6 Möglichkeiten zur Volumenberechnung

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-01-15 08:12

Das Volumen eines Objekts repräsentiert den dreidimensionalen Raum, den das Objekt einnimmt. Sie können sich Volumen auch als die Menge an Wasser (oder Luft oder Sand usw.) vorstellen, die eine Form aufnehmen kann, wenn die Form vollständig gefüllt ist. Die gebräuchliche Einheit für das Volumen ist der Kubikzentimeter (cm³), Kubikmeter (m³), Kubikzoll (Zoll)³) und Kubikfuß (ft³). In diesem Artikel erfahren Sie, wie Sie die Volumina von sechs verschiedenen dreidimensionalen Formen berechnen, die häufig in Mathematikprüfungen vorkommen, einschließlich Würfel, Kugeln und Kegel. Sie werden vielleicht feststellen, dass viele dieser Volumenformeln etwas gemeinsam haben, sodass sie leicht zu merken sind. Sehen Sie, ob Sie das herausfinden können!

Infos auf einen Blick: Berechnung des Volumens gängiger Formulare

1. Messen Sie bei einem massiven Würfel oder Quadrat die Länge, Breite und Höhe und multiplizieren Sie sie dann alle miteinander, um das Volumen zu erhalten. Siehe Bilder und Details.
2. Messen Sie die Höhe des Rohres und seinen Basisradius. Verwenden Sie diesen Radius, um die Grundfläche mit der Formel r. zu finden², dann multiplizieren Sie das Ergebnis mit der Höhe des Rohres. Siehe Bilder und Details.
3. Eine Standardpyramide hat ein Volumen gleich x Grundfläche x Höhe. Siehe Bilder und Details.
4. Das Volumen eines Kegels kann mit der Formel r. berechnet werden²h, wobei r der Radius der Basis und h die Höhe des Kegels ist. Siehe Bilder und Details.

5. Um das Volumen einer Kugel zu messen, braucht man nur ihren Radius r. Setze diesen Wert in die Formel ein ⁴/₃R³. Siehe Bilder und Details.

   Schritt

   Methode 1 von 6: Berechnung des Volumens eines Würfels

   

   Schritt 1. Kennen Sie die Form eines Würfels

   Ein Würfel ist eine dreidimensionale Form mit sechs gleich großen quadratischen Seiten. Mit anderen Worten, ein Würfel ist eine Schachtel mit allen Seiten gleich groß.

   Ein sechsseitiger Würfel ist ein Beispiel für einen Würfel, den Sie in Ihrem Haus finden könnten. Zuckerblöcke und Kinderspielzeug-Buchstabenblöcke sind normalerweise auch Würfel

   

   Schritt 2. Lernen Sie die Formel für das Volumen eines Würfels

   Die Formel ist einfach V= s3, wobei V das Volumen und s die Seitenlänge des Würfels darstellt.

   um s zu finden³, multipliziere a mit seinem eigenen Wert dreimal: s³ = s * s * s

   

   Schritt 3. Messen Sie die Länge einer Seite des Würfels

   Abhängig von Ihrer Aufgabe kann der Würfel diese Informationen bereits beschriftet haben oder Sie müssen die Länge der Seiten mit einem Lineal messen. Denken Sie daran, dass alle Seitenlängen gleich sind, da es sich um einen Würfel handelt, sodass es keine Rolle spielt, welche Seite Sie messen.

   Wenn Sie nicht 100% sicher sind, dass die Form, die Sie haben, ein Würfel ist, messen Sie jede Seite, um zu sehen, ob sie die gleiche Größe hat. Wenn sie nicht identisch sind, müssen Sie die folgende Methode verwenden, um das Blockvolumen zu berechnen

   

   Schritt 4. Setze die Seitenlängen in die Formel V = s. ein³ und zählen.

   Wenn die Seitenlänge Ihres Würfels beispielsweise 5 Zoll beträgt, schreiben Sie die Formel wie folgt: V = (5 Zoll)³. 5 Zoll * 5 Zoll * 5 Zoll = 125 Zoll³, das ist das Volumen unseres Würfels!

