Obwohl es manchmal entmutigend erscheinen mag, ist das Quadratwurzelproblem eigentlich nicht so schwer zu lösen. Einfache Quadratwurzelprobleme lassen sich in der Regel genauso leicht lösen wie einfache Multiplikations- und Divisionsprobleme. Bei komplexeren Fragen ist ein wenig Mehraufwand erforderlich. Aber mit dem richtigen Ansatz kann jedes schwierige Problem gelöst werden. In diesem Artikel helfen wir Ihnen, Quadratwurzelprobleme in wenigen einfachen Schritten zu lösen.
Schritt
Teil 1 von 3: Quadrate und Quadratwurzeln verstehen
Schritt 1. Das Quadrat ist die Zahl multipliziert mit der Zahl selbst
Um die Quadratwurzel zu verstehen, ist es gut, zuerst die Bedeutung des Quadrats zu verstehen. Einfach ausgedrückt ist ein Quadrat eine Zahl, die mit der Zahl selbst multipliziert wird. Zum Beispiel ist 3 zum Quadrat 3 mal 3 = 9 und 9 zum Quadrat ist 9 mal 9 = 81. Das Quadrat wird durch die kleine 2 oben rechts neben der Zahl zum Quadrat dargestellt - so: 32, 92, 1002, etc.
Versuchen Sie, einige andere Zahlen zu quadrieren, um dieses Konzept zu testen. Denken Sie daran, dass das Quadrieren einer Zahl eine Zahl mit sich selbst multipliziert. Sie können sogar negative Zahlen quadrieren. Das Ergebnis ist immer eine positive Zahl. Zum Beispiel -82 = -8 × -8 = 64.
Schritt 2. Die Quadratwurzel ist der Kehrwert des Quadrats
Das Symbol für die Quadratwurzel (√, auch als "Radikalsymbol" bekannt) ist im Wesentlichen das Gegenteil des Symbols 2. Wenn Sie ein Radikal finden, fragen Sie sich: Welche Zahl würde im Quadrat zu der Zahl innerhalb des Radikals führen? Wenn Sie sich beispielsweise √(9) ansehen, finden Sie die Zahl, die im Quadrat neun ist. Somit lautet die Antwort "drei", denn 32 = 9.
-
Als weiteres Beispiel versuchen wir, die Quadratwurzel von 25 (√(25)) zu finden. Das heißt, wir suchen nach einer Zahl, deren Quadrat das Ergebnis 25 ist. Denn 52 = 5 × 5 = 25, dann (25) =
Schritt 5..
-
Die Quadratwurzel kann auch als "Rückgängigmachen" des Quadrats betrachtet werden. Wenn wir zum Beispiel (64), die Quadratwurzel von 64, finden wollen, dann stellen Sie sich 64 als 8. vor2. Da das Quadratwurzelsymbol das Quadratsymbol im Wesentlichen „negiert“, ist daher (64) = (82) =
Schritt 8..
Schritt 3. Kennen Sie den Unterschied zwischen perfekten und unvollkommenen Quadraten
Bisher waren die Ergebnisse unserer Quadratwurzelberechnungen ganze Zahlen. Die Fragen, denen Sie später begegnen werden, werden nicht so einfach sein, es werden Fragen mit Dezimalzahlen-Antworten mit einigen Stellen hinter dem Komma sein. Zahlen, die nach dem Quadrieren gerundet werden (also keine Bruch- oder Dezimalzahlen) werden auch als „perfekte Quadrate“bezeichnet. Alle vorherigen Beispiele (9, 25 und 64) sind perfekte Quadrate, denn wenn sie quadriert werden, ist das Ergebnis eine ganze Zahl (3, 5 und 8).
Andererseits sind Zahlen, die nach dem Quadrieren nicht gerundet werden, "unvollkommene Quadrate". Normalerweise ist das Ergebnis nach dem Quadrieren eine Bruch- oder Dezimalzahl. Manchmal sehen sogar die Zahlen sehr kompliziert aus, wie (13) = 3, 605551275464…
Schritt 4. Merken Sie sich das Quadrat der Zahlen 1-12
Wie Sie bereits wissen, ist das Quadrieren einer perfekten Quadratzahl sehr einfach. Das Auswendiglernen der Quadrate der Zahlen 1-12 kann sehr nützlich sein, da diese Zahlen in der Aufgabe häufig vorkommen. So sparen Sie Zeit bei der Bearbeitung der Fragen. Die ersten 12 quadrierten Zahlen sind:
-
12 = 1 × 1 =
Schritt 1.
