Geschwindigkeit ist definiert als die Geschwindigkeit eines Objekts in eine bestimmte Richtung. Um die Geschwindigkeit zu ermitteln, können wir in vielen Situationen die Gleichung v = s/t verwenden, wobei v gleich der Geschwindigkeit, s gleich der Gesamtentfernung des Objekts von seiner Ausgangsposition und t gleich der Zeit ist. Diese Methode liefert jedoch nur den "durchschnittlichen" Geschwindigkeitswert des Objekts über seine Verschiebung. Mithilfe der Infinitesimalrechnung können Sie die Geschwindigkeit eines Objekts an jedem Punkt entlang seiner Verschiebung berechnen. Dieser Wert wird als "Momentangeschwindigkeit" bezeichnet und kann durch die Gleichung berechnet werden v = (ds)/(dt), oder mit anderen Worten, ist die Ableitung der Gleichung für die durchschnittliche Geschwindigkeit des Objekts.
Schritt
Methode 1 von 3: Berechnung der Momentangeschwindigkeit
Schritt 1. Beginnen Sie mit der Gleichung für die Geschwindigkeit der Verschiebung des Objekts
Um den Wert der Momentangeschwindigkeit eines Objekts zu erhalten, müssen wir zunächst eine Gleichung haben, die seine Position (in Bezug auf seine Verschiebung) zu einem bestimmten Zeitpunkt beschreibt. Das bedeutet, dass die Gleichung eine Variable haben muss S (der allein steht) auf einer Seite, und T auf der anderen Seite (aber nicht unbedingt eigenständig), wie folgt:
s = -1,5t2+10t+4
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In der Gleichung sind die Variablen:
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Verschiebung = s. Das ist die Strecke, die das Objekt von seinem Ausgangspunkt zurücklegt. Fährt ein Objekt beispielsweise 10 Meter vorwärts und 7 Meter zurück, beträgt die zurückgelegte Gesamtstrecke 10 - 7 = 3 Meter (nicht 10 + 7 = 17 Meter).
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Zeit = t. Diese Variable ist selbsterklärend. Wird normalerweise in Sekunden ausgedrückt. # Nehmen Sie die Ableitung der Gleichung. Die Ableitung einer Gleichung ist eine weitere Gleichung, die den Steigungswert von einem bestimmten Punkt an geben kann. Um die Ableitung der Formel für die Verschiebung eines Objekts zu bestimmen, leiten Sie die Funktion mit der folgenden allgemeinen Regel her: Wenn y = a*x , Ableitung = a*n*xn-1. Diese Regel gilt für jede Komponente, die sich auf der "t"-Seite der Gleichung befindet.
Berechnen der Momentangeschwindigkeit Schritt 2
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- Mit anderen Worten, beginnen Sie, indem Sie die "t"-Seite der Gleichung von links nach rechts absteigen. Jedes Mal, wenn Sie den "t"-Wert erreichen, subtrahieren Sie 1 vom Exponentenwert und multiplizieren Sie das Ganze mit dem ursprünglichen Exponenten. Alle Konstanten (Variablen, die "t" nicht enthalten) gehen verloren, weil sie mit 0 multipliziert werden. Dieser Vorgang ist nicht so schwierig, wie man denkt, lassen Sie uns die Gleichung im obigen Schritt als Beispiel herleiten:
s = -1,5t2+10t+4
(2)-1,5t(2-1)+ (1)10t1 - 1 + (0)4t0
-3t1 + 10t0
- 3t + 10
Schritt 2. Ersetzen Sie die Variable „s“durch „ds/dt
"Um zu zeigen, dass Ihre neue Gleichung die Ableitung der vorherigen Gleichung ist, ersetzen Sie "s" durch "ds/dt". Technisch bedeutet diese Notation "Ableitung von s in Bezug auf t". Eine einfachere Möglichkeit, dies zu verstehen, ist, dass ds /dt ist der Wert der Steigung (Steigung) an einem beliebigen Punkt in der ersten Gleichung, um beispielsweise die Steigung einer Linie zu bestimmen, die aus der Gleichung gezogen wurde s = -1,5t2 + 10t + 4 bei t = 5 können wir den Wert "5" in die Ableitungsgleichung einsetzen.