   

   Schritt 5. Drücken Sie das Ergebnis in Kubikeinheiten aus

   Im obigen Beispiel werden die Seitenlängen unseres Würfels in Zoll gemessen, die Volumeneinheit ist also in Kubikzoll. Wenn die Seitenlänge zum Beispiel 3 Zentimeter beträgt, ist das Volumen V = (3 cm)³, oder V = 27 cm³.

   Methode 2 von 6: Berechnung des Blockvolumens

   

   Schritt 1. Kennen Sie die Form eines Blocks

   Ein Block, auch rechteckiges Prisma genannt, ist eine dreidimensionale Form mit sechs Seiten, die alle rechteckig sind. Mit anderen Worten, der Block hat eine dreidimensionale rechteckige Form oder die Form eines Kastens.

   Ein Würfel ist nur ein spezieller Block, bei dem alle Seiten gleich groß sind

   

   Schritt 2. Lernen Sie die Formel zur Berechnung des Volumens eines Quaders

   Die Formel für das Volumen eines Quaders lautet Volumen = Länge * Breite * Höhe oder V = plt.

   

   Schritt 3. Finden Sie die Länge des Blocks

   Diese Länge ist der längste Teil der Seite eines Balkens, der parallel zur Oberfläche ist, auf der der Balken platziert wird. Diese Länge kann bereits im Diagramm angegeben sein oder Sie müssen sie mit einem Lineal oder Maßband messen.

   • Beispiel: Die Länge dieses Blocks beträgt 4 Zoll, also p = 4 Zoll.
   • Machen Sie sich nicht zu viele Gedanken darüber, welche Seite die Länge, Breite und Höhe hat. Solange Sie drei verschiedene Messungen verwenden, ist das Endergebnis gleich, unabhängig davon, wie Sie sie bestellen.

   

   Schritt 4. Finden Sie die Breite des Balkens

   Die Balkenbreite ist das Maß der kürzeren Seite des Volumenkörpers parallel zur Position des Balkens. Suchen Sie auch hier nach einem Etikett auf dem Diagramm, das die Breite angibt, oder messen Sie es selbst mit einem Lineal oder Maßband.

   • Beispiel: Die Breite dieses Blocks beträgt 3 Zoll, also l = 3 Zoll.
   • Wenn Sie Blöcke mit einem Lineal oder Maßband messen, stellen Sie sicher, dass Sie die gleichen Einheiten verwenden. Messen Sie eine Seite nicht in Zoll und die andere in Zentimetern; alle Messungen müssen die gleichen Einheiten verwenden!

   

   Schritt 5. Finden Sie die Höhe des Blocks

   Diese Höhe ist der Abstand von der Oberfläche des Balkens bis zur Oberkante des Balkens. Schlagen Sie die Höhenangaben in Ihrem Diagramm nach oder messen Sie sich mit einem Lineal oder Maßband.

   Beispiel: Die Höhe dieses Blocks beträgt 6 Zoll, also t = 6 Zoll

   

   Schritt 6. Setzen Sie die Quadermaße in die Volumenformel ein und berechnen Sie sie

   Denken Sie daran, dass V = plt.

   In unserem Beispiel ist p = 4, l = 3 und t = 6. Daher gilt V = 4 * 3 * 6 oder 72

   

   Schritt 7. Schreiben Sie das Ergebnis in Kubikeinheiten auf

   Da unser Beispielblock in Zoll gemessen wird, muss sein Volumen als 72 Kubikzoll oder 72 Zoll angegeben werden³.

   Wenn die Maße unseres Quaders sind: Länge = 2 cm, Breite = 4 cm und Höhe = 8 cm, dann beträgt das Volumen des Blocks 2 cm * 4 cm * 8 cm oder 64 cm³.

   Methode 3 von 6: Berechnung des Rohrvolumens

   

   Schritt 1. Identifizieren Sie die Form eines Rohres

   Ein Rohr ist eine dreidimensionale Form mit zwei identischen flachen Enden, die eine kreisförmige Form haben, und einer gekrümmten Seite, die die beiden verbindet.