-
22 = 2 × 2 =
Schritt 4.
-
32 = 3 × 3 =
Schritt 9.
-
42 = 4 × 4 =
Schritt 16.
-
52 = 5 × 5 =
Schritt 25.
- 62 = 6 × 6 = 36
- 72 = 7 × 7 = 49
- 82 = 8 × 8 = 64
- 92 = 9 × 9 = 81
- 102 = 10 × 10 = 100
- 112 = 11 × 11 = 121
- 122 = 12 × 12 = 144
Schritt 5. Vereinfachen Sie die Quadratwurzel, indem Sie die perfekten Quadrate entfernen
Die Quadratwurzel einer unvollkommenen Quadratzahl zu finden kann schwierig sein, besonders wenn Sie keinen Taschenrechner verwenden. Die zu quadrierende Zahl kann jedoch vereinfacht werden, um die Berechnung zu erleichtern. Trennen Sie dazu einfach die Zahl innerhalb des Radikals in mehrere Faktoren, entfernen Sie dann die Quadratwurzel der perfekten Quadratzahlen und schreiben Sie die Antwort außerhalb des Radikals. Diese Methode ist ganz einfach - zum besseren Verständnis hier eine weitere Erklärung:
- Nehmen wir an, wir wollen die Quadratwurzel von 900 berechnen. Teilen Sie also einfach 900 in seine Faktoren auf. „Faktoren“sind Zahlen, die miteinander multipliziert werden können, um eine andere Zahl zu erhalten. Zum Beispiel kann die Zahl 6 durch Multiplikation von 1 × 6 und 2 × 3 erhalten werden, sodass die Faktoren von 6 1, 2, 3 und 6 sind.
- Unter Berücksichtigung dieses Prinzips lassen Sie uns 900 in seine Faktoren zerlegen. Zunächst schreiben wir 900 als 9 × 100. Da 9 ein perfektes Quadrat ist, können wir die Quadratwurzel von 100 separat ziehen. (9 × 100) = (9) × (100) = 3 × (100). Mit anderen Worten, (900) = 3√(100).
-
Wir können es weiter vereinfachen, indem wir 100 in seine Faktoren, nämlich 25 und 4, zerlegen. (100) = (25 × 4) = (25) × (4) = 5 × 2 = 10. Daher kann berechnet werden (900) = 3(10) =
Schritt 30..
Schritt 6. Verwenden Sie eine imaginäre Zahl als Quadratwurzel einer negativen Zahl
Überlegen Sie, welche Zahl im Quadrat zum Ergebnis -16 ist? Die Antwort, nein. Bei allen quadrierten Zahlen ist das Ergebnis immer positiv, da negativ (-), multipliziert mit negativ ist das Ergebnis positiv (+). Um eine negative Zahl zu quadrieren, müssen wir die negative Zahl durch eine imaginäre Zahl (normalerweise in Form von Buchstaben oder Symbolen) ersetzen. Beispielsweise wird die Variable "i" im Allgemeinen für die Quadratwurzel von -1 verwendet. Eine imaginäre Zahl ist immer die Quadratwurzel einer negativen Zahl.
Es sollte beachtet werden, dass imaginäre Zahlen zwar nie durch Zahlen dargestellt werden, sie jedoch auf verschiedene Weise als Zahlen behandelt werden können. Zum Beispiel kann die Quadratwurzel einer negativen Zahl quadriert werden, um die Quadratwurzel zu entfernen. Zum Beispiel, ich2 = - 1
Teil 2 von 3: Verwenden Sie den Algorithmus im Stil der langen Division
Schritt 1. Lösen Sie Quadratwurzelprobleme wie lange Divisionsprobleme
Obwohl zeitaufwändig, können schwierige Wurzelprobleme ohne Taschenrechner gelöst werden. Dazu verwenden wir eine Methode (oder einen Algorithmus) ähnlich der Long-Stack-Division.
- Beginnen Sie damit, das Quadratwurzelproblem wie eine lange Divisionsaufgabe zu schreiben. Finden Sie als Beispielaufgabe die Wurzel von 6, 45, die keine ganze Zahl ist. Zuerst schreiben wir das Wurzelsymbol (√), dann darunter die Zahl, deren Quadrat wir nehmen wollen. Ziehen Sie dann eine Linie über die Zahlen, genau wie bei der langen Stapelteilung. Jetzt sieht das "√"-Symbol so aus, als hätte es unten einen Schwanz mit der Zahl 6.45.