- Im verwendeten Beispiel würde die erste Ableitungsgleichung nun so aussehen:
ds/s = -3t + 10
Schritt 3. Setzen Sie den Wert von t in die neue Gleichung ein, um den momentanen Geschwindigkeitswert zu erhalten
Jetzt, da Sie die Ableitungsgleichung haben, ist es einfach, die Momentangeschwindigkeit an jedem Punkt zu bestimmen. Alles, was Sie tun müssen, ist einen Wert für t auszuwählen und ihn in Ihre Ableitungsgleichung einzufügen. Wenn Sie beispielsweise die Momentangeschwindigkeit bei t = 5 ermitteln möchten, können Sie den Wert von t in der Ableitungsgleichung ds/dt = -3 + 10 durch "5" ersetzen. Dann lösen Sie die Gleichung wie folgt:
ds/s = -3t + 10
ds/s = -3(5) + 10
ds/s = -15 + 10 = - 5 Meter/Sekunde
Beachten Sie, dass die oben verwendete Einheit "Meter/Sekunde" ist. Da wir die Verschiebung in Metern und die Zeit in Sekunden (Sekunden) berechnen und die Geschwindigkeit im Allgemeinen die Verschiebung in einer bestimmten Zeit ist, ist diese Einheit geeignet
Methode 2 von 3: Grafische Schätzung der Momentangeschwindigkeit
Schritt 1. Zeichnen Sie ein Diagramm der Verschiebung des Objekts über die Zeit
Im obigen Abschnitt wird die Ableitung als Formel zum Ermitteln der Steigung an einem bestimmten Punkt für die abgeleitete Gleichung erwähnt. Wenn Sie die Verschiebung eines Objekts als Linie in einem Diagramm darstellen, "ist die Steigung der Linie an allen Punkten gleich dem Wert seiner momentanen Geschwindigkeit an diesem Punkt".
- Um die Verschiebung eines Objekts zu beschreiben, verwenden Sie x, um die Zeit darzustellen, und y, um die Verschiebung darzustellen. Zeichnen Sie dann die Punkte, setzen Sie den Wert von t in Ihre Gleichung ein und erhalten Sie so den Wert von s für Ihren Graphen, markieren Sie t, s im Graphen als (x, y).
- Beachten Sie, dass sich Ihr Diagramm unterhalb der x-Achse erstrecken kann. Wenn die Linie, die die Bewegung Ihres Objekts darstellt, unter die x-Achse reicht, bedeutet dies, dass sich das Objekt von seiner Ausgangsposition nach hinten bewegt hat. Im Allgemeinen erreicht Ihr Diagramm nicht die Rückseite der y-Achse - weil wir nicht die Geschwindigkeit eines vorbeibewegten Objekts messen!
Schritt 2. Wählen Sie einen benachbarten Punkt P und Q in der Linie aus
Um die Steigung der Geraden an einem Punkt P zu ermitteln, können wir einen Trick anwenden, der sich "das Limit nehmen" nennt. Das Bestimmen der Grenze beinhaltet zwei Punkte (P und Q, ein Punkt in der Nähe) auf der gekrümmten Linie und das Ermitteln der Steigung der Linie, indem man sie viele Male verbindet, bis sich die Entfernungen P und Q nähern.
Nehmen wir an, die Verschiebungslinie des Objekts enthält die Werte (1, 3) und (4, 7). Wenn wir in diesem Fall die Steigung am Punkt (1, 3) finden wollen, können wir bestimmen (1, 3) = P und (4, 7) = Q.
Schritt 3. Finden Sie die Steigung zwischen P und Q
Die Steigung zwischen P und Q ist die Differenz der y-Werte für P und Q entlang der x-Achsen-Wertdifferenz für P und Q. Mit anderen Worten, H = (yQ - jaP)/(xQ - xP), wobei H die Steigung zwischen den beiden Punkten ist. In unserem Beispiel ist der Wert der Steigung zwischen P und Q
H = (yQ- jaP)/(xQ- xP)
H = (7 - 3)/(4 - 1)
H = (4)/(3) = 1.33
Schritt 4. Wiederholen Sie den Vorgang mehrmals und bewegen Sie Q näher an P
Ihr Ziel ist es, den Abstand zwischen P und Q so zu verringern, dass er einem Punkt ähnelt. Je geringer der Abstand zwischen P und Q ist, desto enger ist die Steigung der Geraden am Punkt P. Wiederholen Sie dies mehrmals mit der als Beispiel verwendeten Gleichung und verwenden Sie die Punkte (2, 4.8), (1.5, 3.95) und (1.25, 3.49) als Q und der Startpunkt (1, 3) als P:
Q = (2, 4.8):
H = (4,8 - 3)/(2 - 1)
H = (1,8)/(1) = 1.8
Q = (1,5, 3,95):
H = (3,95 - 3)/(1,5 - 1)
H = (.95)/(.5) = 1.9
Q = (1,25, 3,49):
H = (3,49 - 3)/(1,25 - 1)
H = (.49)/(.25) = 1.96
Schritt 5. Schätzen Sie die Steigung der Linie für eine sehr kleine Entfernung ab
Wenn Q näher an P kommt, kommt H dem Wert der Steigung des Punktes P immer näher. Wenn es schließlich einen sehr kleinen Wert erreicht, ist H gleich der Steigung von P. Da wir keine sehr kleinen Entfernungen messen oder berechnen können, wir können die Steigung auf P erst abschätzen, wenn sie aus dem Punkt, den wir versuchen, klar ist.