   Eine Dose ist ein Beispiel für eine Tube, ebenso wie AA- oder AAA-Batterien

   

   Schritt 2. Merken Sie sich die Formel für das Volumen eines Zylinders

   Um das Volumen eines Zylinders zu berechnen, müssen Sie die Höhe und den Radius des Grundkreises (den Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu den Kanten) oben und unten kennen. Die Formel lautet V = r²t, wobei V das Volumen, r der Radius des Grundkreises, t die Höhe und der konstante Wert von pi ist.

   • Bei einigen Geometrieproblemen wird die Antwort auf Pi lauten, aber in den meisten Fällen können wir Pi auf 3, 14 aufrunden. Bestätigen Sie dies mit Ihrem Lehrer, um zu sehen, welches er bevorzugt.
   • Die Formel zum Ermitteln des Volumens eines Zylinders ist eigentlich der Formel für das Volumen eines Quaders sehr ähnlich: Man multipliziert einfach die Höhe der Form mit der Grundfläche. In der Quaderformel ist diese Oberfläche p * l, während sie für einen Zylinder r. ist², also die Fläche eines Kreises mit Radius r.

   

   Schritt 3. Finden Sie den Basisradius

   Wenn im Diagramm angegeben, verwenden Sie den Wert. Wird statt des Radius der Durchmesser angegeben, muss man nur noch durch 2 dividieren, um den Wert des Radius (d = 2r) zu ermitteln.

   

   Schritt 4. Messen Sie das Objekt, wenn kein Radius angegeben ist

   Beachten Sie, dass das genaue Messen des Rohrs ziemlich schwierig sein kann. Eine Möglichkeit besteht darin, den Boden des Röhrchens nach oben mit einem Lineal oder Maßband zu messen. Tun Sie Ihr Bestes, um die Breite des Zylinders an seiner breitesten Stelle zu messen und durch 2 zu teilen, um den Radius zu ermitteln.

   • Eine andere Möglichkeit, den Umfang einer Röhre (den Abstand um sie herum) zu messen, besteht darin, ein Maßband oder eine Schnur zu verwenden, die Sie markieren und die Länge mit einem Lineal messen können. Setzen Sie diese Messung dann in die Formel C (Umfang) = 2πr ein. Teilen Sie den Umfang durch 2π (6.28) und Sie erhalten den Radius.
   • Wenn der Umfang, den Sie messen, beispielsweise 8 Zoll beträgt, beträgt der Radius 1,27 Zoll.
   • Wenn Sie wirklich genaue Messungen benötigen, können Sie beide Methoden verwenden, um sicherzustellen, dass Ihre Messungen gleich sind. Wenn nicht, überprüfen Sie beide. Die Umfangsmethode liefert normalerweise genauere Ergebnisse.

   

   Schritt 5. Berechnen Sie die Fläche des Grundkreises

   Setzen Sie den Basisradiuswert in die r-Formel ein². Multiplizieren Sie dann den Radius einmal mit sich selbst und multiplizieren Sie das Ergebnis erneut mit. Als Beispiel:

   • Wenn der Radius Ihres Kreises 4 Zoll beträgt, ist die Grundfläche A = 4².
   • 4² = 4 * 4 oder 16. 16 * (3,14) = 50,24 Zoll²
   • Wenn statt des Radius der Durchmesser der Basis angegeben wird, denken Sie daran, dass d = 2r ist. Sie müssen nur den Durchmesser halbieren, um den Radius zu finden.

   

   Schritt 6. Finden Sie die Höhe des Rohres

   Dies ist der Abstand zwischen den beiden Kreishälften oder der Abstand von der Oberfläche, auf der das Rohr platziert wird. Suchen Sie auf Ihrem Diagramm nach einem Etikett, das die Höhe des Röhrchens angibt, oder messen Sie es mit einem Lineal oder Maßband.