- Wir werden die Zahlen über dem Problem schreiben, also stellen Sie sicher, dass Sie etwas Leerzeichen lassen.
Schritt 2. Gruppieren Sie die Ziffern der Nummer in Paare
Zuerst gruppieren Sie die Ziffern der Zahl unter dem Rest zu Paaren, beginnend mit dem Komma. Machen Sie eine Art Markierung (Punkt, Komma, Linie usw.) zwischen den Paaren, um die Verfolgung zu erleichtern.
In der Beispielaufgabe werden 6, 45 unterteilt in 6-, 45-00. Denken Sie daran, dass auf der linken Seite "verbleibende" Ziffern vorhanden sind - dies ist kein Problem.
Schritt 3. Finden Sie die größte Zahl, deren Quadratwert kleiner oder gleich der ersten Gruppe ist
Beginnen Sie mit der ersten Zahl in der Gruppe auf der linken Seite. Wählen Sie in der Gruppe die größte Zahl, deren Quadratwert kleiner oder gleich ist. Wenn die Gruppe beispielsweise 37 ist, wählen Sie 6, weil 62 = 36 < 37 aber 72 = 49 > 37. Schreiben Sie diese Zahl über die erste Gruppe. Diese Zahl ist die erste Ziffer Ihrer Antwort.
-
In der Beispielaufgabe ist die erste Gruppe von 6-, 45-00 6. Die größte Zahl, die im Quadrat kleiner oder gleich 6 ist, ist
Schritt 2. - 22 = 4. Schreiben Sie die Zahl "2" über 6 und der Schwanz ist ein Radikal.
Schritt 4. Multiplizieren Sie die Zahl, die Sie gerade aufgeschrieben haben, senken Sie sie dann ab und subtrahieren Sie sie
Nimm die erste Ziffer deiner Antwort (über dem Radikal geschrieben) und multipliziere sie. Schreiben Sie die Antwort unter die erste Gruppe und ziehen Sie sie ab, um den Unterschied zu finden. Lassen Sie die nächste Gruppe rechts neben der soeben berechneten Differenz fallen. Schreiben Sie zum Schluss die letzte Ziffer der Multiplikation der ersten Ziffer Ihrer Antwort links und lassen Sie rechts ein Leerzeichen.
In der Beispielaufgabe ist die verdoppelte Zahl 2 (die erste Ziffer der vorherigen Antwort). 2 × 2 = 4. Dann subtrahiere 4 von 6 (von der ersten Gruppe). 6 - 4 das Ergebnis ist 2. Als nächstes bringen Sie die nächste Gruppe (45) herunter und wir erhalten 245. Schreiben Sie schließlich die Zahl 4 wieder links und lassen Sie rechts ein wenig Platz, etwa so: 4_
Schritt 5. Füllen Sie die Leerstelle aus
Fügen Sie die Ziffern rechts von der Zahl hinzu, die Sie links geschrieben haben. Wählen Sie die Ziffer, die multipliziert mit dieser neuen Zahl den größten Wert ergibt, aber immer noch kleiner oder gleich der „abgeleiteten Zahl“ist. Wenn die „abgeleitete Zahl“beispielsweise 1700 ist und die Zahl links von Ihnen 40_ ist, ist die einzugebende Zahl „4“, da 404 × 4 = 1616 < 1700, während 405 × 5 = 2025 ist Dieser Schritt ist die zweite Ziffer Ihrer Antwort, also schreiben Sie ihn über das Radikalsymbol.
-
In der Beispielaufgabe suchen wir nach der Zahl neben 4_ × _, deren Antwort die größte Zahl ist, aber kleiner oder gleich 245 ist. Die Antwort lautet
Schritt 5.. 45 × 5 = 225, während 46 × 6 = 276.
Schritt 6. Verwenden Sie weiterhin die „Leerzeichen“-Nummern, um Ihre Antwort zu finden
Fahren Sie mit dem langen Stapelteilungsmuster fort, bis die Differenz zwischen den Subtraktionen der abgeleiteten Zahlen Null ist oder eine ziemlich genaue Zahl erhalten wurde. Wenn Sie fertig sind, bilden die Zahlen, die Sie zum Ausfüllen der Lücken in jedem Schritt verwendet haben (plus die allererste Zahl, die Sie verwendet haben), jede Ziffer Ihrer Antwort.
