In der Ableitungsrechnung ist ein Wendepunkt der Punkt auf einer Kurve, an dem das Vorzeichen der Kurve wechselt (von positiv zu negativ oder von negativ zu positiv). Es wird in einer Vielzahl von Fächern verwendet, darunter Ingenieurwissenschaften, Wirtschaftswissenschaften und Statistik, um grundlegende Veränderungen von Daten zu bestimmen. Wenn Sie den Wendepunkt einer Kurve finden müssen, fahren Sie mit Schritt 1 fort.
Schritt
Methode 1 von 3: Wendepunkte verstehen
Schritt 1. Verstehen Sie die konkave Funktion
Um den Wendepunkt zu verstehen, müssen Sie zwischen konkaven und konvexen Funktionen unterscheiden. Eine konkave Funktion ist eine Funktion, bei der die Linie, die zwei Punkte auf dem Graphen verbindet, nie über dem Graphen liegt.
Schritt 2. Verstehen Sie die konvexe Funktion
Eine konvexe Funktion ist im Grunde das Gegenteil einer konvexen Funktion: Das heißt, eine Funktion, bei der die Verbindungslinie zweier Punkte auf dem Graphen niemals unter dem Graphen liegt.
Schritt 3. Verstehen Sie die Grundlagen einer Funktion
Die Basis einer Funktion ist der Punkt, an dem die Funktion gleich Null ist.
Wenn Sie eine Funktion grafisch darstellen möchten, sind die Basen die Punkte, an denen die Funktion die x-Achse schneidet
Methode 2 von 3: Ermitteln der Ableitung einer Funktion
Schritt 1. Finden Sie die erste Ableitung Ihrer Funktion
Bevor Sie den Wendepunkt finden können, müssen Sie die Ableitung Ihrer Funktion ermitteln. Die Ableitung der Grundfunktion kann in jedem Mathematikbuch gefunden werden; Sie müssen sie lernen, bevor Sie zu komplizierteren Jobs übergehen können. Die erste Ableitung wird als f '(x) geschrieben. Für einen polynomischen Ausdruck der Form axp + bx(p−1) + cx + d ist die erste Ableitung apx(p−1) + b(p 1)x(p−2) + c.
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Nehmen wir zur Veranschaulichung an, dass Sie den Wendepunkt der Funktion f(x) = x3 +2x−1 finden müssen. Berechnen Sie die erste Ableitung der Funktion wie folgt:
f (x) = (x3 + 2x 1)′ = (x3)′ + (2x)′ (1)′ = 3x2 + 2 + 0 = 3x2 + 2
Schritt 2. Finden Sie die zweite Ableitung Ihrer Funktion
Die zweite Ableitung ist die erste Ableitung der ersten Ableitung der Funktion, geschrieben als f (x).
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Im obigen Beispiel würde die Berechnung der zweiten Ableitung der Funktion wie folgt aussehen:
f (x) = (3x2 + 2)′ = 2 × 3 × x + 0 = 6x
Schritt 3. Machen Sie die zweite Ableitung gleich Null
Setzen Sie Ihre zweite Ableitung gleich Null und lösen Sie die Gleichung. Ihre Antwort ist ein möglicher Wendepunkt.
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Im obigen Beispiel würde Ihre Berechnung so aussehen:
f(x) = 0
6x = 0
x=0
Schritt 4. Finden Sie die dritte Ableitung Ihrer Funktion
Um zu sehen, ob Ihre Antwort wirklich ein Wendepunkt ist, finden Sie die dritte Ableitung, die die erste Ableitung der zweiten Ableitung der Funktion ist, geschrieben als f (x).
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Im obigen Beispiel würde Ihre Berechnung so aussehen:
f (x) = (6x)′ = 6
Methode 3 von 3: Wendepunkte finden
Schritt 1. Überprüfen Sie Ihre dritte Ableitung
Die Standardregel zur Überprüfung möglicher Wendepunkte lautet: „Wenn die dritte Ableitung nicht Null ist, f (x) =/ 0, ist der mögliche Wendepunkt tatsächlich der Wendepunkt.“Überprüfen Sie Ihre dritte Ableitung. Wenn er ungleich Null ist, ist dieser Wert der wahre Wendepunkt.
Im obigen Beispiel ist Ihre dritte Ableitung 6, nicht 0. Somit ist 6 der wahre Wendepunkt
Schritt 2. Finden Sie den Wendepunkt
Die Koordinaten des Wendepunkts werden als (x, f(x)) geschrieben, wobei x der Wert des variablen Punktes am Wendepunkt und f(x) der Funktionswert am Wendepunkt ist.
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Denken Sie im obigen Beispiel daran, dass Sie bei der Berechnung der zweiten Ableitung x = 0 finden. Daher müssen Sie f(0) ermitteln, um Ihre Koordinaten zu bestimmen. Ihre Berechnung sieht wie folgt aus:
f(0) = 03 +2×0−1 = 1.
Schritt 3. Notieren Sie Ihre Koordinaten
Die Koordinaten Ihres Wendepunkts sind Ihr x-Wert und der oben berechnete Wert.
