet die Gleichung 3² + b² = 5²
Schritt 5. Quadrat
Um Ihre Gleichung zu lösen, beginnen Sie damit, die bekannten Seiten zu quadrieren. Alternativ, wenn Sie dies einfacher finden, können Sie Ihre Seitenlängen quadrieren lassen und sie später quadrieren.
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In unserem Beispiel werden wir 3 und 5 quadrieren, so dass wir erhalten
Schritt 9. da
Schritt 25.. Wir können die Gleichung als 9 + b² = 25 schreiben.
Schritt 6. Verschieben Sie die unbekannte Variable auf die andere Seite der Gleichung
Verwenden Sie bei Bedarf grundlegende algebraische Operationen, um die unbekannte Variable auf die andere Seite der Gleichung und das Quadrat der anderen beiden Variablen auf die andere Seite zu verschieben. Wenn Sie die Länge der Hypotenuse ermitteln möchten, befindet sich c bereits auf der anderen Seite der Gleichung, sodass Sie nichts tun müssen, um sie zu verschieben.
In unserem Beispiel lautet die aktuelle Gleichung 9 + b² = 25. Um b² zu verschieben, subtrahieren Sie beide Seiten der Gleichung um 9, so dass das Ergebnis b² = 16 ist
Schritt 7. Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung
Jetzt wird nur noch eine Variable auf einer Seite quadriert und auf der anderen nummeriert. Quadratwurzel beider Seiten, um die Länge der unbekannten Seite zu ermitteln.
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In unserem Beispiel b² = 16 ergibt die Quadratwurzel beider Seiten b = 4. Somit können wir sagen, dass die Länge der unbekannten Seite des Dreiecks ist
Schritt 4..
Schritt 8. Verwenden Sie den Satz des Pythagoras, um die Seiten eines echten rechtwinkligen Dreiecks zu finden
Der Grund, warum der Satz des Pythagoras heute weit verbreitet ist, ist, dass er auf unzählige praktische Situationen angewendet werden kann. Lernen Sie rechtwinklige Dreiecke im wirklichen Leben kennen – in jeder Situation, in der zwei Objekte oder gerade Linien einen rechten Winkel treffen und das dritte Objekt oder die dritte Linie die beiden Objekte oder Linien diagonal verbindet, können Sie mit dem Satz des Pythagoras die Länge der Seite ermitteln die andere, wenn die Längen der anderen beiden Seiten bekannt sind.
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Versuchen wir es mit einem echten Beispiel, das etwas schwieriger ist. Eine Leiter lehnt sich an ein Gebäude. Der Abstand vom unteren Ende der Treppe zur Wand beträgt 5 Meter. Die Höhe der Treppe erreicht 20 Meter. Wie lang ist die Leiter?
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5 Meter von der Wand entfernt und 20 Meter hoch sagt uns die Längen der Seiten des Dreiecks. Da Wand und Boden (angenommen) einen rechten Winkel bilden und die Leiter diagonal gegen die Wand abgestützt ist, kann diese Anordnung als rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen a = 5 und b = 20 betrachtet werden. Die Länge der Leiter ist die Hypotenuse, also ist der Wert von c nicht bekannt. Verwenden wir den Satz des Pythagoras:
- a² + b² = c²
- (5)² + (20)² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- Wurzel(425) = c
- c = 20,6. Die ungefähre Länge der Leiter beträgt 20,6 Meter.
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Methode 2 von 2: Berechnen des Abstands zwischen zwei Punkten in der X-Y-Ebene
Schritt 1. Finden Sie zwei Punkte in der X-Y-Ebene
Mit dem Satz des Pythagoras lässt sich leicht der geradlinige Abstand zwischen zwei Punkten in der X-Y-Ebene berechnen. Alles, was Sie wissen müssen, sind die x- und y-Koordinaten der beiden Punkte. Normalerweise werden diese Koordinaten zusammen in der Form (x, y) geschrieben.