   

   Schritt 7. Multiplizieren Sie die Fläche der Basis mit der Höhe des Zylinders, um das Volumen zu ermitteln

   Oder Sie überspringen einen Schritt und geben die Rohrmaßwerte in die Formel V = r. ein²T. Für unser Beispiel mit einem Rohr mit einem Radius von 4 Zoll und einer Höhe von 10 Zoll:

   • V = 4²10
   • 4² = 50, 24
   • 50.24 * 10 = 502, 4
   • V = 502, 4

   

   Schritt 8. Denken Sie daran, Ihre Antwort in Kubikeinheiten anzugeben

   Unser Probenröhrchen wird in Zoll gemessen, daher muss sein Volumen in Kubikzoll ausgedrückt werden: V = 502,4 Zoll³. Wenn unser Zylinder in Zentimetern gemessen wird, wird sein Volumen in Kubikzentimetern (cm³).

   Methode 4 von 6: Berechnung des Volumens einer gewöhnlichen Pyramide

   

   Schritt 1. Verstehen Sie, was eine regelmäßige Pyramide ist

   Eine Pyramide ist eine dreidimensionale Form mit einem Polygon als Basis und seitlichen Seiten, die sich in einer Achse (dem Scheitel der Pyramide) verbinden. Eine regelmäßige Pyramide ist eine Pyramide, bei der die Basis ein Standardpolygon ist, was bedeutet, dass alle Seiten des Polygons gleich lang sind und alle Winkel gleich sind.

   • Wir denken normalerweise an eine Pyramide mit einer quadratischen Grundfläche mit Seiten, die zu einem Punkt gipfeln, aber tatsächlich kann die Grundfläche einer Pyramide 5, 6 oder sogar 100 Seiten haben!
   • Eine Pyramide mit kreisförmiger Grundfläche wird als Kegel bezeichnet, was in der nächsten Methode besprochen wird.

   

   Schritt 2. Lernen Sie die Formel zur Berechnung des Volumens einer gewöhnlichen Pyramide

   Diese Formel lautet V = 1/3bt, wobei b die Fläche der Basis der Pyramide (die Form des darunter liegenden Polygons) und t die Höhe der Pyramide oder der vertikale Abstand von der Basis zur Spitze ist.

   Die Formel für das Volumen einer geraden Pyramide ist dieselbe, wenn der Scheitelpunkt direkt über der Mitte der Basis liegt, und für eine schiefe Pyramide, bei der der Scheitelpunkt nicht in der Mitte liegt

   

   Schritt 3. Berechnen Sie die Grundfläche

   Die Formel dafür hängt von der Anzahl der Seiten ab, die die Basis einer Pyramide hat. In der Pyramide in unserem Diagramm ist die Basis ein Quadrat mit 15 cm langen Seiten. Denken Sie daran, dass die Formel für die Fläche eines Quadrats A = s. ist², wobei s die Seitenlänge ist. Für diese Pyramide beträgt die Grundfläche also (6 Zoll) ², oder 36 Zoll².

   • Die Formel für die Fläche eines Dreiecks lautet: A = 1/2bt, wobei b die Basis des Dreiecks und t die Höhe ist.
   • Sie können die Fläche eines Standardpolygons mit der Formel A = 1/2pa ermitteln, wobei A die Fläche ist, p der Umfang der Form ist und a das Apothem oder der Abstand vom Mittelpunkt der Form zum Mittelpunkt ist einer seiner Seiten. Dies ist eine komplexere Berechnung, die wir in diesem Artikel nicht behandeln werden, aber Sie können den Artikel Berechnen der Fläche eines Polygons besuchen, um einige gute Anweisungen zur Verwendung zu erfahren. Oder Sie können diesen Prozess vereinfachen und online nach einem Polygon-Rechner suchen.

   

   Schritt 4. Finden Sie die Höhe der Pyramide

   In den meisten Fällen wird dies im Diagramm angezeigt. In unserem Beispiel beträgt die Höhe der Pyramide 10 Zoll.

   

   Schritt 5. Multiplizieren Sie die Fläche der Basis der Pyramide mit ihrer Höhe und teilen Sie sie durch 3, um das Volumen zu ermitteln

   Denken Sie daran, dass die Volumenformel V = 1/3bt ist. In unserer Beispielpyramide, die eine Fläche von 36 und eine Höhe von 10 hat, beträgt das Volumen: 36 * 10 * 1/3 oder 120.