- Im Beispiel, wenn wir Q näher an P rücken, erhalten wir Werte von 1,8, 1,9 und 1,96 für H. Da diese Zahlen nahe 2 liegen, können wir sagen, dass 2 die ungefähre Steigung von P ist.
- Denken Sie daran, dass die Steigung an einem beliebigen Punkt der Geraden gleich der Ableitung der Geradengleichung ist. Da die verwendete Linie die Verschiebung eines Objekts über die Zeit zeigt und da, wie wir im vorherigen Abschnitt gesehen haben, die Momentangeschwindigkeit eines Objekts die Ableitung seiner Verschiebung an einem bestimmten Punkt ist, können wir auch sagen, dass "2 Meter/Sekunde " ist der ungefähre Wert der Momentangeschwindigkeit bei t = 1.
Methode 3 von 3: Beispielfragen
Schritt 1. Ermitteln Sie den Wert der Momentangeschwindigkeit bei t = 4 aus der Verschiebungsgleichung s = 5t3 - 3t2 +2t+9.
Dieses Problem ist das gleiche wie das Beispiel im ersten Teil, außer dass diese Gleichung eine Würfelgleichung und keine Potenzgleichung ist, also können wir dieses Problem auf die gleiche Weise lösen.
- Zuerst nehmen wir die Ableitung der Gleichung:
- Geben Sie dann den Wert von t(4) ein:
s = 5t3- 3t2+2t+9
s = (3)5t(3 - 1) - (2)3t(2 - 1) + (1)2t(1 - 1) + (0)9t0 - 1
15t(2) - 6t(1) + 2t(0)
15t(2) - 6t + 2
s = 15t(2)- 6t + 2
15(4)(2)- 6(4) + 2
15(16) - 6(4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 Meter/Sekunde
Schritt 2. Verwenden Sie eine grafische Schätzung, um die Momentangeschwindigkeit bei (1, 3) für die Verschiebungsgleichung s = 4t. zu finden2 - T.
Für dieses Problem verwenden wir (1, 3) als Punkt P, aber wir müssen einen weiteren Punkt neben diesem Punkt als Punkt Q definieren. Dann müssen wir nur noch den Wert von H bestimmen und eine Schätzung vornehmen.
- Ermitteln Sie zunächst den Wert von Q zuerst bei t = 2, 1,5, 1,1 und 1,01.
- Bestimmen Sie dann den Wert von H:
- Da der Wert von H sehr nahe bei 7 liegt, können wir sagen, dass 7 Meter/Sekundedie ungefähre Momentangeschwindigkeit bei (1, 3) ist.
s = 4t2- T
t = 2:
s = 4(2)2- (2)
4(4) - 2 = 16 - 2 = 14, also Q = (2, 14)
t = 1,5:
s = 4(1,5)2 - (1.5)
4(2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, also Q = (1,5, 7,5)
t = 1,1:
s = 4(1.1)2 - (1.1)
4(1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, also Q = (1.1, 3.74)
t = 1,01:
s = 4(1,01)2 - (1.01)
4(1.0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, also Q = (1,01, 3,0704)
Q = (2, 14):
H = (14 - 3)/(2 - 1)
H = (11)/(1) =
Schritt 11.
Q = (1,5, 7,5):
H = (7,5 - 3)/(1,5 - 1)
H = (4,5)/(,5) =
Schritt 9.
Q = (1.1, 3.74):
H = (3,74 - 3)/(1,1 - 1)
H = (.74)/(.1) = 7.3
Q = (1,01, 3,0704):
H = (3,0704 - 3)/(1,01 - 1)
H = (.0704)/(.01) = 7.04
Tipps
- Um den Wert der Beschleunigung (Geschwindigkeitsänderung über die Zeit) zu ermitteln, verwenden Sie die Methode im ersten Abschnitt, um die Gleichung für die Ableitung der Verschiebungsfunktion zu erhalten. Erstellen Sie dann die abgeleitete Gleichung erneut, diesmal aus Ihrer abgeleiteten Gleichung. Dadurch erhalten Sie die Gleichung, um die Beschleunigung zu einem bestimmten Zeitpunkt zu ermitteln. Sie müssen lediglich Ihren Zeitwert eingeben.
- Die Gleichung, die den Wert von Y (Verschiebung) zu X (Zeit) in Beziehung setzt, kann sehr einfach sein, zum Beispiel Y= 6x + 3. In diesem Fall ist der Steigungswert konstant, und es ist nicht erforderlich, die Ableitung zu finden, um ihn zu berechnen, wobei nach der Gleichung einer Geraden Y = mx + b gleich 6 ist.
- Die Verschiebung ähnelt der Distanz, hat jedoch eine Richtung, sodass die Verschiebung eine Vektorgröße ist, während die Distanz eine skalare Größe ist. Der Verschiebungswert kann negativ sein, aber der Abstand ist immer positiv.
