3 Möglichkeiten, Logarithmen zu lösen

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-01-15 08:12

Logarithmen mögen schwer zu lösen erscheinen, aber das Lösen von Logarithmusproblemen ist tatsächlich viel einfacher, als Sie vielleicht denken, denn Logarithmen sind nur eine andere Art, exponentielle Gleichungen zu schreiben. Sobald Sie den Logarithmus in eine vertrautere Form umgeschrieben haben, sollten Sie ihn wie jede andere gewöhnliche Exponentialgleichung lösen können.

Schritt

Bevor Sie beginnen: Lernen Sie, logarithmische Gleichungen exponentiell auszudrücken

Schritt 1. Verstehen Sie die Definition des Logarithmus

Bevor Sie logarithmische Gleichungen lösen, müssen Sie verstehen, dass Logarithmen im Grunde eine andere Art sind, exponentielle Gleichungen zu schreiben. Die genaue Definition lautet wie folgt:

y = log_B (x)

Dann und nur dann, wenn: B^ja = x
Denken Sie daran, dass b die Basis des Logarithmus ist. Dieser Wert muss die folgenden Bedingungen erfüllen:
- b > 0
- b ist ungleich 1
In der Gleichung ist y der Exponent, und x ist das Ergebnis der Berechnung der im Logarithmus gesuchten Exponentialfunktion.

Schritt 2. Betrachten Sie die logarithmische Gleichung

Wenn Sie sich die Gleichung des Problems ansehen, suchen Sie nach der Basis (b), dem Exponenten (y) und dem Exponentialfaktor (x).

Beispiel:

5 = log₄(1024)
- b = 4
- y = 5
- x = 1024

Schritt 3. Verschieben Sie die Exponentialfunktion auf eine Seite der Gleichung

Verschieben Sie den Wert Ihrer Exponentiation x auf eine Seite des Gleichheitszeichens.

Zum Beispiel:

1024 = ?

Schritt 4. Geben Sie den Wert des Exponenten zu seiner Basis ein

Ihr Basiswert b muss mit der gleichen Anzahl von Werten multipliziert werden, die durch den Exponenten y dargestellt werden.

Beispiel:

4 * 4 * 4 * 4 * 4 = ?

Diese Gleichung kann auch geschrieben werden als: 4⁵

Schritt 5. Schreiben Sie Ihre endgültige Antwort um

Sie sollten nun in der Lage sein, die logarithmische Gleichung in eine Exponentialgleichung umzuschreiben. Überprüfen Sie Ihre Antwort noch einmal und stellen Sie sicher, dass beide Seiten der Gleichung den gleichen Wert haben.

Beispiel:

4⁵ = 1024

Methode 1 von 3: Ermitteln des Wertes von X

Schritt 1. Teilen Sie die logarithmische Gleichung

Führen Sie eine umgekehrte Berechnung durch, um den Teil der Gleichung, der keine logarithmische Gleichung ist, auf die andere Seite zu verschieben.

Beispiel:

Protokoll₃(x + 5) + 6 = 10
- Protokoll₃(x + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
- Protokoll₃(x + 5) = 4

Schritt 2. Schreiben Sie diese Gleichung in Exponentialform um

Verwenden Sie das, was Sie bereits über die Beziehung zwischen logarithmischen Gleichungen und Exponentialgleichungen wissen, und schreiben Sie sie in Exponentialform um, die einfacher und leichter zu lösen ist.

Beispiel:

Protokoll₃(x + 5) = 4
- Vergleichen Sie diese Gleichung mit der Definition von [ y = log_B (x)], dann können Sie daraus schließen: y = 4; b = 3; x = x + 5
- Schreiben Sie die Gleichung um als: b^ja = x
- 3⁴ = x + 5

Schritt 3. Finden Sie den Wert von x

Sobald dieses Problem zu einer grundlegenden Exponentialgleichung vereinfacht wurde, sollten Sie es wie jede andere Exponentialgleichung lösen können.

Beispiel:

3⁴ = x + 5
- 3 * 3 * 3 * 3 = x + 5
- 81 = x + 5
- 81 - 5 = x + 5 - 5
- 76 = x

Schritt 4. Schreiben Sie Ihre endgültige Antwort auf

Die endgültige Antwort, die Sie erhalten, wenn Sie den Wert von x finden, ist die Antwort auf Ihr ursprüngliches Logarithmusproblem.

Beispiel:

x = 76

Methode 2 von 3: Ermitteln des Wertes von X mit der logarithmischen Additionsregel

Schritt 1. Verstehen Sie die Regeln zum Hinzufügen von Logarithmen

Die erste Eigenschaft von Logarithmen, die als "logarithmische Additionsregel" bekannt ist, besagt, dass der Logarithmus eines Produkts gleich der Summe der Logarithmen der beiden Werte ist. Schreiben Sie diese Regel in Gleichungsform:

Protokoll_B(m * n) = log_B(m) + log_B(n)
Denken Sie daran, dass Folgendes zutreffen muss:
- m > 0
- n > 0

Schritt 2. Teilen Sie den Logarithmus auf eine Seite der Gleichung auf

Verwenden Sie umgekehrte Berechnungen, um Teile der Gleichung so zu verschieben, dass die gesamte logarithmische Gleichung auf einer Seite liegt, während die anderen Komponenten auf der anderen Seite liegen.