   Wenn wir eine andere Pyramide verwenden, zum Beispiel eine, die eine pentagoförmige Basis mit einer Fläche von 26 und einer Höhe von 8 hat, beträgt das Volumen: 1/3 * 26 * 8 = 69, 33

   

   Schritt 6. Denken Sie daran, Ihre Antwort in Kubikeinheiten anzugeben

   Die Maße in unserer Beispielpyramide sind in Zoll, also muss das Volumen in Kubikzoll, 120, ausgedrückt werden. Wenn unsere Pyramide in Metern gemessen wird, muss das Volumen in Kubikmetern (m³).

   Methode 5 von 6: Berechnung des Volumens eines Kegels

   

   Schritt 1. Lernen Sie die Form des Kegels

   Ein Kegel ist eine dreidimensionale Form mit einer kreisförmigen Basis und einem Scheitelpunkt. Man kann sich den Kegel auch als Pyramide mit kreisförmiger Grundfläche vorstellen.

   Liegt der Scheitelpunkt des Kegels genau in der Kreismitte, dann ist der Kegel ein „echter Kegel“. Wenn der Scheitelpunkt nicht genau in der Mitte liegt, wird der Kegel als "schräger Kegel" bezeichnet. Glücklicherweise ist die Formel zur Berechnung des Volumens von beiden gleich

   

   Schritt 2. Beherrschen Sie die Formel zur Berechnung des Volumens eines Kegels

   Die Formel lautet V = 1/3πr²t, wobei r der Radius der kreisförmigen Basis des Kegels ist, wobei t die Höhe ist und die Konstante pi ist, die auf 3,14 aufgerundet wird.

   r. Teil² aus der Formel bezieht sich auf die Fläche der Basis des Kreiskegels. Daher ist die Formel für das Volumen eines Kegels 1/3bt, genau wie die Formel für das Volumen einer Pyramide in der vorherigen Methode!

   

   Schritt 3. Berechnen Sie die Fläche der kreisförmigen Basis des Kegels

   Dazu müssen Sie den Radius kennen, der bereits in Ihrem Diagramm eingetragen sein sollte. Wenn Sie nur den Durchmesser erhalten, teilen Sie diesen Wert durch 2, da der Durchmesser das 2-fache des Radius ist (d = 2r). Geben Sie dann den Radiuswert in die Formel ein A = r² um die Fläche zu berechnen.

   • Im Beispiel im Diagramm beträgt der Radius der Kegelbasis 3 Zoll. Wenn wir es in die Formel einsetzen, dann: A = 3².
   • 3² = 3 * 3 oder 0, also A = 9π.
   • A = 28, 27 Zoll²

   

   Schritt 4. Finden Sie die Höhe des Kegels

   Dies ist der vertikale Abstand zwischen der Basis des Kegels und seiner Spitze. In unserem Beispiel beträgt die Höhe des Kegels 5 Zoll.

   

   Schritt 5. Multiplizieren Sie die Höhe des Kegels mit der Fläche der Basis

   In unserem Beispiel beträgt dieser Bereich 28,27 Zoll² und die Höhe beträgt 5 Zoll, also bt = 28, 27 * 5 = 141, 35.

   

   Schritt 6. Multiplizieren Sie nun das Ergebnis mit 1/3 (oder teilen Sie durch 3), um das Volumen des Kegels zu ermitteln

   Im obigen Schritt haben wir das Volumen des Zylinders berechnet, das sich bilden würde, wenn sich die Wände des Kegels gerade in einen anderen Kreis erstrecken würden, anstatt sich zu einem Punkt zu verengen. Wenn Sie durch 3 teilen, erhalten Sie das Volumen des Kegels selbst.

   • In unserem Beispiel 141, 35 * 1/3 = 47, 12 ist dies das Volumen des Kegels.
   • Alternativ 1/3π3²5 = 47, 12

   

   Schritt 7. Denken Sie daran, Ihre Antwort in Kubikeinheiten anzugeben

   Unser Kegel wird in Zoll gemessen, daher muss sein Volumen in Kubikzoll ausgedrückt werden: 47,12 Zoll³.