-
In der Beispielaufgabe subtrahieren Sie 245 von 220, um 20 zu erhalten. Als Nächstes verringern wir die nächste Zifferngruppe 00 und erhalten 2000. Multiplizieren Sie die Zahl über dem Wurzelsymbol und wir erhalten 25 × 2 = 50 in den Lücken bei 50_ × _ =/< 2.000 erhalten wir die Zahl
Schritt 3.. Jetzt haben wir "253" über dem Radikalsymbol - wiederholen Sie diesen Vorgang noch einmal und erhalten Sie 9 in der nächsten Ziffer.
Schritt 7. Entfernen Sie das Dezimalzeichen vom Ursprung
Um die endgültige Antwort zu erhalten, setzen Sie den Dezimalpunkt an die richtige Stelle. Es ist ganz einfach - setzen Sie einfach den Dezimalpunkt mit dem Dezimalpunkt unter dem Wurzelsymbol in Einklang. Zum Beispiel ist die Zahl unter dem Radikal 49, 8, also setzen Sie zwischen den Zahlen über 8 und 9 einen Dezimalpunkt.
Wenn in der Beispielaufgabe die Zahl unter dem Rest 6, 45 ist, liegt das Dezimalkomma zwischen den Ziffern 2 und 5. Das bedeutet, dass die endgültige Antwort. ist 2, 539.
Teil 3 von 3: Unvollkommene Quadrate schnell schätzen
Schritt 1. Finden Sie das unvollkommene Quadrat mit Näherung
Sobald Sie perfekte Quadrate auswendig gelernt haben, wird es viel einfacher sein, unvollkommene Quadrate zu finden. Der Trick besteht darin, vor und nach der gesuchten Zahl ein perfektes Quadrat zu finden. Bestimmen Sie dann, welches der beiden perfekten Quadrate der gesuchten Zahl am nächsten kommt.
Zum Beispiel wollen wir die Quadratwurzel von 40 finden. Die perfekte Quadratzahl vor und nach 40 ist 62 und 72, also 36 und 49. Da 40 größer als 36 und kleiner als 49 ist, muss die Quadratwurzel von 40 zwischen 6 und 7 liegen. Die Zahl 40 liegt näher bei 36 als 49, also liegt die Quadratwurzel von 40 näher bei 6 Hier sind ein paar Schritte, um eine genaue Antwort zu finden.
Schritt 2. Schätzen Sie die Quadratwurzel aus einer Ziffer nach dem Komma
Wenn Sie zwei perfekte Quadratzahlen vor und nach der gesuchten Zahl bestimmt haben, ist der Rest der Vorgang, die Zahl hinter dem Komma zu finden, die der Antwort am nächsten ist. Beginnen Sie mit der geschätzten einstelligen Zahl nach dem Komma. Dieser Vorgang wird so lange wiederholt, bis Sie eine Antwort mit der gewünschten Genauigkeit erhalten.
Im Beispielproblem ist die vernünftige Näherung der Quadratwurzel von 40 6, 4, da die Antwort wahrscheinlich eher bei 6 als 7 liegt.
Schritt 3. Multiplizieren Sie Ihre geschätzte Zahl mit der Zahl selbst
Mit anderen Worten, quadrieren Sie Ihre ungefähre Zahl. Wenn Sie Glück haben, ist das Ergebnis die Nummer im Problem. Wenn nicht, addieren oder subtrahieren Sie die Zahlen nach dem Komma, bis Sie das Quadrat finden, das der Zahl in der Aufgabe am nächsten kommt.
- Multiplizieren Sie 6, 4 mit 6, 4, um 6, 4 × 6, 4 =. zu erhalten 40, 96, was knapp über 40 liegt.
- Da das anfängliche Experiment redundant war, subtrahieren Sie Ihre Näherung um eine Dezimalstelle, d. h. 6, 3 × 6, 3 = 39, 69. Dieses Ergebnis liegt etwas unter der Zahl im Problem. Dies bedeutet, dass die Quadratwurzel von 40 zwischen 6, 3 und 6, 4 liegt. Da 39,69 näher an 40 liegt, liegt die Quadratwurzel von 40 auch näher an 6, 3.
Schritt 4. Leiten Sie die Prognose nach Bedarf weiter
Verwenden Sie Ihre Antwort, wenn Sie der Meinung sind, dass sie genau genug ist. Aber wenn nicht, fahren Sie einfach mit dem obigen ungefähren Muster fort, bis Sie eine Antwort mit drei oder vier Stellen nach dem Komma finden - jedenfalls bis Sie die gewünschte Genauigkeit erreicht haben.