Beispiel:

Protokoll₄(x + 6) = 2 - log₄(x)
- Protokoll₄(x + 6) + log₄(x) = 2 - log₄(x) + log₄(x)
- Protokoll₄(x + 6) + log₄(x) = 2

Schritt 3. Wenden Sie die logarithmische Additionsregel an

Wenn sich in einer Gleichung zwei Logarithmen addieren, können Sie sie mit der Logarithmusregel zusammensetzen.

Beispiel:

Protokoll₄(x + 6) + log₄(x) = 2
- Protokoll₄[(x + 6) * x] = 2
- Protokoll₄(x² + 6x) = 2

Schritt 4. Schreiben Sie diese Gleichung in Exponentialform um

Denken Sie daran, dass Logarithmen nur eine andere Möglichkeit sind, exponentielle Gleichungen zu schreiben. Verwenden Sie die logarithmische Definition, um die Gleichung in eine lösbare Form umzuschreiben.

Beispiel:

Protokoll₄(x² + 6x) = 2
- Vergleichen Sie diese Gleichung mit der Definition von [ y = log_B (x)] können Sie daraus schließen: y = 2; b = 4; x = x² + 6x
- Schreiben Sie diese Gleichung so um, dass: b^ja = x
- 4² = x² + 6x

Schritt 5. Finden Sie den Wert von x

Sobald sich diese Gleichung in eine reguläre Exponentialgleichung verwandelt hat, verwenden Sie Ihr Wissen über Exponentialgleichungen, um den Wert von x wie gewohnt zu ermitteln.

Beispiel:

4² = x² + 6x
- 4 * 4 = x² + 6x
- 16 = x² + 6x
- 16 - 16 = x² + 6x - 16
- 0 = x² + 6x - 16
- 0 = (x - 2) * (x + 8)
- x = 2; x = -8

Schritt 6. Schreiben Sie Ihre Antworten auf

An diesem Punkt sollten Sie die Antwort auf die Gleichung haben. Schreiben Sie Ihre Antwort in das dafür vorgesehene Feld.

Beispiel:

x = 2
Beachten Sie, dass Sie den Logarithmus nicht negativ beantworten können, damit Sie die Antwort loswerden können x - 8.

Methode 3 von 3: Ermitteln des Wertes von X mit der logarithmischen Divisionsregel

Schritt 1. Verstehen Sie die logarithmische Divisionsregel

Basierend auf der zweiten Eigenschaft des Logarithmus, die als "logarithmische Divisionsregel" bekannt ist, kann der Logarithmus einer Division umgeschrieben werden, indem der Logarithmus des Nenners vom Zähler abgezogen wird. Schreiben Sie diese Gleichung wie folgt:

Protokoll_B(m/n) = log_B(m) - log_B(n)
Denken Sie daran, dass Folgendes zutreffen muss:
- m > 0
- n > 0

Schritt 2. Teilen Sie die logarithmische Gleichung auf eine Seite

Bevor Sie logarithmische Gleichungen lösen, müssen Sie alle logarithmischen Gleichungen auf eine Seite des Gleichheitszeichens übertragen. Die andere Hälfte der Gleichung muss auf die andere Seite verschoben werden. Verwenden Sie umgekehrte Berechnungen, um es zu lösen.

Beispiel:

Protokoll₃(x + 6) = 2 + log₃(x - 2)
- Protokoll₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2 + log₃(x - 2) - log₃(x - 2)
- Protokoll₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2

Schritt 3. Wenden Sie die logarithmische Divisionsregel an

Wenn eine Gleichung zwei Logarithmen enthält und einer davon vom anderen subtrahiert werden muss, können und sollten Sie die Divisionsregel verwenden, um diese beiden Logarithmen zusammenzuführen.

Beispiel:

Protokoll₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2

Protokoll₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2

Schritt 4. Schreiben Sie diese Gleichung in Exponentialform

Nachdem nur noch eine logarithmische Gleichung übrig ist, verwenden Sie die logarithmische Definition, um sie in Exponentialform zu schreiben und den Logarithmus zu eliminieren.

Beispiel:

Protokoll₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2
- Vergleichen Sie diese Gleichung mit der Definition von [ y = log_B (x)] können Sie schlussfolgern, dass: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
- Schreiben Sie die Gleichung um als: b^ja = x
- 3² = (x + 6) / (x - 2)

Schritt 5. Finden Sie den Wert von x

Sobald die Gleichung exponentiell ist, sollten Sie in der Lage sein, den Wert von x wie gewohnt zu finden.

Beispiel:

3² = (x + 6) / (x - 2)
- 3 * 3 = (x + 6) / (x - 2)
- 9 = (x + 6) / (x - 2)
- 9 * (x - 2) = [(x + 6) / (x - 2)] * (x - 2)
- 9x - 18 = x + 6
- 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
- 8x = 24
- 8x / 8 = 24 / 8
- x = 3