Um den Abstand zwischen diesen beiden Punkten zu ermitteln, betrachten wir jeden Punkt als einen der nicht rechten Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks. Auf diese Weise können Sie leicht die Längen der Seiten a und b ermitteln und dann die Hypotenuse c berechnen, die der Abstand zwischen den beiden Punkten ist
Schritt 2. Zeichnen Sie Ihre beiden Punkte in das Bild
In einer regulären X-Y-Ebene repräsentiert jeder Punkt (x, y) x eine horizontale Koordinate und y repräsentiert eine vertikale Koordinate. Sie können den Abstand zwischen den beiden Punkten finden, ohne ihn zu zeichnen, aber dadurch erhalten Sie ein visuelles Bild, mit dem Sie sehen können, ob Ihre Antwort richtig ist.
Schritt 3. Finden Sie die Länge der nicht schrägen Seite Ihres Dreiecks
Bestimmen Sie die Längen der Seiten a und b des Dreiecks, indem Sie die beiden Punkte als Winkel des an die Hypotenuse angrenzenden Dreiecks verwenden. Sie können dies mit einem Bild oder mit der Formel |x. tun1 - x2| für die horizontale Seite und |y1 - ja2| für die vertikale Seite, mit (x1, ja1) als erster Punkt und (x2, ja2) als zweiter Punkt.
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Unsere beiden Punkte seien (6, 1) und (3, 5). Die Länge der horizontalen Seite unseres Dreiecks beträgt:
- |x1 - x2|
- |3 - 6|
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| -3 | =
Schritt 3.
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Die Länge der vertikalen Seite beträgt:
- |y1 - ja2|
- |1 - 5|
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| -4 | =
Schritt 4.
- Also, in unserem rechtwinkligen Dreieck, Seite a = 3 und Seite b = 4.
Schritt 4. Verwenden Sie den Satz des Pythagoras, um die Länge der Hypotenuse zu bestimmen
Der Abstand zwischen zwei Punkten ist die Länge der Hypotenuse des Dreiecks, dessen zwei Seiten Sie gerade gefunden haben. Verwenden Sie den Satz des Pythagoras, um die Hypotenuse zu finden, wobei a die Länge der ersten Seite und b die Länge der zweiten Seite ist.
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In unserem Beispiel verwenden wir die Punkte (3, 5) und (6, 1), deren Seitenlängen 3 und 4 sind, sodass wir die Hypotenuse wie folgt finden können:
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- (3)²+(4)²= c²
- c= Wurzel (9+16)
- c= Wurzel(25)
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c= 5. Der Abstand zwischen (3, 5) und (6, 1) ist
Schritt 5..
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Tipps
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Die Hypotenuse ist immer:
- gegenüber dem rechten Winkel (ohne den rechten Winkel zu berühren)
- längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck
- genannt c im Satz des Pythagoras
- Wurzel (x) bedeutet die Quadratwurzel von x.
- Denken Sie daran, Ihre Antworten immer zu überprüfen. Wenn Ihre Antwort falsch erscheint, versuchen Sie es erneut und versuchen Sie es erneut.
- Wenn das Dreieck kein rechtwinkliges Dreieck ist, benötigen Sie zusätzliche Informationen, nicht nur die Längen der anderen beiden Seiten.
- Eine andere Möglichkeit der Überprüfung – die längste Seite liegt dem größten Winkel gegenüber und die kürzeste Seite dem kleinsten Winkel.
- Zahlen sind der Schlüssel, um die richtigen Werte für a, b und c aufzuschreiben. Wenn Sie an einem Story-Problem arbeiten, schreiben Sie das Problem zuerst in Bildform auf.
- Wenn Sie nur die Länge einer Seite kennen, funktioniert der Satz des Pythagoras nicht. Versuchen Sie es mit Trigonometrie (sin, cos, tan) oder den Verhältnissen 30-60-90 / 45-45-90.
