Die Entfernung, oft mit der Variablen „s“angegeben, ist ein Maß für den Raum, das eine gerade Linie zwischen zwei Punkten ist. Der Abstand kann sich auf den Abstand zwischen zwei unbeweglichen Punkten beziehen (z die ursprüngliche Position, an der sich das Objekt zu bewegen begann. Die meisten Entfernungsprobleme können durch die Gleichung. gelöst werden s = v × t, wobei s die Entfernung ist, v die Durchschnittsgeschwindigkeit und t die Zeit ist, oder mit s = ((x2 - x1)2 + (ja2 - ja1)2), wo (x1, ja1) und (x2, ja2) sind die x- und y-Koordinaten der beiden Punkte.
Schritt
Methode 1 von 2: Berechnung der Entfernung mit Durchschnittsgeschwindigkeit und Zeit
Schritt 1. Ermitteln Sie die durchschnittlichen Geschwindigkeits- und Zeitwerte
Wenn Sie versuchen, die Entfernung zu berechnen, die ein sich bewegendes Objekt zurückgelegt hat, gibt es zwei Informationen, die für diese Berechnung wichtig sind: Geschwindigkeit (oder Geschwindigkeit) und Zeit dass das sich bewegende Objekt gereist ist. Mit diesen Informationen ist es möglich, die vom Objekt zurückgelegte Entfernung mit der Formel s = v × t zu berechnen.
Um den Vorgang der Verwendung der Distanzformel besser zu verstehen, lösen wir in diesem Abschnitt ein Beispielproblem. Nehmen wir an, wir fahren mit 120 Meilen pro Stunde (etwa 193 km pro Stunde) eine Straße entlang und möchten wissen, wie weit wir in einer halben Stunde zurückgelegt haben. Verwenden 120 Meilen pro Stunde als Wert der mittleren Geschwindigkeit und 0,5 Stunden als Wert der Zeit werden wir dieses Problem im nächsten Schritt lösen.
Schritt 2. Multiplizieren Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit mit der Zeit
Nachdem Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit eines sich bewegenden Objekts und die zurückgelegte Zeit kennen, ist die Berechnung der zurückgelegten Entfernung relativ einfach. Multiplizieren Sie einfach die beiden Werte, um die Antwort zu finden.
- Beachten Sie jedoch, dass Sie eine entsprechende Zeiteinheit ändern müssen, wenn sich die im Durchschnittsgeschwindigkeitswert verwendete Zeiteinheit von der im Zeitwert verwendeten unterscheidet. Wenn wir beispielsweise einen in km/h gemessenen Durchschnittsgeschwindigkeitswert und einen in Minuten gemessenen Zeitwert hätten, müssten Sie den Zeitwert durch 60 teilen, um ihn in Stunden umzurechnen.
- Beenden wir unser Beispielproblem. 120 Meilen/Stunde × 0,5 Stunden = 60 Meilen. Beachten Sie, dass die Einheiten im Zeitwert (Stunden) den Nenner der Durchschnittsgeschwindigkeit (Stunden) weglassen und nur die Entfernungseinheiten (Meilen) übrig lassen.
Schritt 3. Ändern Sie die Gleichung, um eine andere Variable zu berechnen
Die Einfachheit der grundlegenden Distanzgleichung (s = v × t) macht es einfach, die Gleichung zu verwenden, um den Wert einer anderen Variablen als der Distanz zu finden. Isolieren Sie einfach die Variable, die Sie nach den Grundregeln der Algebra finden möchten, und geben Sie dann die Werte der anderen beiden Variablen ein, um den Wert der dritten Variablen zu finden. Mit anderen Worten, um die Durchschnittsgeschwindigkeit des Objekts zu berechnen, verwenden Sie die Gleichung v = s/t und um die vom Objekt verstrichene Zeit zu berechnen, verwenden Sie die Gleichung t = s/v.
- Nehmen wir zum Beispiel an, wir wissen, dass ein Auto in 50 Minuten 60 Meilen zurückgelegt hat, aber wir haben keinen Wert für die durchschnittliche Geschwindigkeit, während sich das Objekt bewegt. In diesem Fall können wir die Variable v in der grundlegenden Entfernungsgleichung isolieren, um v = d/t zu erhalten, und dann einfach 60 Meilen / 50 Minuten teilen, um die Antwort 1,2 Meilen/Minute zu erhalten.