   Methode 6 von 6: Das Volumen einer Kugel berechnen

   

   Schritt 1. Finden Sie die Form heraus

   Eine Kugel ist ein perfekt kugelförmiges dreidimensionales Objekt, bei dem jeder Punkt auf seiner Oberfläche den gleichen Abstand von seinem Mittelpunkt hat. Mit anderen Worten, was hier eingeschlossen ist, sind kugelförmige Objekte.

   

   Schritt 2. Lernen Sie die Formel für das Volumen einer Kugel

   Die Formel für das Volumen dieser Kugel lautet V = 4/3πr³ (lesen Sie: "vier Drittel pi r-cube") wobei r der Radius der Kugel und die Stiftkonstante (3, 14) ist.

   

   Schritt 3. Finden Sie den Radius der Kugel

   Wenn der Radius gegeben ist, ist es einfach, r zu finden. Wenn der Durchmesser angegeben ist, müssen Sie durch 2 teilen, um den Radiuswert zu ermitteln. Zum Beispiel beträgt der Radius der Kugel in unserem Diagramm 3 Zoll.

   

   Schritt 4. Messen Sie den Ball, wenn der Radius unbekannt ist

   Wenn Sie ein kugelförmiges Objekt (z. B. einen Tennisball) messen müssen, um seinen Radius zu ermitteln, nehmen Sie zuerst eine Schnur, die groß genug ist, um das Objekt zu umwickeln. Dann umschlingen Sie das Objekt an seiner breitesten Stelle und markieren Sie, wo die Schnur wieder das Ende berührt. Messen Sie dann die Schnur mit einem Lineal, um ihren Außenumfang zu ermitteln. Teilen Sie diesen Wert durch 2π oder 6, 28, und Sie erhalten den Radius der Kugel.

   • Wenn Sie beispielsweise eine Kugel messen und den Umfangspunkt von 18 Zoll finden, dividieren Sie durch 6,28 und Sie erhalten einen Radius von 2,87 Zoll.
   • Das Messen von kugelförmigen Objekten kann etwas schwierig sein, also stellen Sie sicher, dass Sie dreimal messen und den Durchschnitt bilden (alle drei Messungen addieren und dann durch 3 teilen), um sicherzustellen, dass Sie den genauesten Wert erhalten.
   • Wenn Ihr Außenumfang beispielsweise 18 Zoll, 17,75 Zoll und 18,2 Zoll beträgt, addieren Sie alle (18 + 17,5 + 18, 2 = 53,95) und dividieren Sie das Ergebnis durch 3 (53,95/3 = 17, 98). Verwenden Sie diesen Durchschnitt in Ihren Volumenberechnungen.

   

   Schritt 5. Kubik den Radius, um r. zu finden³.

   Dies bedeutet, dass Sie es dreimal mit der Zahl selbst multiplizieren müssen, also r³ = r * r * r. In unserem Beispiel ist r = 3, also r³ = 3 * 3 * 3 oder 27.

   

   Schritt 6. Jetzt multiplizieren Sie Ihre Antwort mit 4/3

   Sie können einen Taschenrechner verwenden oder manuell berechnen und den Bruch vereinfachen. In unserem Beispiel multiplizieren Sie 27 mit 4/3 = 108/3 oder 36.

   

   Schritt 7. Multiplizieren Sie das Ergebnis mit, um das Volumen der Kugel zu ermitteln

   Der letzte Schritt bei der Berechnung des Volumens besteht darin, das Ergebnis mit zu multiplizieren. Das Aufrunden auf zwei Stellen reicht für die meisten mathematischen Aufgaben normalerweise aus (sofern Ihr Lehrer nicht anders sagt), also multiplizieren Sie mit 3, 14 und Sie werden die Antwort finden.

   In unserem Beispiel 36 * 3, 14 = 113, 09

   

   Schritt 8. Drücken Sie Ihre Antwort in Kubikeinheiten aus

   In unserem Beispiel wird der Radius der Kugel in Zoll gemessen, daher lautet unsere tatsächliche Antwort V = 113,09 Kubikzoll (113,09 Zoll).³).