Eine mathematische Funktion (normalerweise als f(x) geschrieben) kann man sich als Formel vorstellen, die den Wert von y zurückgibt, wenn Sie einen Wert für x eingeben. Die Umkehrung der Funktion f(x) (die geschrieben wird als f-1(x)) ist eigentlich das Gegenteil: Geben Sie Ihren y-Wert ein und Sie erhalten Ihren anfänglichen x-Wert. Das Finden der Umkehrung einer Funktion mag nach einem komplizierten Prozess klingen, aber für einfache Gleichungen benötigen Sie lediglich Kenntnisse über grundlegende algebraische Operationen. Lesen Sie die folgenden Schritt-für-Schritt-Anleitungen und bebilderten Beispiele.
Schritt
Schritt 1. Notieren Sie Ihre Funktion und ersetzen Sie f(x) bei Bedarf durch y
Ihre Formel sollte auf einer Seite der Gleichung nur ein y und auf der anderen ein x haben. Wenn Sie bereits eine Gleichung in Form von y und x geschrieben haben (zum Beispiel 2 + y = 3x2) müssen Sie nur den Wert von y ermitteln, indem Sie ihn auf einer Seite der Gleichung isolieren.
- Beispiel: Wenn wir die Funktion f(x) = 5x – 2 haben, können wir sie schreiben als y = 5x - 2 indem Sie einfach f(x) mit y ändern.
- Hinweis: f(x) ist die Standardfunktionsnotation, aber wenn Sie mehrere Funktionen haben, hat jede Funktion einen anderen Buchstaben, um sie leichter voneinander zu unterscheiden. Zum Beispiel sind g(x) und h(x) Notationen, um zwischen den beiden Funktionen zu unterscheiden.
Schritt 2. Finden Sie den Wert von x
Mit anderen Worten, führen Sie die mathematische Operation durch, die erforderlich ist, um x auf einer Seite der Gleichung zu isolieren. Grundlegende algebraische Prinzipien bringen Sie hierher: Wenn x einen numerischen Koeffizienten hat, dividieren Sie beide Seiten der Gleichung durch diese Zahl; Wenn auf einer Seite der Gleichung eine Zahl zu x addiert wird, subtrahiere diese Zahl von beiden Seiten und so weiter.
- Denken Sie daran, dass Sie jede Operation nur auf einer Seite der Gleichung ausführen können, solange Sie die Operation auf beiden Seiten der Gleichung ausführen.
-
Beispiel: Um mit unserem Beispiel fortzufahren, addieren wir zunächst 2 zu beiden Seiten der Gleichung. Das Ergebnis ist y + 2 = 5x. Dann dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch 5 und werden zu (y + 2)/5 = x. Um das Lesen zu erleichtern, schreiben wir die Gleichung mit dem x auf der linken Seite um: x = (y + 2)/5.
Schritt 3. Ändern Sie die Variablen
Ersetze x durch y und umgekehrt. Die resultierende Gleichung ist die Umkehrung der ursprünglichen Gleichung. Mit anderen Worten, wenn wir den Wert für x in unsere ursprüngliche Gleichung einsetzen und eine Antwort erhalten, wenn wir diese Antwort in die inverse Gleichung (für den Wert von x) einsetzen, erhalten wir unseren Anfangswert!
Beispiel: Nach dem Vertauschen von x und y haben wir y = (x + 2)/5
Schritt 4. Ersetzen Sie y durch f-1(x).
Die Umkehrfunktion wird normalerweise in der Form f. geschrieben-1(x) = (der Teil, der x enthält). Beachten Sie, dass in diesem Fall die Potenz von -1 nicht bedeutet, dass wir in unserer Funktion eine exponentielle Operation ausführen müssen. Dies ist nur eine Möglichkeit zu zeigen, dass diese Funktion die Umkehrung unserer ursprünglichen Gleichung ist.
Da das Quadrieren von x -1 den Bruch 1/x ergibt, kann man sich auch f-1(x) als andere Schreibweise von 1/f(x), die auch die Umkehrung von f(x) beschreibt.
Schritt 5. Überprüfen Sie Ihre Arbeit
Versuchen Sie, eine Konstante in die ursprüngliche Gleichung für x einzusetzen. Wenn Ihre Umkehrung richtig ist, sollten Sie in der Lage sein, die Antwort in die Umkehrgleichung einzufügen und Ihren anfänglichen x-Wert als Antwort zu erhalten.
- Beispiel: Geben wir den Wert x = 4 in unsere ursprüngliche Gleichung ein. Das Ergebnis ist f(x) = 5(4) – 2 oder f(x) = 18.
- Als nächstes setzen wir unsere Antwort 18 in unsere inverse Gleichung für den Wert von x ein. Wenn wir dies tun, erhalten wir y = (18 + 2)/5, was zu y = 20/5 vereinfacht werden kann, was dann zu y = 4,4 vereinfacht wird, ist unser Anfangswert von x, also wissen wir, dass wir wahr haben inverse Gleichung.
Tipps
- Sie können f(x) = y und f^(-1)(x) = y nach Belieben wechseln, wenn Sie algebraische Operationen in Ihren Funktionen ausführen. Die Unterscheidung zwischen Ihren Anfangs- und Umkehrfunktionen kann jedoch verwirrend sein. Wenn Sie also keine der Funktionen ausführen, versuchen Sie es mit der Notation f(x) oder f^(-1)(x), die Ihnen hilft, zwischen den beiden zu unterscheiden.
- Beachten Sie, dass die Umkehrung einer Funktion normalerweise, aber nicht immer, die Funktion selbst ist.