- Beachten Sie, dass im Beispiel die Antwort für die Geschwindigkeit eine ungewöhnliche Einheit hat (Meilen/Minute). Um eine Antwort in den häufigeren Meilen/Stunde zu erhalten, multiplizieren Sie mit 60 Minuten/Stunde, um das Ergebnis zu erhalten 72 Meilen/Stunde.
Schritt 4. Beachten Sie, dass sich die Variable „v“in der Distanzformel auf die Durchschnittsgeschwindigkeit bezieht
Es ist wichtig zu verstehen, dass die grundlegende Distanzformel eine vereinfachte Ansicht der Bewegung eines Objekts bietet. Die Abstandsformel geht davon aus, dass ein bewegtes Objekt eine konstante Geschwindigkeit hat – mit anderen Worten, ein bewegtes Objekt hat eine einzige, sich nicht ändernde Geschwindigkeit. Bei abstrakten mathematischen Problemen, wie sie in einem akademischen Umfeld vorkommen, ist es manchmal noch möglich, die Bewegung eines Objekts mit dieser Annahme zu modellieren. Im wirklichen Leben spiegeln diese Beispiele jedoch oft nicht genau die Bewegung sich bewegender Objekte wider, die im Laufe der Zeit tatsächlich beschleunigen, verlangsamen, anhalten und umkehren können.
- In der obigen Beispielaufgabe kamen wir beispielsweise zu dem Schluss, dass wir, um 60 Meilen in 50 Minuten zurückzulegen, mit einer Geschwindigkeit von 72 Meilen pro Stunde fahren müssten. Dies gilt jedoch nur, wenn während der gesamten Fahrt mit einer Geschwindigkeit gefahren wird. Wenn wir zum Beispiel die Hälfte der Fahrt mit 80 Meilen/Stunde und die verbleibende Hälfte mit 64 Meilen/Stunde fahren, werden wir immer noch 60 Meilen in 50 Minuten zurücklegen - 72 Meilen/Stunde = 60 Meilen/50 Minuten = ?????
- Berechnungsbasierte Lösungen, die Ableitungen verwenden, sind oft eine bessere Wahl als Entfernungsformeln, um die Geschwindigkeit eines Objekts in realen Situationen zu definieren, da Geschwindigkeitsänderungen möglich sind.
Methode 2 von 2: Berechnung des Abstands zwischen zwei Punkten
Schritt 1. Finden Sie die beiden Raumkoordinaten der beiden Punkte
Was ist, wenn Sie, anstatt die Entfernung eines sich bewegenden Objekts zu berechnen, die Entfernung zwischen zwei unbeweglichen Objekten berechnen müssen? In einem solchen Fall funktioniert die oben beschriebene geschwindigkeitsbasierte Distanzformel nicht. Glücklicherweise können verschiedene Entfernungsformeln verwendet werden, um den Luftlinienabstand zwischen zwei Punkten einfach zu berechnen. Um diese Formel zu verwenden, müssen Sie jedoch die Koordinaten der beiden Punkte kennen. Bei eindimensionalen Distanzen (wie auf einem Zahlenstrahl) bestehen die Koordinaten aus zwei Zahlen, x1 und x2. Wenn Sie Entfernungen in zwei Dimensionen verarbeiten, benötigen Sie zwei Werte (x, y), (x1, ja1) und (x2, ja2). Schließlich benötigen Sie für drei Dimensionen den Wert (x1, ja1, z1) und (x2, ja2, z2).
Schritt 2. Berechnen Sie den eindimensionalen Abstand, indem Sie die Koordinatenwerte von zwei Punkten subtrahieren
Die Berechnung des eindimensionalen Abstands zwischen zwei Punkten, wenn Sie den Wert jedes Punktes bereits kennen, ist einfach. Verwenden Sie einfach die Formel s = |x2 - x1|. In dieser Formel subtrahieren Sie x1 von x2, dann nimm den Absolutwert deiner Antwort, um den Abstand zwischen x1 und x2. Normalerweise sollten Sie die eindimensionale Distanzformel verwenden, wenn die beiden Punkte auf einer Linien- oder Zahlenachse liegen.
- Beachten Sie, dass diese Formel absolute Werte verwendet (Symbol " | |"). Absoluter Wert bedeutet nur, dass der Wert innerhalb des Symbols positiv wird, wenn er negativ ist.
-
Nehmen wir zum Beispiel an, wir halten auf einer perfekt geraden Autobahn am Straßenrand. Wenn eine Stadt 8 km vor uns und eine andere 1 km hinter uns liegt, wie weit sind die beiden Städte entfernt? Wenn wir Stadt 1 als x. setzen1 = 5 und Stadt 2 als x1 = -1, können wir s, die Entfernung zwischen den beiden Städten, wie folgt berechnen:
- s = |x2 - x1|
- = |-1 - 5|
- = |-6| = 6 Meilen.
Schritt 3. Berechnen Sie den zweidimensionalen Abstand mit dem Satz des Pythagoras
Die Berechnung des Abstands zwischen zwei Punkten im zweidimensionalen Raum ist komplizierter als im eindimensionalen, aber nicht schwierig. Verwenden Sie einfach die Formel s = ((x2 - x1)2 + (ja2 - ja1)2). Subtrahiere in dieser Formel die beiden x-Koordinaten, berechne die Quadratwurzel, subtrahiere die beiden y-Koordinaten, berechne die Quadratwurzel, addiere dann die beiden Ergebnisse und berechne die Quadratwurzel, um den Abstand zwischen den beiden Punkten zu ermitteln. Diese Formel gilt für eine zweidimensionale Ebene – zum Beispiel für einen regulären x/y-Graphen.
- Die zweidimensionale Distanzformel verwendet den Satz des Pythagoras, der besagt, dass die Länge der Hypotenuse des Dreiecks auf der rechten Seite gleich der Quadratwurzel des Quadrats auf den anderen beiden Seiten ist.
- Nehmen wir zum Beispiel an, wir haben zwei Punkte in der x-y-Ebene: (3, -10) und (11, 7), die den Mittelpunkt eines Kreises bzw. einen Punkt auf dem Kreis darstellen. Um den Luftlinienabstand zwischen zwei Punkten zu ermitteln, können wir ihn wie folgt berechnen:
- s = ((x2 - x1)2 + (ja2 - ja1)2)
- s = ((11 - 3)2 + (7 - -10)2)
- s = (64 + 289)
- s = (353) = 18, 79
Schritt 4. Berechnen Sie den dreidimensionalen Abstand, indem Sie die zweidimensionale Abstandsformel ändern
In drei Dimensionen haben Punkte zusätzlich zu den x- und y-Koordinaten auch Z-Koordinaten. Um den Abstand zwischen zwei Punkten im dreidimensionalen Raum zu berechnen, verwenden Sie s = ((x2 - x1)2 + (ja2 - ja1)2 + (z2 - z1)2). Dies ist eine modifizierte Form der oben beschriebenen zweidimensionalen Distanzformel, die die z-Koordinate enthält. Durch Subtrahieren der beiden Z-Koordinaten, Berechnen der Quadratwurzel und Fortfahren mit dem Rest der Formel wird sichergestellt, dass Ihre endgültige Antwort den dreidimensionalen Abstand zwischen den beiden Punkten darstellt.
- Nehmen wir zum Beispiel an, wir sind Astronauten, die zwischen zwei Asteroiden im Weltraum schweben. Ein Asteroid befindet sich etwa 8 km vor uns, 2 km rechts und 5 km unter uns, während der andere etwa 3 km dahinter, 3 km links und 4 km über uns liegt. Wenn wir die Positionen der beiden Asteroiden mit den Koordinaten (8, 2, -5) und (-3, -3, 4) darstellen, können wir den Abstand zwischen ihnen wie folgt berechnen:
- s = ((-3 - 8)2 + (-3 - 2)2 + (4 - -5)2)
- s = ((-11)2 + (-5)2 + (9)2)
- s = (121 + 25 + 81)
- s = (227) = 15, 07 km
